이 단원 목차
질량 이동과 점 이름 맞추기는 다르다
μ=Σaᵢδₓᵢ, ν=Σbⱼδᵧⱼ를 확률 측도로 두자. 가까운 도착점에 선을 연결하는 것만으로는 충분하지 않고 각 질량을 보존해야 한다. 실습은 출발 위치 (0,1), 도착 위치 (0,2)를 고정하고 왼쪽 질량 a,b를 바꾼다.
결정론적 Monge map T는 각 출발점에 도착점 하나를 정하며 T#μ=ν를 만족해야 한다. 양의 원자 질량 전체가 한 곳으로 간다. 출발이 질량 1인 원자 하나이고 도착이 양의 원자 둘이면 이런 map은 없다.
분할을 허용하는 Kantorovich 계획
γᵢⱼ는 출발 i에서 도착 j로 옮기는 질량이다.
원자 둘씩이면 가능 계획 전체가 z=γ₀₀ 하나로 표현된다.
혼합 조절기는 이 구간을 움직인다. 구현은 비음수인 두 끝 계획을 직접 혼합하여 질량 0인 주변 분포에서도 가능성을 보존한다. 선 굵기는 이동 질량의 시각적 표시이며 선 길이가 비용은 아니다.
가능 계획 전체 풀기
절댓값 비용은 C=[[0,2],[1,1]], 제곱 비용은 C=[[0,4],[1,1]]이다. z에 대한 기울기는 각각 −2,−4라서 최적 계획은 z=min(a,b)다. 파란 비용 곡선은 가능한 모든 선택을, 주황 점은 최솟값을 보여준다.
Monge는 네 배정만 열거하면 된다. 가능한 왼쪽 도착 질량은 0,a,1−a,1이다. 질량 0인 출발점에서만 다른 배정도 열거되지만 실제 수송된 측도는 같을 수 있다.
Map이 존재해도 완화 간극이 생긴다
a=b=0.5의 제곱 비용에서는 단조 map과 최적 계획 모두 0.5다. a=1,b=0.5에서는 원자 분할 계획은 있지만 map은 없다.
a=0.4,b=0.6이면 map도 있으나 도착을 교환해야 한다. 비용은 0.4·4+0.6·1=2.2다. 계획 [[0.4,0],[0.2,0.4]]는 비용 0.6으로 더 작다. 원자 문제에서는 map의 존재와 완화 최솟값의 일치를 구분해야 한다.
직접 풀기와 가정
세 예의 행·열 합을 손으로 검사하자. 모든 출발을 가장 가까운 도착으로 보내면 목표 용량을 왜 어길 수 있는지 설명한다.
이차 비용의 최적 map 존재 정리에는 절대연속 출발 측도와 적절한 모멘트 같은 추가 가정이 있다. 원자 반례가 그 정리를 부정하는 것은 아니다. 균형 수송에는 총질량도 같아야 하며, unbalanced transport는 다른 제약의 문제다.
더 읽기: Peyré와 Cuturi의 최적수송 교재.
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