유한 Curie–Weiss 분포와 대칭

평균은 대칭인데 개별 준비는 정렬될 수 있다

위나 아래를 가리키는 화살표를 작은 상자에 여러 개 넣었다고 생각해봅시다. 상호작용이 정렬을 선호하면 대부분 위를 가리키는 준비도 자주 나오고, 대부분 아래를 가리키는 준비도 자주 나옵니다. 두 종류를 모두 모아 부호를 포함한 정렬 정도를 평균하면 정확히0이 될 수 있습니다. 부호를 지우고 정렬의 크기를 평균하면 양수입니다. 같은 확률분포에서 서로 다른 관측량을 계산한 것입니다.

이 구별은 상전이, 에너지 기반 모형과 표본추출을 연구할 때 중요합니다. 유한 히스토그램의 두 봉우리만으로 열역학적 특이점을 입증할 수 없습니다. 한 봉우리 근처에 갇힌 표본 경로가 전체 평형분포를 대표하는 것도 아닙니다. 먼저 명시적인 유한 모형을 풀고, 열역학 극한에서 어떤 가정을 더해야 하는지 확인하겠습니다.

선수 지식은 유한 Boltzmann 가중치, 기준 측도, 조건부 엔트로피와 분배함수 미분입니다. 자화와 통계적 앙상블의 배경은 Tong의 스핀·장 강의를 참고할 수 있습니다. 아래의 완전 연결 유한 모형, 계수 공식과 손계산은 이 교재에서 지정한 별도 준비입니다.

온도라는 이름보다 먼저 계를 지정하기

이름이 붙은 고전 스핀 N개가 있고, 각 스핀은 +1 또는 −1입니다. 양자 중첩을 사용하는 변수가 아니라 고전적인 이진 변수입니다. 총 스핀 M과 정규화 자화 m을 다음과 같이 정의합니다.

$$M=\sum_{i=1}^{N}\sigma_i,\qquad m=\frac{M}{N},\qquad \sigma_i\in\{-1,+1\}.$$

완전 연결 Curie–Weiss Hamiltonian과 무차원 매개변수는 다음과 같습니다.

$$E(\boldsymbol\sigma)=-\frac{J}{2N}M^2-hM, \qquad K=\frac{J}{k_BT},\qquad b=\frac{h}{k_BT}.$$

J와 h는 에너지, T는 양의 물리적 온도입니다. 1/N 계수는 N이 커질 때 상호작용 에너지를 입자 수에 비례하는 크기로 유지합니다. 여기서 입력 K는 무차원 결합이며 kelvin 온도가 아닙니다. 입력 b도 무차원 에너지 편향입니다. m을 SI 단위 자화로 바꾸려면 자기모멘트와 부피 관례가 추가로 필요합니다.

유한 계산기의 준비 범위는 N=1–128, K=0–8, b=−4–4입니다. 이 값들은 계산 자원 범위이며 아래 유도는 더 큰 유한 N에서도 성립합니다. 물리적인 J,h를 고정하면 K,b는1/T 배율로 연동하고, 영인 계수는 계속0입니다. 따라서 h=0에서는 b=0을 유지하면서 온도에 따라 K만 변할 수 있습니다. J,h가 둘 다 비영이면 K 하나만 바꾸는 준비와 고정 Hamiltonian의 온도 변화를 구분해야 합니다.

상태를 세는 방법도 모형의 일부다

위쪽 스핀이 k개이면 M=2k−N입니다. 이 총 스핀을 갖는 이름 붙은 배치의 수는 다음과 같습니다.

$$g_N(M)=\binom{N}{k},\qquad k=\frac{N+M}{2}, \qquad M\in\{-N,-N+2,\ldots,N\}.$$

N=2에서는 모든 배치를 직접 확인할 수 있습니다.

이름 붙은 배치	M	m	해당 M 레이블의 다중도
아래, 아래	−2	−1	1
아래, 위; 위, 아래	0	0	2
위, 위	2	1	1

K=b=0에서 네 배치의 확률은 모두 같습니다. 그러나 세 M 레이블의 확률은1/4,1/2,1/4입니다. 세 레이블에 같은 확률을 부여하면 기준 측도를 바꾸게 됩니다. 이름 붙은 스핀 배치의 균등분포가 아닙니다.

모든 N에서 다중도의 합은2의 N제곱입니다. M 레이블을 한 번 세는 것과 이름 붙은 배치를 모두 세는 것은 서로 다른 합입니다. 상호작용은 큰 절댓값 M을 선호하고, 다중도는 가운데를 선호할 수 있습니다. 이 두 효과의 경쟁이 거시상태 분포를 만듭니다.

미시 가중치에서 유한 자화 분포로

같은 M을 갖는 배치들을 모으면 다음을 얻습니다.

$$Z_N(K,b)=\sum_M g_N(M)\exp\!\left(\frac{KM^2}{2N}+bM\right), \qquad P_N(M)=\frac{g_N(M)\exp(KM^2/(2N)+bM)}{Z_N(K,b)}.$$

해당 M 집합의 미시상태 하나가 갖는 확률은 P_N(M)/g_N(M)입니다. 집합 전체의 확률이 크더라도 그 안의 개별 배치 확률은 작을 수 있습니다.

지수를 계산하기 전에 공통 최댓값을 빼면 P는 유지됩니다. 그러나 log Z에서 그 공통 지수를 없애서는 안 됩니다. 마찬가지로 계수 기준 g 대신 정규화 사전 g_N(M)/2^N을 사용하면 P는 같아도 log Z는 N log 2만큼 줄어듭니다. 자유에너지와 엔트로피를 해석할 때 기준 관례를 유지해야 합니다.

유한 K,b에서 모든 거시상태 확률은 엄밀히 양수입니다. 그림의 아주 작은 막대나 선형 표시 범위 밖의 수치가 금지 상태를 뜻하지 않습니다.

자기 상호작용 관례는 에너지 영점을 옮긴다

M의 제곱을 전개하면 Hamiltonian에 포함된 항을 알 수 있습니다.

$$M^2=N+2\sum_{i<j}\sigma_i\sigma_j, \qquad E=-\frac J2-\frac JN\sum_{i<j}\sigma_i\sigma_j-hM.$$

첫 번째 상수를 제거한 쌍 상호작용 관례의 에너지는 E+J/2입니다. 확률과 엔트로피는 같지만 정규화와 자유에너지는 변합니다.

$$\log Z_{\mathrm{pair}}=\log Z_N-\frac K2, \qquad \beta F_{\mathrm{pair}}=-\log Z_N+\frac K2, \qquad \beta=\frac1{k_BT}.$$

스핀이 하나이면 상호작용은 상수뿐입니다. 영장에서 log Z=K/2+log 2, 평균 무차원 에너지는−K/2, 엔트로피는 log 2입니다. 자기 항을 제거한 계에서는 log Z=log 2이고 에너지는0입니다. 두 관례 모두 위·아래 확률은 같습니다. 자유에너지 영점의 변화만으로 확률법칙이 달라졌다고 결론 내릴 수 없습니다.

네 가지 요약은 네 가지 질문에 답한다

부호를 포함한 평균은 반복 준비 전체에서 어느 방향을 선호하는지 묻습니다. 평균 절댓값은 방향과 무관하게 한 준비가 얼마나 정렬되는지 묻습니다. 이차 모멘트는 정렬의 제곱을 평균합니다. 최빈값은 확률이 가장 큰 이산 총 스핀을 찾습니다.

$$\langle m\rangle=\sum_M \frac MN P_N(M),\qquad \langle |m|\rangle=\sum_M\frac{|M|}{N}P_N(M),\qquad \langle m^2\rangle=\sum_M\frac{M^2}{N^2}P_N(M).$$

평균을 먼저 낸 뒤 절댓값을 취하는 것과 각 값의 절댓값을 먼저 평균하는 것은 일반적으로 다릅니다. 영장에서는 전자가0이고 후자는 양수일 수 있습니다. 작은 비영 장에서는 평균이 양수라도 가장 흔한 총 스핀이 여전히 M=0일 수 있습니다.

최빈값은 선택한 거시 레이블의 요약입니다. 가장 흔한 이름 붙은 배치가 반드시 가장 흔한 M 집합에 속하지는 않습니다. 상태를 묶으면 “가능성이 높다”의 대상도 달라집니다.

두 스핀의 모든 값을 손으로 계산하기

N=2,b=0이고 수학적으로 정확한 K=log 2를 지정합시다. 양 끝의 가중치는 exp(K)=2이고 가운데는 다중도가2이므로 가중치가2입니다. 따라서 Z=6이며 세 M 레이블의 확률이 모두1/3입니다.

$$\langle m\rangle=0,\qquad \langle |m|\rangle=\langle m^2\rangle=\frac23, \qquad \operatorname{Var}(m)=\frac23.$$

네 미시 배치의 확률은1/3,1/6,1/6,1/3입니다. 세 레이블의 엔트로피와 이름 붙은 배치의 엔트로피를 각각 계산하면 서로 다릅니다.

$$H(M)=\log3,\qquad \frac{S_{\mathrm{micro}}}{k_B}=\log3+\frac13\log2.$$

열역학으로도 같은 값을 얻습니다. 평균 무차원 에너지는−2K/3, 무차원 자유에너지는−log 6이므로 두 값의 차는 log 6−2(log 2)/3입니다. 거시 레이블 엔트로피를 미시 엔트로피 대신 사용하면서 다중도 보정을 빠뜨리면 이 항등식이 맞지 않습니다.

정확한 유한 대칭과 두 봉우리는 공존한다

b=0에서 모든 스핀을 뒤집는 변환은 에너지와 다중도를 보존합니다. M과−M이 같은 확률로 짝지어지므로 다음이 성립합니다.

$$P_N(M)=P_N(-M),\qquad \langle m\rangle=0.$$

모든 유한 N에서 정확한 결과입니다. 홀수 N에서는 M=0인 배치가 존재하지 않지만 앙상블 평균은0입니다. N=32,K=2,b=0에서는 거시 최빈값이 M=−32와32입니다. 이때도 부호 평균은0입니다.

유한 N과 유한 매개변수에서 Z는 해석적인 지수함수의 유한한 양의 합입니다. 실수 log Z와 유한 차수 미분도 매끄럽습니다. 최빈값의 변화, 두 봉우리, 한 표본 경로에 갇힌 평균은 이 사실을 바꾸지 않습니다.

후속 변분 단원에서는 N이 무한히 커지는 극한과 장이0으로 가는 순서를 다룹니다. 완전 연결 모형과 최근접 격자 모형도 구분해야 합니다. 후자에서 평균장 계산은 별도의 적용 조건이 필요한 근사입니다.

실제로 고정한 준비를 미분하기

K를 고정하고 b를 바꾸면 유한한 정확한 응답 항등식을 얻습니다.

$$\frac{\partial\log Z_N}{\partial b}=\langle M\rangle, \qquad \chi_b:=\frac{\partial\langle m\rangle}{\partial b} =\frac{\operatorname{Var}(M)}N =N\operatorname{Var}(m)>0.$$

N 계수가 중요합니다. 평균의 분산과 모든 스핀에 공통인 편향의 응답은 크기 의존성이 다릅니다. 물리적 에너지 장 h를 J,T 고정 아래 미분하면 응답은 chi_b/(k_B T)입니다. 단위는 에너지의 역수이며, 선택한 SI 관례의 자기 감수율과 자동으로 같은 양이 아닙니다.

m은−1과1 사이이므로 분산은1 이하입니다. 유한한 전체 지원에서는 분산이 엄밀히 양수이므로 응답에도 다음 경계가 있습니다.

$$0<\chi_b=N\operatorname{Var}(m)\leq N.$$

각 유한 준비의 응답은 유한하지만 이 상한은 N과 함께 커집니다. 열역학 극한 전체에 공통인 상한은 아닙니다. 따라서 후속 극한에서 감수율이 발산하더라도 유한계 계산과 모순되지 않습니다. 극한 모형의 K=1을 임계 매개변수라고 부르는 것이 유한 합 안에 특이점을 새로 만드는 것은 아닙니다.

결합 미분에도 자기 상호작용 관례가 반영됩니다.

$$\frac{\partial\log Z_N}{\partial K}=\frac{\langle M^2\rangle}{2N}, \qquad \frac{\partial\log Z_{\mathrm{pair}}}{\partial K} =\frac{\langle M^2\rangle-N}{2N}.$$

고정 M 집합 안의 g개 배치는 같은 확률입니다. 관측에서 빠진 미시 정보는 조건부 엔트로피로 복원합니다.

$$\frac{S_{\mathrm{micro}}}{k_B} =H(M)+\sum_M P_N(M)\log g_N(M), \qquad \beta F=\beta\langle E\rangle-\frac{S_{\mathrm{micro}}}{k_B}=-\log Z_N.$$

온도 미분에서는 어떤 차원 있는 계수를 고정하는지 먼저 명시해야 합니다. 독립적인 K 조절에 곧바로 일반적인 온도 미분의 의미를 부여할 수는 없습니다. h=0에서 b가 계속0인 경우를 포함하여 b의 변화 경로도 함께 지정해야 합니다.

두 엔트로피의 최댓값도 서로 다른 레이블을 기준으로 합니다.

$$H(M)\leq\log(N+1),\qquad S_{\mathrm{micro}}/k_B\leq N\log2.$$

N=2에서 지정한 K=log 2 준비는 세 레이블 엔트로피를 최대화합니다. 반면 K=b=0의 이름 붙은 배치 균등분포는 미시 엔트로피를 최대화합니다. 결과를 묶은 뒤 엔트로피를 최적화하는 모형은 다른 준비를 선호할 수 있습니다. 그 차이는 정규화 실수에서 생긴 것이 아니라 묶으면서 빠뜨린 조건부 정보로 설명됩니다.

독립 스핀 극한으로 검산하기

K=0이면 이름 붙은 스핀의 법칙이 곱으로 분해됩니다. 모든 스핀에 같은 편향을 적용하면 다음과 같습니다.

$$Z_N=(2\cosh b)^N,\qquad \langle m\rangle=\tanh b,\qquad \operatorname{Var}(m)=\frac{\operatorname{sech}^2 b}{N}, \qquad \chi_b=\operatorname{sech}^2 b.$$

영장에서 분산은1/N, 무차원 응답은1입니다. N=1에서는 평균 절댓값이 항상1입니다. 그렇다고 스핀 하나가 무한계에서 논의하는 유한 온도 열역학 전이를 입증하지는 않습니다.

여기서 cosh b는(exp(b)+exp(−b))/2, sech b는 그 역수이며, tanh b는(exp(b)−exp(−b))/(exp(b)+exp(−b))입니다. 스핀 하나의 위쪽 확률은 logistic(2b)로도 쓸 수 있습니다. 상호작용이 전혀 없어도 N이 커지면 평균의 히스토그램은 좁아집니다. 그림의 폭이 줄었다는 사실만으로 협동적 정렬이 생겼다고 판단할 수 없습니다.

이 극한은 연구 중 유용한 검산입니다. 상호작용 수치 해답에 의존하지 않고도 정규화, 응답의 N 계수, 스핀 계수와 에너지 관례를 함께 확인할 수 있습니다.

반올림된 동률과 정확한 최빈값은 다르다

N=2,b=0으로 돌아갑시다. 양 끝과 가운데의 로그 가중치는 K와 log 2입니다. 지정한 실수 K=log 2에서는 같습니다. 그러나 Math.log(2)로 얻은 binary64 입력은 그 실수보다 조금 작은 근처 유리수입니다.

준비	정확한 로그 가중치의 비교	인증된 거시 최빈값
지정한 실수 K=log 2	같음	−2, 0, 2
실제 binary64 Math.log(2)	가운데가 조금 큼	0
바로 다음 큰 binary64 수	양 끝이 조금 큼	−2, 2

표시된 확률은 모두 같은 소수로 반올림될 수 있습니다. 이 표시가 동률을 인증하지는 않습니다. 다중도가 같으면 공통 로그 항을 정확히 소거하고 비교할 수 있습니다. 그 밖에는 로그 가중치의 방향성 구간으로 비교합니다.

이 세 레이블의 유한계에서도 K가 경계를 지나면 argmax가 선택한 레이블은 바뀝니다. 확률과 자유에너지는 계속 매끄럽습니다. 최적화 요약에서 생긴 불연속과 열역학 상전이를 구분해야 합니다.

수치와 그림의 근거를 범위에 맞게 읽기

유용한 개념도는 이항 다중도, 에너지 편향과 정규화된 거시 확률을 나누어 보여줍니다. 다른 표시에서는 부호 평균, 평균 절댓값, 이차 모멘트와 인증된 최빈 총 스핀을 비교합니다. N,K,b가 다른 준비를 순서대로 비교하는 것은 평형 법칙의 비교이며 물리적 시간이 흐르는 장면이 아닙니다.

큰 정수 계수는 정확히 유지해야 합니다. N=128의 가운데 이항 다중도는 binary64 수로 정확히 담을 수 없습니다. 더 큰2의 거듭제곱 중에는 정확히 표현되는 수도 있지만, 그것이 일반적인 정수 계수를 정확히 계산한다는 뜻은 아닙니다. 모든 다중도의 합은 정확히2의128제곱이어야 합니다.

분산은 거의 같은 두 모멘트를 빼는 대신 양의 쌍 합으로 계산할 수 있습니다.

$$\operatorname{Var}(m)=\sum_{i<j}P_iP_j(m_i-m_j)^2.$$

계산기는 방향성 유리 구간을 사용하고 지정한 자원 상한 안에서 정밀도를 늘립니다. 상한에서 미해결인 값과0은 다릅니다. 선형 표시 범위 밖의 양의 확률은 양의 부호와 별도로 계산한 로그 확률을 유지합니다. 일반 관측값의 로그 크기 표시는 근사이며, 해당 관측량의 인증은 저장된 방향성 구간을 따릅니다.

아주 작은 비영 장이 유일한 최빈값을 선택하더라도, 제한된 정밀도에서 평균의 크기는 아직 미해결일 수 있습니다. 두 계산은 서로 다른 질문입니다. 장을 지우거나 미해결을0으로 바꾸기보다 이 차이를 확인하는 것이 더 유익합니다.

유한 분포를 실제 실험과 연결하기

두 스핀·다중도1:2:1부터 선택하세요. 막대를 보기 전에 이름 붙은 네 배치를 종이에 적어보세요. 가운데 자화 레이블에는 배치가 두 개 있으므로 양 끝보다 두 배의 확률을 받습니다. 그림은 거시상태 전체 분포를, 페이지로 나뉜 표는 다중도와 로그 확률을 보여줍니다. 막대가 눈에 보이지 않아도 표의 상태를 확인할 수 있습니다.

비교할 준비	바꾸기 전에 예측	결과에서 읽을 것
독립 두 스핀 → 실제 log(2)	같아 보이는 막대만으로 최빈값의 동률을 알 수 있을까요?	반올림 확률과 인증된 최빈 M을 비교하세요. 실제 binary64 입력은 M=0을 선택합니다.
K=2,b=0에서 N=16 →32 →64	두 봉우리가 뚜렷해지면 부호 평균도 영이 아니게 될까요?	E[m]은 정확히0이며 E[
N=32에서 양의 장 → 음의 장	반사할 때 어느 관측량의 부호가 바뀔까요?	부호 평균은 반사되지만 절댓값 평균과 엔트로피는 두 반사 준비에서 같습니다.

N,K,b를 입력한 뒤 Enter를 누르거나 다른 칸으로 이동하면 적용됩니다. N은1부터128의 정수이며 소수 입력이 반올림 때문에 정수로 바뀌어서는 안 됩니다. 상태가16행보다 많으면 다음 상태 행으로 나머지를 읽으세요. 계산 정밀도 상한은 수치 자원 제한이며 스핀의 준비를 바꾸지 않습니다. 미해결 관측량을 금지 상태나 정확한0으로 해석하지 마세요. 예제 자동 순회는 여러 평형을 비교하며 자석의 시간 진화를 모사하지 않습니다.

해설이 있는 연습 여섯 개

1. 자화0인 배치 없이 평균0 만들기

N=3,K=b=0에서 거시 법칙, 부호 평균, 평균 절댓값과 응답을 구하세요.

해설. 총 스핀−3,−1,1,3의 배치 수는1,3,3,1이며 전체는8개입니다. 부호 평균은0, 평균 절댓값은1/2, 이차 모멘트는1/3입니다. 따라서 chi_b=3×1/3=1입니다. 어느 개별 배치도 m=0을 갖지 않습니다. 앙상블 평균이 반드시 가능한 개별 결과일 필요는 없습니다.

2. 두 스핀 준비의 엔트로피와 응답 구분하기

지정한 N=2,K=log 2,b=0에서 응답과 미시 엔트로피를 구하세요. 엔트로피로 log 3만 사용하면 충분할까요?

해설. 부호 평균은0, 이차 모멘트는2/3이므로 chi_b=4/3입니다. 가운데 집합은 확률1/3으로 선택되고 두 배치를 포함합니다. 조건부 엔트로피는(log 2)/3을 더하며, 미시 엔트로피를 k_B로 나눈 값은 log 3+(log 2)/3입니다. log 3은 선택한 세 레이블 관측의 엔트로피입니다.

3. 상수 자기 에너지 제거하기

스핀 하나에서 K=6,b=0일 때 두 에너지 관례를 비교하세요. 확률도 달라질까요?

해설. 자기 항을 포함하면 log Z=3+log 2, 평균 무차원 에너지−3, 엔트로피 log 2입니다. 자기 에너지를 제거하면 모든 에너지가 열적 단위로3만큼 올라가 log Z_pair=log 2, 평균 쌍 에너지0이 됩니다. 위와 아래의 확률은 계속 같습니다. 공통 이동은 엔트로피와 정규화 확률에서 소거됩니다.

4. 장 응답의 N 계수 확인하기

K=0에서 m의 분산은 N이 커질수록 줄지만 공통 편향에 대한 응답은 그렇지 않은 이유를 보이세요.

해설. 독립적인 N개 스핀은 각각 평균 tanh b와 분산 sech 제곱 b를 갖습니다. 평균을 내면 분산이 N으로 나뉩니다. 평균을 공통 b로 미분한 값은 sech 제곱 b입니다. 따라서 응답은 N Var(m)이며 Var(m)이나 N제곱 Var(m)이 아닙니다. 물리적 h 미분에는 beta가 추가됩니다.

5. 최빈값의 변화가 상전이의 증명일까?

N=2,b=0에서 K=log 2 경계를 지나면 인증된 최빈값이 M=0에서 M=±2로 바뀝니다. 유한계의 해석성과 모순되지 않는 이유를 설명하세요.

해설. log 2와 K의 비교는 매끄러운 확률 중 어느 것이 가장 큰지 결정합니다. 두 확률이 교차하면 argmax가 선택하는 레이블은 바뀔 수 있습니다. Z=2 exp(K)+2는 계속 양의 해석함수이고 log와 유한 미분도 매끄럽습니다. 불연속은 선택한 요약에 있으며 유한계의 열역학 자유에너지에 있지 않습니다.

6. 대칭 깨짐을 해석하기 전에 극한 쓰기

다음 단원에서 Curie–Weiss 변분 극한을 도출합니다. K=log 3에서 영장의 정렬 해는 m=±1/2입니다. 유한계의 영장 평균을 먼저 구하는 것과 양의 장에서 무한계 가지를 먼저 선택하는 것을 비교하세요.

해설. 모든 유한 N에서 b=0이면 평균이 정확히0이므로 이 평균들의 극한도0입니다. 반대로 양의 b에서 열역학 극한을 먼저 취하면 양의 최소 가지를 선택할 수 있고, 그 뒤 b가0의 양의 쪽으로 가면1/2를 얻습니다. tanh(log 3/2)=1/2를 대입해 확인할 수 있습니다. 무한계 가지를 선택하려면 유한 대칭 히스토그램 자체에는 없는 극한 절차가 필요합니다.

연구와의 연결 및 다음 단계

에너지 기반 모형에서 분포, 묶인 레이블과 표본 경로를 구별하면 서로 다른 세 오류를 피할 수 있습니다. 레이블 엔트로피는 조건부 정보를 놓칠 수 있고, 갇힌 경로는 대칭이 깨진 것처럼 보일 수 있으며, 반올림된 argmax는 날카로운 전이처럼 보일 수 있습니다. 각각에 맞는 다른 진단이 필요합니다.

다음 변분 단원은 큰 N의 제약 자유에너지를 도출하고 정상점을 분류하며 극한 순서를 비교합니다. 이후 Landau 단원에서는 전역 공존, 국소 안정성과 spinodal을 구별합니다. 더 넓은 배경과 평균장 설명의 한계는 Tong의 상전이 강의를 참고하세요. 여기서 계산한 유한 정확한 합은 지정한 완전 연결 모형의 범위를 유지합니다.