주기 Ising 고리의 공간 상관

고리의 상관은 양쪽 경로로 전달된다

둥근 목걸이에 화살표들이 놓여 있다고 생각하자. 이웃한 화살표는 같은 방향을 좋아할 수도, 반대 방향을 좋아할 수도 있다. 두 위치를 비교할 때 시계 방향으로 갈 수도 있고 반시계 방향으로 갈 수도 있다. 작은 고리에서는 두 경로가 모두 중요하다. 무한 직선의 공식을 그대로 가져오면 반대편으로 돌아오는 경로를 놓친다.

앞 단원에서는 두 스핀과 두 국소 장에 대한 Hessian을 배웠다. 여기서는 실제 공간 인덱스, 경계 조건, 거리를 도입한다. 영장 최근접 Ising 고리를 정확히 풀고, 작은 계의 이름 붙은 배치를 직접 세며, 유한 고리의 상관과 무한 사슬의 상관 길이를 구별한다. 긴 교대 상관이 왜 균일한 장에 대한 큰 반응으로 곧바로 이어지지 않는지도 살핀다.

선수 지식은 유한 Boltzmann 합, 연결 공분산, 기하급수 합이다. 별도의 전달행렬 유도에는 2×2 행렬의 기초면 충분하다. Tong의 통계물리 강의는 주기 Ising 사슬의 배경을 제공한다. 아래의 거리 관례, 유한 입력 범위, 손계산과 수치 계약은 이 교재에서 따로 명시한다.

위치·결합·경계를 먼저 지정하자

이름 붙은 고전 스핀 N개가 있고 N은 3 이상이다. 마지막 위치 N은 첫 위치 1로 다시 연결된다. N개의 최근접 결합을 각각 한 번씩 센다.

$$E(\sigma)=-J\sum_{i=1}^N\sigma_i\sigma_{i+1},\qquad \sigma_{N+1}=\sigma_1,\qquad K=\frac{J}{k_BT},\qquad p(\sigma)=Z_N^{-1}\exp\!\left(K\sum_{i=1}^N\sigma_i\sigma_{i+1}\right).$$

모든 국소 장은 정확히 0이다. K는 무차원이며 양수이면 같은 방향, 음수이면 반대 방향의 이웃을 선호한다. 수치 모델은 N=3부터 128까지, [−8,8] 범위의 유한 binary64 K를 받는다. 이는 계산 범위이며 물리적으로 의미 있는 모든 사슬의 정의가 아니다. N=2에서 주기 링크 두 개를 쓰면 같은 순서 없는 쌍을 두 번 세게 되므로 제외한다. 앞의 두 위치 모델에서는 쌍 상호작용을 한 번 셌다.

오프셋 r은 0부터 N−1까지다. 최단 고리 거리는 d=min(r,N−r)이며, 두 연결 경로의 길이는 r과 N−r이다. 거리는 격자 간격을 단위로 한다. 물리적 길이로 바꾸려면 실제 격자 간격을 곱해야 한다. 시간 단계, 애니메이션 프레임, 최적화 반복이나 샘플러 전이를 공간 거리로 쓰는 것이 아니다. 경계를 정하지 않은 채 거리 숫자만 비교하면 서로 다른 문제를 섞기 쉽다.

결합을 전개하고 짝수 차수를 세자

t=tanh K로 놓자. 결합 하나에 대해 다음 항등식이 성립한다.

$$e^{K\sigma_i\sigma_{i+1}}=\cosh K\,(1+t\sigma_i\sigma_{i+1}),\qquad Z_N=(2\cosh K)^N(1+t^N).$$

분배함수의 식을 보려면 N개 괄호의 곱을 전개하자. 각 항은 일부 edge를 선택한 집합에 해당한다. 자유 스핀을 ±1로 합할 때 선택 집합에서 그 스핀의 차수가 홀수이면 항이 사라진다. 단순 고리에서 모든 위치의 차수가 짝수인 선택은 빈 집합과 전체 닫힌 고리뿐이다. 빈 집합은 1, 전체 고리는 t의 N승을 주고, 살아남은 각 스핀 합은 2라는 인수를 준다.

이는 정확한 계수이며 고온 근사를 중간에서 자른 결과가 아니다. 이 그래프에서 빠뜨린 더 높은 차수의 고리가 존재하지 않는다. K=0에서는 닫힌 고리 항이 사라지고 Z는 정확히 2의 N승이다. K가 음수이고 N이 홀수이면 고리 보정은 음수지만 모든 유한 K에서 절댓값이 1보다 작다. 따라서 분배함수는 양수이며 잘 정의된다. 전개의 중간 계수 부호와 최종 확률의 부호를 혼동하지 말자.

스핀 둘을 넣으면 두 경로가 드러난다

전체 스핀을 동시에 뒤집으면 각 결합은 그대로이고 각 스핀만 부호를 바꾼다. 그러므로 유한 N에서 모든 위치의 평균은 0이다. 연결 공분산은 곱의 기댓값과 일치한다.

$$C_N(r)=\mathbb E[\sigma_i\sigma_{i+r}]=\frac{t^r+t^{N-r}}{1+t^N},\qquad C_N(0)=1,\qquad C_N(r)=C_N(N-r).$$

곱을 계산하기 위해 선택한 두 스핀을 삽입하면 그 두 위치의 차수 조건이 바뀐다. 두 끝점은 홀수 차수, 나머지 위치는 짝수 차수여야 한다. 살아남는 선택은 두 위치를 연결하는 양쪽 경로 두 개뿐이다. 이 경로들의 가중치가 분자의 두 항이다. r=0에서는 t=0인 경우를 포함해 t의 0승을 1로 해석한다. 그 결과는 스핀 제곱이므로 정확히 1이다.

대수 계산 전에 그림으로 생각해보면 좋다. K가 양수이면 두 경로는 모두 양의 기여를 한다. K가 음수이면 경로 길이의 홀짝이 부호를 정한다. 짝수 고리에서는 두 길이의 홀짝이 같지만, 홀수 고리에서는 달라서 일부 상쇄된다. 최단 거리를 골랐다고 긴 경로가 확률법칙에서 사라지는 것은 아니다. 오히려 작은 고리일수록 돌아오는 경로가 결과를 크게 바꾼다.

전달행렬로 독립적으로 확인하자

행렬을 사용하는 다른 유도는 중요한 교차 검산이다. 스핀 기저를 −1,+1 순서로 놓고 다음을 정의하자.

$$T=\begin{pmatrix}e^K&e^{-K}\\e^{-K}&e^K\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix},\qquad Z_N=\operatorname{tr}(T^N),\qquad C_N(r)=\frac{\operatorname{tr}(DT^rDT^{N-r})}{\operatorname{tr}(T^N)}.$$

전달행렬 원소를 곱하면 모든 결합에 가중치 하나씩을 배정하고, trace를 취하면 고리가 닫힌다. D를 넣으면 선택한 위치의 기여에 스핀값을 곱하게 된다. T의 고윳값은 2 cosh K와 2 sinh K이고, 그 비는 t다. D는 대응하는 대칭·반대칭 방향을 교환한다. 따라서 trace를 계산하면 두 경로 식을 다시 얻는다.

K가 음수일 때 둘째 고윳값이 음수라고 해서 전이 가중치나 확률이 음수가 되는 것은 아니다. T의 모든 원소는 양수다. 음의 고윳값은 교대하는 공간 모드를 나타낸다. 또한 이 전달행렬은 공간 가중치를 합하는 도구다. 정규화와 전이 규칙을 따로 정의하지 않은 채 샘플러의 확률 전이 행렬이라고 부를 수 없다. 같은 행렬 곱 모양이라도 수행하는 역할을 확인해야 한다.

삼각형과 사각형을 손으로 세자

N=3에서는 전체 스핀이 같은 두 배치의 결합 합이 3이고, 나머지 여섯 배치의 결합 합은 −1이다. 따라서 다음을 얻는다.

$$Z_3=2e^{3K}+6e^{-K},\qquad C_3(1)=C_3(2)=\frac{e^{4K}-1}{e^{4K}+3}.$$

이상적 기호값 K=±log(3)/2를 쓰면 t=±1/2다. 유한 계의 답은 다음과 같다.

고리	t	C(1)	C(2)	스핀당 균일 장 반응
N=3	1/2	2/3	2/3	7/3
N=3	−1/2	−2/7	−2/7	3/7
N=4	1/2	10/17	8/17	45/17
N=4	−1/2	−10/17	8/17	5/17

양의 K인 삼각형에서는 같은 방향인 두 배치의 전체 확률이 3/4이고, 나머지 여섯 배치는 합해서 1/4다. 음의 K이면 이 집단 확률은 1/28과 27/28이 된다. 각 집단 안에서는 이름 붙은 배치들의 확률이 같다. 두 집단을 동등하게 1/2씩 주면 다중도를 버리는 셈이다. 집단이 두 개라는 사실과 미시 배치가 여덟 개라는 사실은 구별해야 한다.

삼각형의 두 비자기 상관이 같은 이유는 오프셋 2도 고리를 반대로 돌면 이웃 한 칸이기 때문이다. 사각형의 반대편 위치는 거리 2이며 두 경로의 길이가 같다. 반올림된 binary64 Math.log(3)/2를 넣으면 표의 이상적 기호 로그가 아니라 그에 가까운 실제 K를 지정한다. 모델 참조는 이 차이를 그대로 반영한다.

공간 공분산을 더해 균일 장 반응을 얻자

반응을 정의하기 위해 확률족을 잠시 확장해 총스핀 M에 공통 무차원 장 b를 결합하자. K를 고정하고 b=0에서 미분한다.

$$M=\sum_i\sigma_i,\qquad m=M/N,\qquad \chi_N=\left.\frac{\partial\mathbb E_b[m]}{\partial b}\right|_{b=0}=\frac{\operatorname{Var}(M)}{N}=\sum_{r=0}^{N-1}C_N(r),\qquad \operatorname{Var}(m)=\chi_N/N.$$

공분산 이중 합에는 각 오프셋마다 N개의 위치 쌍이 있으므로 위 정규화가 나온다. 자기 항 C(0)=1을 반드시 포함해야 한다. 음의 교차항은 총반응을 줄일 수 있지만 음수로 만들 수는 없다. 같은 양이 분산을 N으로 나눈 값이기 때문이다. 허용된 모든 유한 K에서 M이 서로 다른 배치들이 양의 확률을 가지므로 반응은 엄밀히 양수다.

기하급수를 합하면 다음 식을 얻는다.

$$\chi_N=\frac{1+t}{1-t}\,\frac{1-t^N}{1+t^N}.$$

이는 공통 장에 대한 반응이지 K에 대한 미분이 아니다. K를 미분하면 결합 합이라는 다른 특징에 대한 반응을 묻게 된다. 스핀당 에너지 편향 H를 사용할 경우, 양의 T와 J를 고정한 물리적 H 미분에는 1/(kBT)가 추가된다. 무차원 반응만으로 SI 단위 감수율이 정해지지 않는다. 측정 관측량의 총량·평균 구분과 조절 좌표의 단위를 함께 적어야 한다.

유한 고리와 무한 사슬의 포락선을 나누자

유한 K와 오프셋 r을 고정한 채 N을 무한대로 보내자. |t|가 1보다 작으므로 돌아오는 경로와 닫힌 고리 보정이 사라진다.

$$C_\infty(r)=t^r,\qquad |C_\infty(r)|=e^{-r/\xi},\qquad \xi=-\frac{1}{\log|t|}\quad(0<|t|<1).$$

K가 음수이면 포락선은 감쇠하면서 부호가 교대한다. ξ는 격자 간격 단위의 포락선 길이다. 그보다 먼 거리에서 상관이 정확히 0이라는 뜻은 아니다. K=0에서는 서로 다른 위치들이 독립이므로 이 교재는 연속적인 영 범위 극한 ξ=0을 명시적으로 배정한다. 0의 로그를 유한한 보통 수로 계산한다는 주장이 아니다.

유한 고리에서 오프셋을 주기적으로 확장하면 C(N)=C(0)=1이다. 그러므로 임의로 큰 오프셋까지 무한 직선의 감쇠 지수함수를 따라갈 수 없다. 특히 ξ가 고리 둘레와 비슷하거나 더 크면 유한 데이터에 단일 무한 사슬 지수감쇠를 맞추는 것이 오해를 낳을 수 있다. 먼저 r을 고정하고 그다음 N을 크게 한다는 순서는 결론의 일부다. 경계를 한 바퀴 돌아온 관측을 멀리 떨어진 독립 위치의 관측으로 해석하면 안 된다.

홀수 반대 방향 고리의 좌절을 이해하자

짝수 고리는 위·아래를 번갈아 배치하면서 전체 원을 닫을 수 있다. 홀수 고리에서는 불가능하다. 시작 위치로 돌아오면 적어도 한 결합에서 같은 방향이 만나야 한다. 이는 기하학적 좌절이며 확률 계산이 실패했다는 뜻이 아니다.

유한 수치 입력 범위 밖의 이상적인 매우 강한 음의 K를 생각하자. 홀수 고리의 바닥 배치는 2N개다. 만족하지 못하는 결합을 하나 고르고 전체 스핀 방향을 고르면 된다. 각 배치의 총스핀은 +1 또는 −1이다. 반면 짝수 고리의 두 교대 바닥 배치는 모두 총스핀 0이다. 따라서 다음 극한을 얻는다.

$$\lim_{K\to-\infty}\chi_N=\begin{cases}1/N,&N\text{ odd},\\0,&N\text{ even},\end{cases}\qquad \lim_{K\to-\infty}C_N(1)=-1+2/N\quad(N\text{ odd}).$$

N=3의 이웃 상관 극한은 −1이 아니라 −1/3이다. 세 결합 모두가 반대 방향 선호를 동시에 만족할 수 없기 때문이다. 전체 두 방향을 모두 포함하므로 위치 평균은 여전히 0이다. 유한 시뮬레이션이 배치 하나에 갇혀 있으면 준비 전체를 충분히 탐색하기 전까지 다른 경험 평균을 얻게 된다. 평형 확률법칙과 유한 실행의 관측을 구별하자.

이 고정 N의 저온 극한은 고정된 유한 K에서 N을 크게 하는 극한과 다르다. 순서를 바꾸면서 확인하지 않으면 홀수 고리 효과를 숨길 수 있다. 계산기의 K=−8은 이런 값에 가까이 갈 수 있지만 K=−무한대를 평가한다고 주장하지 않는다. 극한 설명을 추가했다고 입력 범위가 자동으로 넓어지는 것은 아니다.

긴 교대 상관이 큰 균일 요동을 뜻하지는 않는다

무한 사슬의 균일 장 반응은 특히 간단하다.

$$\chi_\infty=\frac{1+t}{1-t}=e^{2K},\qquad \chi_{\infty,\mathrm{staggered}}=\sum_{r=-\infty}^{\infty}(-1)^r t^{|r|}=\frac{1-t}{1+t}=e^{-2K}.$$

둘째 source는 무한 사슬의 위치마다 부호가 번갈아 바뀐다. 강한 음의 K에서 ξ는 크지만 균일 반응은 작다. 균일 합에서는 양·음 상관이 서로 상쇄된다. 교대 source는 상관 패턴에 맞으므로 큰 반응을 준다. 따라서 상관 길이와 특정 전역 관측량의 분산은 서로 다른 질문의 답이다. 어느 패턴을 합해서 측정했는지 빼면 길이만으로 요동 크기를 설명할 수 없다.

여기의 교대 공식은 무한 사슬에 관한 것이다. 홀수 주기 고리는 닫히는 결합까지 일관된 두 부분격자 패턴을 가질 수 없다. 따라서 그 고리의 반응을 계산하려면 유한 source 패턴을 먼저 정해야 한다. 이런 조건 없이 무한 사슬의 식을 그대로 재사용해서는 안 된다.

고정된 유한 K에서 정확한 1차원 영장 열역학 극한의 pressure는 log(2 cosh K)이며 유한 K에서 특이하지 않다. 최근접 사슬에 완전 연결 Curie–Weiss 모델의 K=1 평균장 전이가 생기는 것은 아니다. 저온에서 긴 상관이 나타나는 현상은 다른 극한과 다른 상호작용 그래프에 따른다. 앞 단원의 임계점 숫자를 그래프가 바뀐 문제에 그대로 옮기지 말자.

수치 모델에서 작은 상관을 보존하자

모델은 실제 binary64 K를 정확한 입력으로 취급한다. 방향성 지수·로그로 경계를 만들고 정확한 정수·유리 연산으로 전파한다. u=exp(−2|K|), v=|t|=(1−u)/(1+u)를 구성한다. 상관의 거듭제곱은 현재 작업용 고정소수점 격자로 잘라내지 않고 별도의 이진 지수를 보존한다. 따라서 먼 거리의 0이 아닌 상관이 선형 표시 범위보다 작아져도 그 양의 크기를 인증할 수 있다.

홀수 반대 방향 고리에서 d를 최단 거리로 두고 양의 기하급수 합 G를 정의하면 다음을 얻는다.

$$G_n(v)=\sum_{j=0}^{n-1}v^j,\qquad C_N(d)=(-1)^d v^d\,\frac{G_{N-2d}(v)}{G_N(v)}\quad(K<0,\ N\text{ odd}).$$

이 식은 나누기 전에 공통 인수 1−v를 지운다. χ에도 양의 식을 사용해 거의 상쇄되는 항들의 뺄셈을 피한다. 작업 정밀도는 128비트에서 8192비트까지 높인다. 해소된 비영 관측량의 부호는 확정되어 있고 상대 구간 폭은 2의 −48승 이하다. 지정한 정밀도 상한에서 사용 불가인 결과를 0으로 대체하지 않는다. 홀짝으로 아는 부호는 크기와 독립적으로 남길 수 있다.

모델은 부호 있는 상관과 별도로 그 절댓값의 방향성 로그를 보고한다. 일반 수치 관측량의 크기 로그 투영은 근사일 뿐이다. 최소 양수 K와 N=128에서 반대편 상관의 로그는 대략 64 log K+log 2이며 선형 부동소수점 표시 범위보다 훨씬 작다. 그럼에도 양의 유리 경계를 보존하므로 정확한 독립과 구별할 수 있다. 화면에 숫자가 보이지 않는 것과 수학적으로 값이 없는 것은 다르다.

독립 Decimal 참조는 실제 입력 준비 20사례와 관측량 2,580개를 포함한다. 18사례는 전달행렬 trace로, 11사례는 이름 붙은 배치의 직접 열거로도 검산한다. 극단적으로 작은 결합의 긴 고리 두 사례는 고정밀 닫힌 식을 사용한다. trace의 상쇄를 풀려면 훨씬 큰 정밀도가 필요하므로 그 두 사례까지 전달행렬로 검산했다고 주장하지 않는다. 모델과 원고 검사만으로 worker 생명주기나 실제 읽기 사용성의 정확성까지 입증할 수는 없으며 등록된 화면에는 별도 통합 근거가 필요하다.

작은 준비를 재현한 뒤 크기를 늘리자

일반적인 크기의 K에서는 다음 짧은 Python 코드로 삼각형의 여덟 상태를 모두 열거할 수 있다.

from itertools import product
from math import exp, log

N, K = 3, log(3) / 2
states = list(product((-1, 1), repeat=N))
weights = [exp(K * sum(s[i] * s[(i + 1) % N]
                       for i in range(N))) for s in states]
Z = sum(weights)
C1 = sum(w * s[0] * s[1] for s, w in zip(states, weights)) / Z
chi = sum(w * sum(s)**2 for s, w in zip(states, weights)) / (N * Z)
print(C1, chi)  # approximately 2/3 and 7/3

이 보통 부동소수점 계산은 확률 합을 이해하는 예시다. 방향성 모델이나 독립 고정밀 참조를 대신하는 인증 계산은 아니다. K의 부호를 바꿔 반대 방향 삼각형을 확인하자. 그다음 N을 4로 바꾸고 반대편 위치를 포함한 모든 오프셋을 검사하자. 마지막으로 적당한 유한 K에서 같은 짧은 거리를 N=8과 N=128로 비교하면 돌아오는 경로의 보정이 줄어드는 것을 볼 수 있다.

등록된 시각화에서는 N, 부호 있는 K, 오프셋을 조절한다. 두 연결 경로와 유한·무한 사슬 비교를 보여주고 균일 반응을 별도로 표시한다. 경로 강조는 공간 설명이며 강조 표시가 바뀌거나 움직여도 물리적 동역학이 정의되는 것은 아니다. 독립 이론만으로 이 상호작용의 구현 정확성까지 검증되는 것은 아니다.

두 공간 경로를 실제 실험과 연결하기

선택한 오프셋 r을 움직이며 길이 r의 파랑 경로와 N−r의 주황 경로를 따라가세요. 점은 공간 위치이며 실현된 스핀값이 아닙니다. 이 조작은 같은 평형 법칙의 관측 위치를 고르며 시간을 진행하거나 스핀 경로를 다시 생성하지 않습니다. 유한·무한 비교 그림은 최단 거리 d를 쓰고 전체 표는 모든 오프셋 r을 유지합니다.

비교할 준비	바꾸기 전에 예측	결과에서 읽을 것
양의 삼각형 → 양의 사각형	무한 사슬 곡선으로 유한 고리를 대신할 수 있을까요?	두 경로가 모두 기여하며 삼각형의 C(1)은 무한 사슬 참조와 다릅니다.
강한 반대 결합에서 홀수127 → 짝수128	긴 포락선이면 균일 반응도 클까요?	좌절, 공간 상관의 부호, 균일 장 반응을 따로 확인하세요.
독립 고리 → 최소 비영 결합	먼 상관이 보이지 않으면 독립일까요?	구조적0과 양의 경계, 선택한 상관의 방향성 로그를 비교하세요.

정수 N과 부호 있는 K를 입력하고 Enter 또는 다른 칸으로 이동해 적용하세요. N은3–128개의 서로 다른 위치와 결합을 셉니다. r=0에서 자기 상관1을 확인하고 r과 N−r을 비교하세요. 다음 관측 행으로 첫32개 이후의 모든 오프셋도 읽으세요. 포락선 길이는 격자 간격 단위의 무한 사슬 참조이며 유한 고리의 절단 거리가 아닙니다. 정밀도 상한은 수치 근거의 범위를 바꾸며 고리와 경계를 바꾸지 않습니다.

해설 문제로 이해를 확인하자

1. 빠진 경로를 찾자

이상적인 t=1/2, N=3에서 C(1)이 1/2가 아니라 2/3인 이유는 무엇인가?

해설. 짧은 경로는 1/2, 돌아오는 경로는 1/4를 기여하고 고리 정규화는 1+1/8이다. 비는 (3/4)/(9/8)=2/3이다. 1/2는 고정 거리의 무한 사슬 극한에 해당하며 이 삼각형의 답이 아니다. 경로를 하나만 그리면 계산에서 무엇이 빠졌는지 눈으로 확인할 수 있다.

2. 좌절된 삼각형을 세자

이상적인 t=−1/2에서 C(1)과 스핀당 균일 반응을 구하자. 음의 상관이 분산의 비음성과 모순되는가?

해설. 분자는 −1/2+1/4=−1/4, 분모는 1−1/8=7/8이므로 −2/7이다. 자기 항을 포함하면 χ=1−4/7=3/7이다. 총스핀 분산은 Nχ=9/7로 양수다. 교차 공분산은 합을 줄이지만 음의 분산을 만들지 않는다.

3. 관측량의 정규화를 지키자

표의 양의 사각형에서 Var(M)과 Var(m)을 구하자.

해설. χ=45/17이므로 Var(M)=4χ=180/17이고 Var(m)=χ/4=45/68이다. 총스핀과 위치당 평균은 네 배 차이이므로 분산은 열여섯 배 차이다. 둘 중 어느 것도 설명 없이 스핀당 장 반응 대신 쓰면 안 된다. 평균이라는 이름만으로 분산의 분모를 추측하지 말고 정의에서 출발하자.

4. 긴 교대 포락선을 해석하자

음의 K에서 ξ가 매우 커졌다. 균일 장 반응도 반드시 매우 큰가?

해설. 아니다. 무한 사슬의 균일 반응 exp(2K)는 음의 K에서 작아지고, 교대 반응은 exp(−2K)다. 교대하는 공간 부호가 균일 source에서는 상쇄되고 대응하는 교대 source에서는 보강된다. source 패턴도 반응 측정의 일부다.

5. 정확한 0·표시 범위·정밀도 상한을 구별하자

K=0의 비자기 상관, 작은 양의 K에서 먼 상관이 선형 표시 범위보다 작은 경우, 그리고 같은 K에 부족한 정밀도 상한을 준 경우를 비교하자.

해설. K=0에서는 서로 다른 위치들이 정확히 독립이며 구조적으로 공분산이 0이다. 양의 K에서는 정확한 공분산은 양수이고 선형 숫자가 사용 불가여도 해소된 경계와 별도의 절댓값 로그로 보고할 수 있다. 상한에 걸린 결과는 미해결이며 양의 부호를 알더라도 요청한 폭으로 인증한 크기는 없다. 이는 서로 다른 세 가지 지식 상태다.

6. 길이를 쓰기 전에 극한을 적자

유한 주기 고리에서 C(N)=exp(−N/ξ)를 써도 되는가? 홀수 반대 방향 고리의 저온 균일 반응은 어떻게 되는가?

해설. 오프셋 N은 자기 스핀으로 돌아오므로 C(N)=1이다. 지수감쇠 공식은 무한 사슬에서 고정 거리를 말하며 두 번째 경로 없이 유한 둘레를 돌아가도록 확장할 수 없다. 고정 홀수 N의 이상적 강한 반대 방향 극한에서는 바닥 배치가 M=±1이므로 χ=1/N이다. 다른 크기·결합 극한은 별도 논증이 필요하다.

공간 공분산에서 평균의 오차로 나아가자

이 단원은 유한 공간 확률법칙을 정의하며 시간 샘플링 알고리즘을 정의하지 않는다. AI 에너지 모델에서 공간 상관은 한 표본 안의 성분들 사이 의존성을 나타낼 수 있다. 상관된 여러 표본에 걸친 평균의 불확실성은 둘째 문제다. 여기에는 표본 인덱스 사이의 공분산, 지정된 준비, 점근 극한의 조건이 필요하다. 공간 상관 길이만으로 임의의 훈련 스트림의 유효 표본 수를 결정할 수 없다.

다음 가족은 정상 Gaussian AR(1) 준비로 평균의 정확한 유한 분산을 계산하고 점근 적분 상관시간과 비교한다. 음의 상관, 유한 크기 경계항, 퇴화한 끝점을 명시적으로 유지한다. 여기서 더 연구하려면 고리에 0이 아닌 국소 source를 넣고, source별 Fourier 모드를 비교하며, 유한 source Hessian을 직접 열거와 대조한 뒤 고차원 격자로 일반화하자. 이런 확장과 나머지 교육과정은 계속 미완료다.