수직 입사와 임피던스 경계

파동이 매질 경계에 도달한다

새 매질에 도달한 파동은 보통 투과파와 함께 반사파를 만든다. 전기장 진폭만 맞춰서는 충분하지 않다. 자기장은 별도의 경계 조건을 주며 에너지 흐름을 결정한다. AI 모형의 E가 매끄러워 보여도 이 조건을 위반할 수 있다.

하나의 급격한 평면 경계에 수직으로 입사하는 경우를 다룬다. 앞 유전체 경계 단원, 횡파 E/B 호환성, 조화 위상, Poynting 흐름을 복습하자. 매질은 정지한 등방성·무손실·비분산 매질이며 일정한 양의 ε와 μ를 가진다. 비스듬한 입사, 흡수 매질, 코팅, 유한 slab, 일반적인 주파수 의존 응답에는 별도 모형이 필요하다.

파동 속도와 임피던스를 구분하자

속도는 위상의 진행을 정한다. 임피던스는 단일 진행 평면파에서 전기장과 자기장 세기 H를 연결한다. 두 양은 매질 계수의 서로 다른 조합에 의존한다.

$$c_j=\frac1{\sqrt{\epsilon_j\mu_j}},\qquad Z_j=\sqrt{\frac{\mu_j}{\epsilon_j}},\qquad \omega=c_1k_1=c_2k_2.$$

H는 A/m, B=μH는 T, Z는 옴 단위다. 이번에는 양쪽 μ가 다를 수 있다. 비자성 가정이 들어 있는 굴절률 반사식을 다른 μ에 그대로 적용하지 말고 가정을 다시 유도해야 한다.

세 파동의 방향을 정하자

매질1은 z<0, 매질2는 z>0이다. 입사 E는 x 방향이며+z로 진행한다. 반사 E도 부호 있는 x축 성분으로 적지만−z로 진행하므로 H의 부호가 반대다. 투과파는+z로 진행한다.

$$\begin{aligned} E_i&=A\cos(k_1z-\omega t),&H_i&=E_i/Z_1,\\ E_r&=rA\cos(k_1z+\omega t),&H_r&=-E_r/Z_1,\\ E_t&=\tau A\cos(k_2z-\omega t),&H_t&=E_t/Z_2. \end{aligned}$$

위의 H는 모두 부호 있는 y축 성분이다. r이 음수이면 이 약속에서 반사 E의 위상이 반전된다. 투과 진폭은 τ로 적어 시간 t와 구분한다.

두 접선 장을 함께 맞추자

자유 표면 전류 시트와 특이한 자기 원천을 부과하지 않는다고 가정하자. z=0에서 모든 파동은 같은 시간 인자를 가진다. 접선 E와 H의 연속은 미지 진폭 두 개에 대한 두 식을 준다.

$$1+r=\tau,\qquad \frac{1-r}{Z_1}=\frac{\tau}{Z_2}.$$

1−r의 음수 부호는 반사 H의 진행 방향이 반대이기 때문이다. E와 H에 모두1+r를 쓰면 방향 약속을 섞어 일반적으로 틀린 경계 해를 얻는다. 이번 횡파에서는 법선 D와 B가0이라 그 점프 조건은 자동으로 맞는다.

진폭 계수를 풀자

두 경계 식을 풀면 임피던스 식을 얻는다. 주파수는 양쪽에서 같지만 속도가 달라지면 파수가 달라진다.

$$r=\frac{Z_2-Z_1}{Z_2+Z_1},\qquad \tau=\frac{2Z_2}{Z_1+Z_2},\qquad 1-r=\frac{2Z_1}{Z_1+Z_2}.$$

명시한 실수·양의 계수의 수직 입사 모형에 적용하는 식이다. 임의의 매질 경계에 대한 일반 해가 아니다. 급격한 경계와 여러 파장에 걸쳐 완만하게 바뀌는 전이층은 반사가 다를 수 있다.

진폭을 전력 비율로 바꾸자

입사 진폭이 비영이고 주파수가 양수이면 단일 진행파의 주기 평균 면적당 일률은 A²/(2Z)다. 반사파는−z로 에너지를 돌려보낸다. R은 그 크기의 비율, T는 앞으로 투과하는 일률의 비율로 정한다.

$$R=r^2,\qquad T=\frac{Z_1}{Z_2}\tau^2,\qquad R+T=1.$$

T는 단순한 τ²가 아니다. 정규화 매질에서 Z1=1옴, Z2=2옴이면 r=1/3, τ=4/3이지만 R=1/9, T=8/9다. 투과 전기 진폭이 입사 진폭보다 커도 에너지가 생긴 것은 아니다. 임피던스가 H를 바꾸어 E×H가 달라진다.

일률의 부호를 유지하자

z축 부호 약속에서 반사 평균 일률은 음수, 투과 일률은 양수다. 무원천 경계만 포함하는 영역은 들어오는 순일률과 나가는 순일률이 같다.

$$\langle S_i\rangle=\frac{A^2}{2Z_1},\qquad \langle S_r\rangle=-\frac{r^2A^2}{2Z_1},\qquad \langle S_t\rangle=\frac{\tau^2A^2}{2Z_2}.$$

단위는 W/m²다. 무한 조화 평면파의 전체3차원 에너지는 유한하지 않다. 국소 밀도·흐름 또는 명확한 유한 영역을 사용하며 주기 평균 흐름을 총 에너지라고 부르지 말자.

SI 예제를 계산하자

ε1=ε₀, μ1=μ₀, ε2=4ε₀, μ2=μ₀, A=1 V/m로 정하자. Z1≈376.730옴, Z2≈188.365옴이다. r=−1/3, τ=2/3, R=1/9, T=8/9를 얻는다. 경계에서 반사 E의 부호가 반대다.

평균 입사 흐름은 약1.327209 mW/m², 부호 있는 반사 흐름은−0.147468 mW/m², 투과 흐름은1.179742 mW/m²다. 입사와 반사를 부호대로 더하면 투과 값이 된다. 모형은 반올림한 교육용 μ₀와 SI 광속에 일관되게 맞춘 ε₀를 사용한다.

속도가 달라도 임피던스는 같을 수 있다

ε2=2ε1, μ2=2μ1이면 임피던스는 같고 속도는 절반이다. 이상 모형에서 반사는 없지만 같은 주파수의 투과 파장은 절반이 된다.

$$Z_2=Z_1\ \Rightarrow\ r=0,\quad \tau=1;\qquad c_2=c_1/2\ \Rightarrow\ k_2=2k_1.$$

접선 H는 같아도 B=μH라 접선 B는 달라질 수 있다. 이 예제의 경계에서 B2=2B1이다. 접선 B가 무조건 연속인 것이 아니다. μ가 같다는 가정을 숨긴 굴절률 전용 식은 여기서 반사를 잘못 예측한다.

계수뿐 아니라 실제 장을 검사하자

매질1의 실제 E와 H는 입사·반사 장의 합이다. 순간 Poynting 흐름은 E1H1이다. 반대 진행의 부호 때문에 이 곱의 혼합 항은 상쇄하지만, 개별 전기·자기 저장에는 간섭이 나타난다.

독립 기준 생성기는 실제 부호 있는 Poynting 곱을 위상에 대해 적분하고 E/H 경계 식을 선형계로 푼다. 같은 구현 안에서 대수적인 R+T 항등식만 계산하는 것으로 독립 검증을 대신하지 않는다.

반사를0으로 강제하고 빠진 원천을 찾자

음성 대조에서는 임피던스가 달라도 실제 r=0, τ=1로 강제한다. E는 연속이지만 H는 일반적으로 다르다. n=+z에서 자기장 점프는 x 방향 자유 표면 전류 시트를 요구한다.

$$\mathbf K_f=\mathbf n\times(\mathbf H_2-\mathbf H_1),\qquad K_{fx}=H_{1y}-H_{2y},\qquad S_1-S_2=K_{fx}E_x.$$

이는 전류 시트가 없다는 원천 요청과 모순이다. 그러나 이 부피 장이 어떤 Maxwell 해에도 속할 수 없다는 뜻은 아니다. 전류 시트를 명시적으로 공급하면 경계 일률을 설명할 수 있다. 양의 시트 일은 장의 에너지를 흡수하고 음수는 공급한다. 이번 모형은 시트의 구성방정식이나 구동 회로까지 풀지 않는다.

Z2=Z1/2인 강제 투명 상태는 음의 시트 일을 요구한다. 평균 투과 일률이 입사 일률의 두 배라 부족한 에너지를 능동 원천이 공급해야 한다. Z2=2Z1이면 필요한 시트는 입사 평균 일률의 절반을 흡수한다.

거의 같은 계수를 유지하자

반올림된 제곱근을 빼면 작은 r의 오차가 커지거나0이 될 수 있다. 차이를 유리화하고 분자를 이루는 두 곱의 반올림 오차를 유지하자.

$$r=\frac{\mu_2\epsilon_1-\mu_1\epsilon_2}{\left(\sqrt{\mu_2\epsilon_1}+\sqrt{\mu_1\epsilon_2}\right)^2}.$$

정규화 계수 ε1=1−δ, ε2=μ1=1, μ2=1+δ, δ=2⁻⁵²에서는 분자가−δ²다. 직접 곱이나 임피던스 제곱근이 대비를 반올림으로 없앨 수 있다. 보상 곱 산술은10⁻³² 크기의 r과10⁻⁶⁴ 크기의 양의 반사율을 유지한다. 일곱180자리 기준으로 근접·정확한 일치와 큰 대비를 검사한다.

아주 작은 R이 비영이어도 T는1로 반올림될 수 있다. 이를 반사0의 근거로 삼으면 안 된다. 반대로 입력 계수 자체가 이미 같은 값으로 반올림됐다면, 산술식을 재배열해도 기록되지 않은 대비를 복원할 수 없다.

안정적인 장의 기저로 계산하자

강한 반사 부근에서는1+r 또는1−r의 상대 정확도도 낮아질 수 있다. 양의 임피던스 직접 식과 정상파 기저를 사용하자. C=cos(k1z), S=sin(k1z), U=cos(ωt), V=sin(ωt)로 적는다.

$$E_1=A[(1+r)CU+(1-r)SV],\qquad H_1=\frac{A}{Z_1}[(1-r)CU+(1+r)SV].$$

호환 분기에서1+r는 τ, 1−r는2Z1/(Z1+Z2)로 계산한다. 반사를0으로 강제한 분기는 그 모형의 실제 계수를 사용한다. 공간·시간 도함수도 같은 장 표현에서 구하므로 해석적 진단이며 독립 차분 검증이 더 필요하다.

경계와 퇴화한 관측을 명시하자

z=0에서는 임의의 평균 대신 양쪽 극한을 반환한다. H는 연속이어도 B는 다를 수 있다. 두 영역의 식은 양쪽에서 연장한 표현이지 같은 점에 두 물질이 함께 있다는 주장이 아니다.

A=0이면 장과 입사 일률이0이다. 매질에 따른 형식적 계수는 정의되지만 측정 일률 비율은0/0이라 사용 불가다. k1=0이면 정적 모형으로 진동 주기가 없어 주기 평균을 보고하지 않는다. 비영 절대 에너지의 산술 손실도 사용 불가다. 좌표를 몰래 자르거나 부정확한 위상을 감는 대신 유한 위상 범위를 명시적으로 검사한다.

경계 근거를 AI 연구에 연결하자

두 열린 반공간에서 부피 Maxwell 잔차가 맞아도 경계의 원천 요청은 실패할 수 있다. E/H의 양쪽 값, 매질 계수, 반사 H 부호, 실제 부호 있는 일률, 선언한 표면 전류를 함께 검증하자. 호환 반사 해와 실제 강제 대조의 출력을 구분해야 한다.

기준은 독립 경계 선형계·위상 적분81조건, 공간·시간 장·도함수 비교96조건, 고정밀 상쇄 사례를 포함한다. 선택한 수치 관측이며 엄밀한 오차 상한이나 모든 매질 거동의 증명은 아니다.

풀이가 있는 연습문제

연습 1: 더 큰 전기 진폭

Z2=2Z1일 때 τ와 T는? 해설: τ=4/3이지만 T=8/9다. 진폭 제곱에 임피던스 인자를 곱해야 전력 비율이 된다.

연습 2: 반사 H의 부호

Hr=−Er/Z1인 이유는? 해설: 반사는−z로 진행한다. x·y 성분 기저를 유지하면 E와 H의 관계가 반대로 된다.

연습 3: 같은 임피던스와 다른 속도

매질2의 ε와 μ를 모두 두 배로 하면 반사는? 해설: 이상 모형에서는 없다. Z는 같고 속도와 파장은 절반이다.

연습 4: 어느 자기장이 연속인가

접선 H가 같고 μ2=2μ1이면 접선 B도 같은가? 해설: 아니다. 같은 H에서 B2=2B1이다.

연습 5: 빠진 시트

다른 임피던스에서 r=0, τ=1로 강제한 장은 언제나 불가능한가? 해설: 시트가 없다는 요청을 어기지만 필요한 표면 전류가 경계 에너지를 공급·흡수할 수 있다. 구동 법칙은 별도 모형이 필요하다.

연습 6: 입사 일률이 없을 때

A=0에서 반사 일률을 입사 일률로 나눠 R을 측정할 수 있는가? 해설: 아니다. 비율은 미정이다. 형식적 산란 계수가 매질을 설명한다고 측정한0/0의 몫이 되는 것은 아니다.

참고 자료와 다음 연결

경계 맞춤 절차와 비자성 가정은 Feynman II 제33장과 대조한다. Haus–Melcher §9.2는 자기 선속 밀도와 자기장 세기·자화를 구분한다. 일반적인 양의 μ의 임피던스 식은 명시한 거시적 E/H 조건에서 유도했다. 이후 게이지 자유도, 회로·센서 결합, 유효 매질 모형을 더한다.