이 단원 목차
같은 초기 모양도 다른 법칙으로 움직인다
Periodic 구간 [0,2pi]에서 정수 mode k, 초기 변위 u0=M+A cos(kx)를 사용합니다. 확산·파동·일정 속도 수송은 같은 초기 그래프에서 출발하지만 방정식과 필요한 데이터가 다릅니다. 파동에는 초기 속도 v0=B cos(kx)도 필요합니다.
파랑은 현재 장, 주황은 초기 변위입니다. 한 순간의 변위가 0에 가까워도 이차 시간 파동의 전체 상태가 사라진 것은 아닙니다. 속도도 상태의 일부라는 점을 먼저 확인하세요.
확산은 짧은 공간 규모를 더 빨리 줄인다
u_t=nu u_xx의 해는 다음입니다.
왼쪽 u는 장이고 nu는 확산계수입니다. 공간 미분을 두 번 하면 -k²가 나오므로 진폭의 감쇠율은 nu k²입니다. 확산계수 0에서는 모양이 고정되고 k를 늘리면 같은 시간에 훨씬 빠르게 매끄러워집니다.
평균은 M으로 유지됩니다. Centered 변위 에너지 E=1/2 integral (u-M)²는 pi A² exp(-2nu k²t)/2이며 dE/dt=-nu integral u_x²입니다. 경계로 빠져나가지 않아도 smoothing으로 이 에너지가 감소합니다.
파동은 운동·공간 에너지를 교환한다
u_tt=c²u_xx에서 omega=ck라고 두면 다음과 같습니다.
전체 에너지는 pi(B²+omega² A²)/2로 일정합니다. A=c=k=1, B=0, t=pi/2에서는 변위가 거의 평평하지만 속도에 에너지가 남습니다. 변위 L2만 파동의 보존량으로 읽으면 틀립니다.
수송은 모양을 매끄럽게 하지 않고 옮긴다
u_t+c u_x=0의 정확한 장은 M+A cos(k(x-ct))입니다. 진폭·periodic 질량·centered L2를 유지하며 이동합니다. c로 움직이는 좌표계에서는 정지한 모양입니다. 확산의 진폭 감소, 정상파의 변위·속도 교환과 구별하세요.
수치는 x=0.37에서 시간·공간 도함수를 따로 계산해 방정식 잔차를 확인합니다. 이 실험에서는 평균 속도와 periodic 경계의 순 flux가 0이라 모든 모형의 질량이 2pi M입니다.
직접 풀기: 맞는 보존량 고르기
Heat에서 A=1, M=0, k=2, nu=0.2, t=0.5이면 진폭은 exp(-0.4)입니다. Wave에서 k=c=1, t=pi/2의 운동 에너지를 계산해 변위가 0 근처인데도 전체 에너지가 pi/2인 이유를 설명하세요. Transport의 M=0.5에서는 질량이 pi입니다. 각 비교가 실제로 어떤 불변량을 검사하는지 적으세요.
더 읽기: MIT PDE 과정.
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