확률공간·사건과 확률공리

결과·사건·확률을 구분하기

한 번의 시행에서 나올 수 있는 개별 결과가 표본점이고, 그 전체가 표본공간 Ω입니다. 사건은 여러 결과를 모은 부분집합입니다. 확률은 사건에 수를 배정하는 함수이지 사건 자체가 아닙니다. 실습의 Ω는 {0,1,2,3}이고, A 마스크 3은 비트 0과 1을 켜므로 A={0,1}입니다. 마스크 6은 B={1,2}입니다. 비트 표현은 사건을 선택하는 도구이며 확률값이 아닙니다.

확률공리가 요구하는 것

확률은 음수가 아니고 전체 공간에 1을 배정하며, 서로소 사건의 가산 합집합에는 각 확률의 합을 배정합니다. 일반 공간에서는 사건들의 모음 F가 여집합과 가산 합집합에 닫힌 σ-대수여야 합니다. 현재 유한 예제는 모든 부분집합을 사건으로 사용하므로 이 조건을 자동으로 만족합니다. 이 표가 일반적인 무한 공간의 가측성 문제를 모두 해결하는 것은 아닙니다.

가중치를 확률로 정규화하기

기준 가중치는 (1,2,3,4)입니다. 합 10으로 나누면 점 확률은 (0.1,0.2,0.3,0.4)입니다. 사건 확률은 소속된 점의 확률을 더합니다. 따라서 P(A)=0.3, P(B)=0.5, 교집합은 {1}이라 0.2입니다. A와 B의 확률을 그냥 더하면 결과 1을 두 번 세므로 교집합을 한 번 빼야 합니다. 표의 소속 열을 따라 직접 계산하세요.

확률 0과 불가능을 구분하기

가중치 방식 2는 점 2와 3에 확률 0을 배정하지만 표본공간에서 삭제하지 않습니다. 따라서 비공집합인 {2}도 확률 0일 수 있습니다. 반대로 공집합은 언제나 확률 0입니다. 유한 공간의 모든 점이 양의 질량이면 이 차이가 보이지 않지만, 연속 확률에서는 한 점의 확률이 0인 경우가 기본입니다. AI 모델이 어떤 결과에 질량 0을 준다는 주장과 데이터에서 그 결과가 논리적으로 불가능하다는 주장은 구분해야 합니다.

확인 문제와 해설

1. 기준 A의 여사건 확률은? 0.7입니다.
2. 균등 모드에서 {0,1}과 {2,3}의 합집합 확률은? 1입니다.
3. 모든 점에 양의 확률을 가정해야 하나요? 아니요. 확률공리는 0도 허용합니다.

추가 읽기: Pishro-Nik, Introduction to Probability, Statistics, and Random Processes.