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SuanLab

Fokker–Planck·Gaussian 확률 Flux

밀도 시간 미분과 flux 공간 미분으로 확률 보존을 확인합니다.

280 / STOCHASTIC PROCESS LAB
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먼저 그림으로 이해하기

한 번에 한 단계씩 살펴보세요.

밀도 시간 미분과 flux 공간 미분으로 확률 보존을 확인합니다.

OU Gaussian density on the whole real line. Blue is current density, orange initial density. Flux J=-theta*x*rho-sigma²*rho_x/2 is differentiated separately from rho_t to check rho_t+J_x=0. Whole-line mass is analytically one; the finite plotted window omits tails and is not renormalized. Initial standard deviation and diffusion amplitude are strictly positive.

-2.7074.050.593-0.023
가로 실수 위치 · 파랑 현재 밀도 · 주황 초기 밀도 · 무한 구간 질량과 그림의 잘린 꼬리를 구분
xrhorho_tfluxflux_xresidual
-20.0020.004-7.649e-4-0.0044.337e-18
-10.0870.088-0.032-0.0880
00.4930.133-0.182-0.1330
10.378-0.177-0.1390.177-2.776e-17
20.039-0.047-0.0140.047-6.939e-17

current mean = 0.368

고정 기준 예제의 그림과 수치입니다. 각 단계에서 같은 그림의 의미를 차례로 살펴보세요. 고정된 기준 예제이며 아래 실험의 설정과 독립적입니다.
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밀도 진화

경로 대신 주변 분포의 진화를 구합니다.

mprime=-theta m; vprime=sigma²-2theta v

실험에서 확인하기 →
이 단원 목차

한 실현 대신 법칙을 진화시킨다

SDE는 랜덤 궤적을, Fokker–Planck 식은 주변 확률 밀도를 기술합니다. 둘은 같은 물체가 아닙니다. OU drift -theta x와 상수 diffusion sigma의 보존식은 rho_t+J_x=0이며 J는 drift 이동과 밀도 gradient의 diffusion을 합칩니다.

초기 Gaussian의 평균은 m0, 표준편차 s0는 양수입니다. 양의 sigma·s0 덕분에 초기 순간까지 매끄러운 양의 밀도입니다. Dirac 초기값의 특이점은 이 control 범위에 포함하지 않습니다.

Gaussian Moments 유도

주변 법칙은 계속 Gaussian입니다.

m(t)=m0e−θt,v(t)=s02e−2θt+σ2tf(2θt),f(z)=1−e−zz,f(0)=1.m(t)=m_0e^{-\theta t},\qquad v(t)=s_0^2e^{-2\theta t}+\sigma^2t f(2\theta t), \qquad f(z)=\frac{1-e^{-z}}z,\quad f(0)=1.

Moment 식은 m'=-theta m, v'=sigma²-2theta v입니다. Theta=0이면 평균은 고정되고 분산은 s0²+sigma²t입니다. 양의 theta에서는 sigma²/(2theta)로 접근하여 confinement와 잡음의 균형을 보여줍니다.

밀도와 Flux를 따로 미분한다

Gaussian 밀도 rho=exp(-(x-m)²/(2v))/sqrt(2pi v)로부터 다음입니다.

J=−θxρ−σ22ρx,ρt=ρ(−v′2v+(x−m)m′v+(x−m)2v′2v2).J=-\theta x\rho-\frac{\sigma^2}{2}\rho_x,\qquad \rho_t=\rho\left(-\frac{v'}{2v}+\frac{(x-m)m'}v+ \frac{(x-m)^2v'}{2v^2}\right).

구현은 J_x를 rho·rho_x·rho_xx에서 따로 구합니다. 단순히 -rho_t로 정의하지 않아 식의 불일치를 잔차로 찾을 수 있습니다. 국소 flux가 0이 아니어도 확률은 보존될 수 있으며 divergence와 경계를 함께 봐야 합니다.

그림 창과 확률 정의역은 다르다

파랑·주황은 두 밀도를 포함하는 유한 창의 현재·초기 밀도입니다. 전체 실수선의 질량은 해석적으로 1이고 그림 밖 꼬리는 재정규화하지 않습니다. 보이는 구간 적분을 전체 정규화와 동일하게 읽지 마세요.

Theta=1, sigma=sqrt(2), m0=0,s0=1이면 표준 Gaussian이 정상이고 drift·diffusion flux가 상쇄됩니다. 정상 밀도여도 표본 경로는 계속 움직입니다.

직접 풀기: 정상과 자유 확산

정상 표준 Gaussian의 v'=0을 검산하세요. Theta=0,sigma=1,m0=1,s0=1/2이면 t=1의 평균은 1, 분산은 1.25입니다. 평균보다 큰 위치의 rho_x와 diffusion flux 부호를 구하고, 전체 확률 적분에서 어떤 경계 가정을 쓰는지 설명하세요.

더 읽기: Lawler의 Diffusion·Heat Equation 노트.

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설명할 수 있나요?

실험 설정과 무관한 기준 예제를 묻습니다. 답을 고르고 설명을 확인해보세요.

1. 밀도가 그림 밖으로 뻗으면 질량 보존이 깨졌나요?
2. 한 경로의 움직임과 확률 밀도 flux는 같은 물체인가요?

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