일을 하지 않는 외력과 서로 다른 보존량

일을 하지 않는다고 힘이 없는 것은 아니다

현재 속도의 옆 방향으로만 미는 힘을 생각해 보세요. 속력은 그대로이고 운동 방향만 달라집니다. 운동에너지는 일정해도 벡터 운동량은 회전합니다. 에너지·운동량·각운동량 보존을 같은 주장으로 취급할 수 없는 구체적인 이유입니다.

관성 평면의 양의 일정 질량 점입자 하나를 계로 선택합니다. 미리 선언한 외부 속도 의존 힘이 작용하며 이를 만드는 장치나 장은 계 밖입니다. 일이 0이라는 사실만으로 이 입자가 닫힌 계가 되는 것은 아닙니다.

90도 회전 연산과 부호를 정한다

J(vx,vy)=(−vy,vx)는 반시계 방향의 90도 회전이며 J²=−I, v·Jv=0을 만족합니다. 힘은 다음과 같습니다.

$$F=m\Omega Jv,\qquad \dot v=\Omega Jv.$$

Ω는 s⁻¹ 단위의 부호 있는 상수입니다. 양수이면 속도가 반시계, 음수이면 시계 방향으로 회전합니다. 크기는 각주파수이며 초당 회전 횟수와 다릅니다.

이는 속도 의존 힘입니다. 같은 위치에서도 속도가 다르면 힘이 달라지므로 위치만의 퍼텐셜 미분으로 정의한 전역 힘 법칙이 아닙니다. 속도 의존성을 감추려고 임의의 스칼라 퍼텐셜을 도입하지 않습니다.

운동에너지 보존을 직접 유도한다

일률은 힘과 실제 속도의 내적입니다.

$$\frac{dK}{dt}=F\cdot v=m\Omega(Jv)\cdot v=0, \qquad K=\frac12m|v|^2.$$

속력과 운동에너지는 초기값으로 유지되고 누적 일은 0입니다. 하지만 운동량 법칙 dp/dt=F는 그대로라 비영 힘이 벡터 운동량을 바꿉니다. 운동량의 크기와 벡터 전체를 구분해야 합니다.

조회 일률에는 부동소수점 상쇄 오차가 남을 수 있습니다. 일은 수직 힘 항등식으로 해석적으로 0이며 설명되지 않은 에너지 잔차를 채우는 값으로 정의하지 않습니다. 독립 수치 적분으로 일률과 외부 충격량을 검사합니다.

회전하는 속도를 푼다

R(θ)=cosθ I+sinθ J로 놓으면 초기값 해는 다음과 같습니다.

$$v(t)=R(\Omega t)v_0 =v_0\cos(\Omega t)+Jv_0\sin(\Omega t).$$

회전은 벡터 길이를 보존합니다. 두 운동량 성분은 보통 사인 곡선이며 각각 일정할 필요는 없습니다. 초기 속도가 0이면 Ω가 0이 아니어도 힘이 계속 0이라 정지합니다.

전체 시간 동안 벡터 운동량이 보존되는 경우는 Ω=0이거나 정지 상태일 때입니다. 한 성분의 순간 미분이 0인 것과 전체 운동에서 보존되는 것은 다릅니다. 실습은 정확한 입력값으로 이 분류를 합니다.

위치를 적분하고 자유 운동을 따로 처리한다

Ω≠0일 때 다음을 얻습니다.

$$q(t)=q_0+\frac{\sin(\Omega t)}{\Omega}v_0 +\frac{1-\cos(\Omega t)}{\Omega}Jv_0.$$

Ω=0이면 q=q0+v0t,v=v0의 자유 운동을 명시적으로 사용합니다. 0으로 나누거나 유한한 원의 중심을 만들어 내지 않습니다. 짧은 시간의 수치 안정성을 위해 sinc와 반각 항등식으로 사인 비율과 코사인 차이를 평가합니다. 극한은 같은 자유 운동입니다.

조회 시간은 10초까지입니다. 공간 그림은 Ω≠0이면 한 주기, Ω=0이면 10초의 직선을 보여 줍니다. 시간 그림의 고정 10초 범위와 공간 그림의 범위를 구분합니다.

다른 물체를 추가하지 않고 안내 중심을 찾는다

Ω≠0에서 다음을 정의합니다.

$$C=q+\frac{Jv}{\Omega}.$$

미분하면 Cdot=v+J(ΩJv)/Ω=v−v=0입니다. 따라서 비영 속력에서는 고정점 C를 중심으로 반지름 |v0|/|Ω|, 주기 2π/|Ω|의 원운동을 합니다. C는 초기 상태로 정해지는 파생 좌표이며 두 번째 입자나 새로운 힘이 아닙니다.

Ω=0에서는 이 중심 공식을 정의하지 않습니다. v0=0,Ω≠0이면 C=q0이고 궤도는 점으로 퇴화합니다. 중심 표시가 있다고 비영 반지름의 원운동을 뜻하는 것은 아닙니다.

역학적 각운동량은 보통 변한다

고정된 실험실 원점에 대해 L=(q×mv)z이면 다음이 성립합니다.

$$\dot L=(q\times F)_z=m\Omega(q\cdot v).$$

일이 0이어도 이 토크는 보통 0이 아닙니다. 일은 속도와의 내적이고 토크는 기준점에 의존한 위치와의 외적이므로 모순이 아닙니다.

안내 중심이 원점인 특별한 궤도에서는 q와 v가 수직이라 역학적 L도 일정합니다. 실습은 이 경우와 일반적인 옮겨진 원을 정확히 구분합니다. 에너지 보존은 다른 물리량의 보존 조합을 하나로 강제하지 않습니다.

수정 각운동량 불변량을 검사한다

d|q|²/dt=2q·v를 사용하면 다음을 얻습니다.

$$I=L-\frac{m\Omega}{2}|q|^2, \qquad \dot I=0.$$

이는 역학적 L과 다른 양입니다. 단위는 같은 kg m²/s이지만 정의가 다릅니다. 설명하지 않은 일반 정리에 의존하지 않고 직접 미분하여 보존을 확인합니다.

토크 적분은 ΔL=mΩΔ|q|²/2입니다. 수치 각운동량 수지 잔차는 L 자체를 보존한다고 가정하지 않고 이 관계를 검사합니다. 자유 운동에서는 보정 항이 사라져 I가 보통의 보존 각운동량과 같아집니다.

외부의 역할과 모형 밖을 정리한다

선택한 입자는 외력과 보통 외부 토크를 받습니다. 이를 만드는 장치나 장은 포함하지 않습니다. 입자 운동에너지 보존으로 입자 혼자의 운동량 보존까지 증명할 수 없습니다.

적절한 전하·자기장 부호를 Ω에 넣은 균일한 수직 자기장이 이러한 속도 회전의 물리적 예가 될 수 있습니다. 하지만 장의 동역학·복사·전기적 가속·자전·상대론 보정은 계산하지 않습니다. 장치와 장까지 포함한 전체 보존 예산은 별도 문제입니다.

네 그림 읽기

공간 그림은 실제 운동 m, 고정 원점, 정의되는 경우의 안내 중심을 표시합니다. 운동량 그림은 Px,Py를 kg m/s로, 각운동량 그림은 L,I를 kg m²/s로, 에너지 그림은 K를 J로 비교합니다.

초기 K,L,I와 안내 중심 좌표는 입력 코드의 정확한 유리수 계산입니다. 삼각함수 운동은 수치 평가입니다. Ω 부호로 굽는 방향을, q0로 기준점에 따른 각운동량 이력을 바꾸고 Ω=0으로 자유 극한을 확인하세요. 이 입력은 장식용 효과가 아니라 선언한 운동 모형을 바꿉니다.

풀이가 있는 여섯 연습

1. 연습: 일 없는 굽힘. m=1,Ω=1,q0=0,v0=(1,0)이면? 풀이: v=(cos t,sin t),q=(sin t,1−cos t),K=1/2J입니다. 외력이 비영이고 운동량을 회전시킵니다.
2. 연습: 각 물리량. 앞 예제의 L과 I는? 풀이: L=1−cos t,|q|²=2(1−cos t)이므로 I=0입니다. 역학적 L은 변하고 외부 토크는 sin t입니다.
3. 연습: 원점 중심의 특별한 경우. q0=(1,0),v0=(0,1),m=Ω=1이면? 풀이: C=0,q=(cos t,sin t),L=1,I=1/2입니다. 운동량 방향은 계속 변하므로 다른 보존 조합이 됩니다.
4. 연습: 자유 운동. m=2,Ω=0,q0=(0,1),v0=(1,0)이면? 풀이: q=(t,1),p=(2,0),K=1J,L=I=−2입니다. 힘과 일은 0이고 안내 중심은 원점으로 놓는 대신 정의하지 않습니다.
5. 연습: 방향 뒤집기. 첫 예제에서 Ω를 −1로 바꾸세요. 풀이: x=sin t,y=−(1−cos t),L=−(1−cos t)이고 K=1/2J는 같습니다. Ω 부호도 바뀌어 수정 불변량은 여전히 0입니다.
6. 연습: 정지 상태. 임의의 q0에서 v0=0,Ω≠0이면? 풀이: q=q0,F=0,K=0,L=0입니다. I는 일정한 −mΩ|q0|²/2입니다. 힘 계수가 비영이어도 속도가 0이면 힘은 0입니다.

학습 기반 동역학과 연결하기

학습 모형이 속력을 보존하면서 회전 주파수나 방향을 틀릴 수 있습니다. 에너지 손실 함수만으로는 이 오류를 찾을 수 없습니다. 벡터 운동량·외부 충격량·각운동량 수지·수정 불변량·실제 위치를 함께 검사하세요. 보존 진단은 선택한 계와 힘의 의존성을 따라야 하며 관측을 통한 힘 법칙 검증을 대신하지 않습니다.

배경과 범위

수직 힘의 물리적 배경은 MIT OCW의 자기장 입문을 참고하세요. 부호 있는 Ω 모형·안내 중심·수정 불변량은 여기서 직접 유도했습니다. 일반 대칭 정리와 전자기 전체 보존은 별도로 다룹니다.