근축 광선·얇은 렌즈와 상 형성

카메라가 상을 만든다는 것은 어떤 뜻일까?

카메라는 빛을 많이 모으는 것만으로 선명한 사진을 만들지 못합니다. 한 물체점에서 여러 방향으로 출발한 빛이 센서의 거의 같은 위치에 도달해야 그 점을 구별할 수 있습니다. 따라서 상 형성은 물체 좌표와 관측 좌표 사이의 관계입니다. 밝기 하나만으로 그 관계를 확인할 수는 없습니다.

이 단원에서는 이상적 얇은 렌즈와 한 점에서 나오는 광선 묶음을 살펴봅니다. 먼저 좌표를 직접 갱신하고, 같은 계산을 행렬로 표현합니다. 실제 광선이 만나는 실상, 뒤로 연장했을 때 만나는 허상, 유한한 위치가 없는 무한대 상, 초점에서 벗어난 센서의 번짐을 구별합니다. 이는 컴퓨터 비전의 카메라 모델과 광학 실험, 미분 가능한 시뮬레이터의 역설계에 모두 필요한 구분입니다.

다음 Gaussian 빔 단원에서는 파장이 유한할 때 빛을 폭이 없는 교차점으로만 설명할 수 없는 이유를 다룹니다. 여기의 기하광학과 뒤의 파동광학을 연결하되, 두 단원만으로 유한 개구·수차·전체 전자기 경계를 계산했다고 보지는 않습니다.

좌표·단위·가정부터 고정하기

렌즈를 종방향 좌표 $z=0$에 놓고 실제 전파 방향을 $+z$로 정합니다. 실물체의 위치는 $z=-u$이며 물체 거리 $u>0$, 횡방향 높이는 $x_0$입니다. 실제 센서는 렌즈 뒤의 $z=s\geq0$에 놓습니다. 계산한 상의 좌표 $v$는 양수·음수이거나 유한한 값이 없을 수 있습니다.

광선 상태는 $(x,\theta)^T$ 순서입니다. 높이 $x$는 m 단위이고, 근축 각도 $\theta$는 작은 기울기 $dx/dz$로 취급합니다. 정확한 관계는 $dx/dz=\tan\theta$이므로 이를 $\theta$로 바꾸는 데 이미 근사가 들어갑니다. rad는 무차원이지만 각도와 길이를 구분하기 위해 단위 표기를 유지합니다.

같은 배경 굴절률, 작은 기울기, 중심이 맞는 이상적 얇은 렌즈, 잘리지 않는 광선을 가정합니다. 초점 거리 $f$는 0이 아니며, 양수이면 수렴 렌즈, 음수이면 발산 렌즈입니다. 반사·흡수·색수차·렌즈 두께·구면 수차는 계산하지 않습니다. 결과의 기울기가 크다면 이 근사가 적절한지 다시 판단해야 합니다. 계산이 실행됐다는 사실이 Maxwell 방정식의 정확한 해를 뜻하지는 않습니다.

광선 그림과 실제 관측을 구별하기

짧은 파장 근사에서 광선은 위상면과 관련된 국소 전파 방향을 나타냅니다. 그림의 선은 물질 실이나 가느다란 빛줄기의 경계가 아닙니다. 각 광선의 가중치와 검출기 모델을 지정하지 않았다면 선 개수에서 밝기를 읽을 수도 없습니다.

이 실험은 중심 각도에서 일정 반각만큼 양쪽으로 벌어진 구간을 아홉 방향으로 균등 표본화합니다. 균등 각도 표본은 계산을 위한 준비이며 실제 물체의 방사 법칙을 가정한 것이 아닙니다. 센서 좌표들의 표준편차는 이 표본 묶음의 기하학적 퍼짐입니다. 회절 한계 점확산함수나 교정된 영상 해상도가 아닙니다.

그림의 광선 폭이 좁아졌다는 이유만으로 해상도가 좋아졌다고 결론 내리지 마세요. 파장·개구·센서 응답이 빠져 있습니다. 반대로 광선 하나가 특정 점을 지난다는 사실도 그 물체점에서 나온 다른 방향의 광선이 모두 같은 점에 도달함을 보장하지 않습니다.

자유 전파를 삼각형으로 유도하기

부호 있는 수학적 이동 거리 $d$에 대해 근축 광선은 다음처럼 바뀝니다.

$$x'=x+d\theta,\qquad\theta'=\theta, \qquad P(d)=\begin{pmatrix}1&d\\0&1\end{pmatrix}.$$

실제 앞으로 가는 전파에서는 $d\geq0$입니다. 음의 $d$를 대입하면 직선을 뒤로 연장할 수 있지만, 현재 실험의 빛이 물리적으로 뒤로 흐른다는 뜻은 아닙니다. 같은 대수가 두 구성을 표현하므로 해석을 함께 표시해야 합니다.

행렬의 오른쪽 위 성분은 길이, 왼쪽 아래 성분은 역길이 단위이고 대각 성분은 무차원입니다. 모든 성분을 무차원이라고 적으면 높이와 각도를 잘못 섞게 됩니다. 단위 확인은 수식과 구현의 좌표 순서 오류를 찾는 간단한 방법입니다.

얇은 렌즈는 높이가 아니라 방향을 바꾼다

렌즈 전후의 높이는 연속이고, 각도에 렌즈 작용을 더합니다.

$$x^+=x^-,\qquad\theta^+=\theta^- -\frac{x^-}{f}, \qquad L(f)=\begin{pmatrix}1&0\\-1/f&1\end{pmatrix}.$$

양의 렌즈에 축 위쪽에서 평행하게 들어오는 광선은 아래쪽 기울기를 얻어 기하광학적으로 $f$ 뒤에서 축과 만납니다. 음의 렌즈는 같은 광선을 더 위쪽으로 벌립니다. 이상적 렌즈 중심을 지나는 광선의 각도 변화는 이 모델에서 0입니다.

부호를 외우기보다 $x>0$, $\theta^-=0$을 대입해 보세요. 수렴 렌즈라면 $\theta^+<0$이어야 합니다. 반대로 나오면 전파 방향을 바꾸었는지, 렌즈 부호를 잘못 구현했는지 확인해야 합니다.

행렬곱은 실제 요소 순서대로 읽기

물체에서 센서까지는 거리 $u$의 전파, 렌즈, 거리 $s$의 전파 순서입니다.

$$M(s)=P(s)L(f)P(u) =\begin{pmatrix}1-s/f&u+s-us/f\\-1/f&1-u/f\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}.$$

오른쪽 행렬이 먼저 작용합니다. 자유 전파와 렌즈의 위치를 바꾸면 일반적으로 실험 자체가 달라집니다. 센서 높이는 $x_s=A x_0+B\theta_0$입니다. 같은 물체점에서 나온 서로 다른 각도의 광선이 만나는지 판단할 때 $B$가 핵심입니다.

렌즈가 없으면 렌즈 행렬을 정확히 항등행렬로 둡니다. 그러면 $M=P(u+s)$이고 $x_s=x_0+(u+s)\theta_0$입니다. 렌즈가 없는 경우를 임의의 매우 큰 초점 거리로 흉내 낼 필요는 없습니다.

상 조건과 배율을 직접 얻기

물체 높이 $x_0$를 고정했을 때 이상적 상의 위치는 출발 각도에 무관해야 합니다. 따라서 $s=v$에서 $B=0$입니다.

$$u+v-\frac{uv}{f}=0, \qquad \frac1u+\frac1v=\frac1f, \qquad v=\frac{fu}{u-f}\quad(u\neq f).$$

그때 횡방향 배율은

$$m=1-\frac vf=-\frac vu,\qquad x_i=m x_0$$

입니다. 음의 배율은 상의 횡방향 반전을 뜻하며 음의 밝기가 아닙니다. 위치가 같아져도 각 광선의 출력 각도까지 같아지지는 않습니다. 한 위치에 모인다는 사실과 위상공간의 모든 상태가 같아진다는 주장은 다릅니다.

일부 교재는 광선 벡터를 각도부터 쓰는 $(n\alpha,y)$ 순서로 정의합니다. 이 경우 상 조건의 비대각 성분은 $C$라고 불립니다. 여기의 $B=0$과 모순이 아니라 좌표 순서가 다른 것입니다. 굴절률과 성분 순서를 선언하지 않은 채 행렬의 알파벳만 비교하면 안 됩니다.

수치 예제: 같은 거리의 실상

$f=0.10$ m, $u=0.20$ m, $x_0=1$ mm로 둡니다. 그러면 $v=0.20$ m, $m=-1$, $x_i=-1$ mm입니다.

$$M(v)=\begin{pmatrix}-1&0\\-10&-1\end{pmatrix}.$$

왼쪽 아래 성분의 단위는 m$^{-1}$입니다. 출발 각도 $-0.01$, $0$, $0.01$ rad에 따라 렌즈를 통과하는 높이는 달라지지만, 이상적 상면에서는 모두 $-1$ mm에 도달합니다.

출발 각도가 0인 광선을 직접 따라가 봅시다. 렌즈 높이는 1 mm이고, 렌즈에서 $-0.001/0.10=-0.01$ rad의 기울기를 얻습니다. 그 뒤 0.20 m를 가면 $0.001-0.002=-0.001$ m입니다. 행렬을 사용하지 않은 이 계산으로 부호·단위·상 반전을 동시에 점검할 수 있습니다.

센서를 옮기면 상이 사라진 것이 아니라 관측면이 달라진다

같은 물체와 렌즈에서 센서만 $s=0.15$ m로 옮기면 $A=-0.5$, $B=0.05$ m입니다.

$$x_s=-0.0005+0.05\theta_0\quad\text{단위는 m}.$$

$[-0.01,0.01]$ rad의 대칭 광선은 센서에서 $-1$ mm부터 0 mm까지 퍼집니다. 전체 폭은 1 mm, 중심은 $-0.5$ mm입니다. 이상적 상은 여전히 $v=0.20$ m에 있지만 현재 센서가 거기에 놓이지 않았습니다.

계산에서 각도 반각을 줄이면 이 기하학적 퍼짐도 줄어듭니다. 실제 조리개를 줄이면 광량과 회절도 달라지므로 그 효과는 별도 개구·파동 모델이 필요합니다. 반각을 0으로 두면 한 방향을 아홉 번 표본화한 것입니다. 그때 좌표 분산이 0이라고 해서 다른 각도를 포함한 실제 영상이 선명하다고 입증한 것은 아닙니다.

허상과 음의 거리의 뜻

물체를 $u=0.05$ m에 두고 $f=0.10$ m를 유지하면 $v=-0.10$ m, $m=2$입니다. 앞으로 나가는 광선들은 렌즈 뒤의 실제 평면에서 만나지 않습니다. 뒤로 연장한 선들이 종좌표 $-0.10$ m, 횡높이 2 mm에서 만납니다. 이 예제의 허상은 똑바로 서고 확대됩니다.

그 뒤 연장선 교점에 검출기를 놓으면 현재의 출력 광선이 실제로 모일 것이라고 해석해서는 안 됩니다. 눈이나 다른 카메라 렌즈는 발산하는 파면을 그 위치에서 나온 것처럼 받아들일 수 있습니다. 허상은 출력 파면의 기하학에 관한 설명이며 에너지의 역방향 흐름이 아닙니다.

$f=-0.10$ m인 음의 렌즈와 $u=0.20$ m인 실물체에서는 $v=-0.0666667$ m, $m=1/3$입니다. 이 허상은 똑바로 서지만 축소됩니다. 따라서 허상이라는 말 자체가 확대를 뜻하지는 않습니다.

무한대 상을 큰 숫자로 대신하지 않기

$u=f>0$이면 어떤 유한한 센서 거리에서도 $B(s)=f$입니다. 한 물체점에서 나온 광선들의 출력 각도는 모두 $-x_0/f$가 되어 서로 평행합니다. 이 이상적 계에는 그 점의 유한한 상면이 없습니다.

유한 상 좌표·배율·상 높이는 미정값으로 반환해야 합니다. 9999 m 같은 수를 넣거나 화면 범위 끝으로 잘라 놓고 계산된 상이라고 표시하지 않습니다. 실제로 지정한 유한 센서 평면의 광선들은 계속 계산하고 표시할 수 있습니다.

가까운 입력은 정확히 같은 입력이 아닙니다. $f=0.10$ m, $u=0.1001$ m이면 유한한 상 거리는 100.1 m입니다. 초점 거리의 양쪽에서 접근하면 큰 양의 실상 거리와 큰 음의 허상 거리가 나타납니다. 화면을 편하게 만들기 위해 근처 값까지 전부 특이점으로 반올림하면 물리적으로 다른 실험을 합치게 됩니다.

민감도와 위상공간 보존

유한 상 좌표를 물체 거리로 미분하면

$$\frac{dv}{du}=-\frac{f^2}{(u-f)^2}$$

입니다. 초점 근처에서는 작은 물체 거리 오차가 추정한 상 거리에 매우 큰 영향을 줍니다. 이는 역문제의 조건수 문제입니다. 부동소수점 식에서 많은 자릿수를 얻었다고 해서 실험에서 그만큼 정확히 알아낸 것은 아닙니다.

자유 전파와 렌즈 행렬의 행렬식은 각각 1이며 전체 곱도 1입니다. 같은 굴절률의 근축 모델에서는 $(x,\theta)$ 위상공간의 부호 있는 면적을 보존합니다. 위치 폭을 줄이는 대신 각도 폭이 커질 수 있습니다. 굴절률이 바뀌는 계에서는 $n\theta$ 같은 정준 성분을 정하고 다시 따져야 합니다.

AI를 위한 미분 가능 광학 모델에서도 이 구분이 필요합니다. 행렬곱이 정확해도 특이한 준비 근처에서 최적화의 기울기가 매우 커질 수 있습니다. 큰 gradient가 유용한 설계를 뜻하는지 판단하기 전에 민감도·단위·실제 측정 가능한 위치를 확인해야 합니다.

광선 상 조건과 파동 위상의 정상 조건

양의 전파 거리 $u,v$에 대해 렌즈 적분 좌표를 $h$라고 합시다. 근축 경로와 렌즈의 위상을 $k$로 나눈 이차식은

$$\Phi(h)=\frac{(h-x_0)^2}{2u}-\frac{h^2}{2f} +\frac{(x-h)^2}{2v}$$

입니다. 이를 $h$로 미분하면 $h(1/u+1/v-1/f)-x_0/u-x/v$입니다. 상 조건과 $x=-v x_0/u$를 함께 대입하면 이 이상적 이차 모델에서 모든 $h$에 대해 미분이 0입니다. 광선의 상 관계가 근축 파동 위상의 정상 구조와 연결됩니다.

이 계산은 모든 Fermat 경로가 전역 최단 경로라는 주장이 아닙니다. 이상적인 점상의 특이점에서 전체 파동 진폭까지 계산한 것도 아닙니다. 실제 관측장은 유한 개구·유한한 원천 분포·회절을 포함해야 합니다. 여기서 음의 상 거리는 역연장 좌표이며 현재 실험의 양의 전파 적분에 음의 물리 거리를 넣으라는 지시가 아닙니다.

그림과 구현을 점검하는 방법

숫자를 보기 전에 상의 부호와 대략적인 배율을 예측하세요. 다음으로 광선 하나, 전체 묶음, 실제 센서 평면을 비교합니다. 단계마다 횡방향 범위를 따로 정규화하면 확대와 축소가 숨겨지므로 하나의 물리적 횡축 기준을 사용해야 합니다. 긴 종거리와 작은 횡높이를 보기 위해 그림을 늘려 그렸다면 화면의 선 각도를 실제 각도로 읽지 않도록 명시해야 합니다.

허상의 역연장선은 실제 출력 광선과 구별하고, 센서는 렌즈 뒤의 실제 위치에 유지합니다. $u=f$에서는 유한 상 표식을 제거하되 평행하게 나가는 광선은 그대로 표시합니다. 근축 진단은 화면 각도 대신 계산한 입력·출력 기울기로 해야 합니다.

수치 검토에서는 $x_L=x_0+u\theta_0$, $\theta_+=\theta_0-x_L/f$, $x_s=x_L+s\theta_+$의 순차 계산과 행렬 결과를 대조합니다. 양·음 렌즈, 렌즈 없음, 센서 오정렬, 정확한 초점 입력, 근처 부동소수점 입력은 서로 다른 의미를 검사합니다.

해설 문제와 연구 연결

1. 행렬 없이 실상 확인하기

$u=0.20$ m, $f=0.10$ m, $x_0=1$ mm에서 출발 각도 0.01 rad의 광선은 렌즈에 3 mm 높이로 도착합니다. 출력 기울기는 $0.01-0.003/0.10=-0.02$ rad이므로 0.20 m 뒤의 높이는 $0.003-0.004=-1$ mm입니다. 앞의 0각도 광선과 같은 위치에 도착한다는 점이 상 형성입니다.

2. 잘못된 행렬 순서 설명하기

프로그램이 $L(f)P(u+s)$를 사용했다면 전체 자유 전파 뒤에 렌즈 작용을 둔 것입니다. 실제 렌즈의 위치가 달라졌으므로 같은 식의 단순화가 아닙니다. 출력 높이의 출발 각도 의존성이 없어지는지 검사하면 원하는 상 행렬과 다름을 알 수 있습니다.

3. 허상과 센서 높이 비교하기

$u=0.05$ m, $f=0.10$ m, $x_0=1$ mm이면 $v=-0.10$ m, $x_i=2$ mm입니다. 0각도 광선의 출력 기울기는 $-0.01$ rad입니다. 뒤로 0.10 m 연장한 높이는 2 mm이지만, 앞으로 $s=0.10$ m 진행한 높이는 0입니다. 같은 광선의 서로 다른 좌표와 서로 다른 구성을 비교하고 있음을 설명해 보세요.

4. 무한대와 가까운 유한 상 구별하기

$u=f=0.10$ m에서는 모든 출발 각도가 $-x_0/f$의 같은 출력 각도를 만듭니다. 이어 $u=0.1001$ m로 바꾸면 $v=100.1$ m이고 민감도 크기는 $10^6$입니다. 마이크로미터 정도의 거리 오차도 중요해질 수 있습니다. 다만 선형 오차 전파를 특이점 너머까지 그대로 확장해서는 안 됩니다.

5. 반각 0이 해상도를 증명하지 못하는 이유

센서를 상면 밖에 두고 반각을 0으로 줄이면 같은 방향만 반복하므로 표본 좌표의 분산이 사라집니다. 생략한 각도·개구 회절·센서 적분에 관한 정보는 없습니다. 준비한 광선 묶음을 유지한 상태에서 센서 위치를 바꿔야 초점 조건을 의미 있게 비교할 수 있습니다.

6. AI 손실함수와 광학 모델 연결하기

여러 알려진 물체 거리에서 물체·상의 높이를 교정해 측정했다면 유한 상 예측과 관측 좌표를 단위·불확실성을 포함한 손실로 비교할 수 있습니다. 무한대 상 준비는 별도 모델로 다루고, 실제 센서 데이터와 수학적 상 좌표를 섞지 마세요. 실제 영상에 파장·개구·수차가 필요하다면 모델을 확장해야 합니다. 이상적 광선 좌표의 작은 훈련 오차가 회절 영상의 정확성을 입증하지는 않습니다.

자료와 다음 학습 범위

TU Delft의 Geometrical Optics는 다른 좌표 순서의 광선 행렬과 렌즈를 설명합니다. MIT 6.974 강의 노트의 광선·상 형성·Gaussian 전파 부분과도 연결됩니다. 여기의 식은 선언한 순서와 부호로 직접 유도하고 순차 기하·독립 위상 계산으로 확인합니다.

두꺼운 렌즈·다른 굴절률·수차·유한 개구·벡터 집속·센서 잡음은 추가 모델이 필요합니다. 다음 단원은 같은 이상적 렌즈에 유한 폭 Gaussian 장을 넣고 Fresnel 적분으로 확인하여, 기하 초점과 회절을 공통 가정 위에서 비교합니다.