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유리식만으로 변환을 정할 수 없습니다
변환은 신호 전체의 기여를 적분하거나 합합니다. 간단한 유리식이 나와도 원래 적분·급수가 실제 수렴하는지는 별개입니다. 수렴 영역 ROC도 답의 일부입니다. 여기서는 bilateral 변환을 사용하며, 초기값 문제의 unilateral 관례와 구별합니다.
a>0에서 causal 지수함수와 음수 부호를 붙인 anti-causal 지수함수를 비교합니다. 두 번째 함수의 음수 부호는 의도한 것입니다.
첫 적분의 크기는 양의 시간에서 exp(−(Re s+a)t)처럼 줄어들어야 합니다. 두 번째는 음의 무한대 방향으로 적분하므로 부등호가 반대입니다. t=0 한 점의 값은 적분에 영향을 주지 않습니다.
식이 같아도 신호와 존재 영역은 다릅니다
a=1, s=0이면 causal 적분은 1입니다. anti-causal 적분은 발산하지만 1/(s+1)에 대입하면 여전히 1이 나옵니다. 수치 표가 rational continuation과 실제 수렴 변환을 분리하는 이유입니다. s=−1은 극점이므로 어느 쪽에도 유한한 값을 주지 않습니다. s=−2에서는 anti-causal 변환이 존재하고 −1입니다.
파란 그림은 선택한 신호의 유한 시간 구간만 보여줍니다. 왼쪽 꼬리가 지수적으로 커지는 신호를 그림에서 잘랐다고 전체 적분이 수렴하지는 않습니다. 빈 점과 채운 점은 끝점의 값 관례를 구별합니다.
이산 시간에서는 원형 ROC가 나옵니다
bilateral Z 변환은 모든 정수에 대해 x[n]z⁻ⁿ을 더합니다.
기하급수의 공비 조건 때문에 수렴 영역이 수직 반평면 대신 원 안팎이 됩니다. a=0.5, z=0.25이면 anti-causal 합은 −1입니다. 음의 시간 급수를 −Σₘ≥₁(z/a)ᵐ으로 쓰면 z=0에서 값 0도 정의됩니다. causal 급수는 그곳에서 수렴하지 않습니다.
직접 풀기와 시스템 해석
a=1.5, z=1에서 어느 쪽 변환이 존재할까요? 1<1.5이므로 anti-causal 쪽만 존재하고 값은 −2입니다. 두 모드의 readout을 확인한 뒤 z=1.5의 극점으로 옮겨 보세요.
주파수 응답을 읽을 때 Laplace의 허수축과 Z의 단위원이 중요합니다. 이를 보통 Fourier 응답으로 해석하려면 해당 집합이 ROC에 들어가는지 확인해야 합니다. 인과성·안정성과 극점 위치의 관계는 신호 또는 시스템과 ROC를 함께 명시해야 하며 유리식 하나만으로 판단할 수 없습니다.
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