고정 기준점의 각운동량과 토크

회전을 묻기 전에 기준점을 정한다

직선 레일을 달리는 입자도 레일 옆의 점에 대해서는 각운동량을 가질 수 있습니다. 같은 입자를 레일 위의 점에서 보면 각운동량이 0일 수 있습니다. 실제 운동은 바뀌지 않았습니다. 각운동량에는 기준점에서 잰 지레팔이 들어가므로 어느 점에 대한 값인지 먼저 정해야 합니다.

일정한 양의 질량을 가진 점입자 하나가 관성 실험실에서 일정한 평면 힘을 받습니다. 초기 위치와 속도를 주고 같은 실험실에 고정된 두 점 O와 Q=O+d를 비교합니다. 입력을 바꾸면 실험 사이의 기준점 위치가 달라질 뿐, 한 실험 도중 기준점이 움직이거나 새로운 물리적 힘이 생기는 것은 아닙니다.

평면 외적의 부호를 정의한다

평면 벡터 a와 b의 외적은 z 성분으로 나타낼 수 있습니다.

$$(a\times b)_z=a_xb_y-a_yb_x.$$

그림의 좌표계에서 반시계 방향을 양수로 정합니다. 두 벡터가 평행하면 각각 0이 아니어도 외적은 0입니다. 음수는 반대 방향을 뜻하며 크기 자체가 음수라는 뜻이 아닙니다.

rO=q−O, p=mv로 놓으면 각운동량과 토크는 다음과 같습니다.

$$L_O=(r_O\times p)_z,\qquad \tau_O=(r_O\times F)_z.$$

각운동량 단위는 kg m²/s, 토크는 N m입니다. N m가 J와 같은 차원을 가져도 토크는 외적이고 일은 내적의 적분입니다. 차원이 같다는 사실만으로 같은 물리량은 아닙니다.

실제 초기값 운동부터 푼다

일정한 힘의 뉴턴 운동은 다음과 같습니다.

$$q(t)=q_0+v_0t+\frac{F}{2m}t^2,\qquad p(t)=mv_0+Ft.$$

이 실험실 벡터는 O나 Q에 의존하지 않습니다. 실제 운동을 구한 다음 기준점 위치를 빼서 지레팔을 만듭니다. 각운동량을 보고하는 점을 바꾼다고 가속도가 달라지지 않는다는 것을 분명히 하기 위한 순서입니다.

공간 그림의 두 축은 모두 m이며 척도를 같게 유지합니다. 실제 경로와 두 기준점에서 조회 위치까지의 반지름 벡터를 표시합니다. 이 화살표를 N 단위의 힘을 m로 몰래 환산한 힘 화살표로 읽지 마세요.

토크와 각운동량의 관계를 유도한다

고정된 O에 대해 미분합니다.

$$\frac{dL_O}{dt}=(v\times mv)_z+(r_O\times\dot p)_z =(r_O\times F)_z=\tau_O.$$

v와 mv가 평행해서 첫 항이 사라집니다. 고정 기준점, 일정 질량, 같은 관성계의 운동량을 사용했으며 원운동은 가정하지 않았습니다.

기준점이 움직이는데 실험실 운동량을 그대로 사용하면 반지름의 미분에 기준점 속도가 추가됩니다. 현재 실습은 그 경우를 포함하지 않습니다. 고정점 공식을 움직이는 카메라나 가속하는 회전축에 그대로 옮기면 안 됩니다.

일정한 힘도 변하는 토크를 만들 수 있다

위치 해를 대입하면 다음을 얻습니다.

$$\tau_O(t)=((q_0-O)\times F)_z+(v_0\times F)_z t.$$

가속도에 의한 추가 변위는 힘과 평행해서 외적이 0입니다. 초기 토크를 τ0, s=(v0×F)z로 두면 힘이 일정해도 토크는 τ0+st입니다. 지레팔이 변하기 때문입니다.

시간 적분은 각충격량 수지가 됩니다.

$$L_O(t)-L_O(0)=\tau_0t+\frac{s}{2}t^2.$$

적분한 토크의 단위 N m s는 각운동량과 같습니다. 실습에서는 이 적분값과 조회 위치·운동량의 외적에서 직접 구한 변화량을 비교합니다.

순간 조건과 보존을 분리한다

현재의 일정 힘 모형에서 전체 시간 동안 L이 일정하려면 τ0=0과 s=0이 모두 필요합니다. 조회 시각의 토크가 0이라는 것은 그 순간 L의 미분이 0이라는 뜻입니다. 과거나 미래의 토크까지 0이라고 말할 수 없습니다.

토크가 0이어도 각운동량 값은 0이 아닐 수 있습니다. 힘이 없는 직선 등속 운동은 모든 고정점에 대한 토크가 0이지만, 레일 밖의 점에서는 비영 각운동량을 보존합니다. 반대로 입자가 기준점을 지나는 순간은 지레팔이 0이므로 속도가 있어도 L=0입니다.

물리량의 값, 순간 변화율, 일정 시간 동안의 보존은 서로 다른 질문입니다.

각운동량의 기준점을 평행 이동한다

Q=O+d이고 실제 p와 F는 같으므로 다음이 성립합니다.

$$L_Q=L_O-(d\times p)_z,\qquad \tau_Q=\tau_O-(d\times F)_z.$$

서로 다른 기준점에서 값과 보존 여부가 달라질 수 있습니다. p의 변화율이 같은 F이므로 두 이동 공식도 미분 관계와 일치합니다. 실습의 정확한 기준점 이동 잔차가 이 일관성을 검사합니다.

이는 각 물리량을 정의하는 점을 바꾸는 것입니다. 공간 그림의 위치는 계속 실험실 좌표이고 축을 회전시키거나 비관성 힘을 추가하지 않습니다.

세 그림과 정확한 표 읽기

첫 그림은 0~10초의 실험실 경로, 두 고정 기준점, 조회 시각의 반지름 벡터입니다. 주황 조회 점은 같은 실제 사건을 가리킵니다. 둘째 그림은 LO와 LQ를 kg m²/s로, 셋째는 그 미분인 토크를 N m로 비교합니다.

표는 정수 입력 코드의 정확한 유리수 값을 유지합니다. 질량 외 코드는 10으로 나누면 위치·속도·힘·이동·시간의 물리적 값이 됩니다. 곡선은 같은 해의 표본 그림이며 두 선이 눈으로 가까워 보이는지에 따라 수지나 보존을 판정하지 않습니다.

d만 바꾸어 보세요. 실제 경로와 운동량, 힘은 같고 비교점 각운동량은 달라집니다. 첫 안내 예제에서 시각을 0으로 바꾸면 그 순간 토크는 0이지만 전체 보존 판정은 여전히 거짓입니다.

풀이가 있는 여섯 연습

1. 연습: 변하는 지레팔. m=1,q0=(1,0),v0=(0,1),F=(−1,0),O=0에서 1초 상태는? 풀이: q=(1/2,1),p=(−1,1),L=3/2,τ=1입니다. 초기 L=1에 토크 적분 1/2가 더해집니다.
2. 연습: 지금 토크 0. 앞 예제의 t=0에서 L은 보존되나요? 풀이: τ0=0이지만 s=v0×F=1이므로 τ=t, L=1+t²/2입니다. 초기 미분 0은 함수가 일정하다는 뜻이 아닙니다.
3. 연습: 다른 보존 판정. q0=(1,0),v0=(0,1),F=(0,−1),m=1에서 O=0과 Q=(1,0)을 비교하세요. 풀이: LO=1−t,τO=−1입니다. Q를 지나는 수직선 운동이므로 LQ=τQ=0은 모든 시간에 유지됩니다.
4. 연습: 힘 없는 직선. q0=(0,1),v0=(1,0),F=0,m=1이면? 풀이: 원점에 대한 LO=−1이 보존됩니다. Q=(0,1)에서는 LQ=0입니다. 궤도는 원이 아니라 직선입니다.
5. 연습: 기준점을 통과. q0=O=0,v0=(1,0)에서 초기 L은? 풀이: 지레팔이 0이라 L=0이지만 속도는 0이 아닙니다. 그 점의 각도 좌표는 정의되지 않아도 외적은 계산됩니다.
6. 연습: 질량 두 배. 첫 예제의 질량만 두 배로 하세요. 풀이: 1초에서 q=(3/4,1),p=(−1,2),L=5/2입니다. 초기 L=2가 되고 각충격량은 여전히 1/2입니다. 현재 일정 힘 모형의 추가 가속 변위는 힘과 평행해서 토크에 기여하지 않습니다.

학습 기반 역학에 연결하기

한 점의 각운동량 보존만 학습한 모형은 운동량과 힘을 일관되게 예측하지 않으면 다른 점에서 실패할 수 있습니다. 기준점 이동 공식과 토크 적분을 함께 검사하세요. 잔차가 작다는 것만으로 힘 법칙의 실험적 타당성이 입증되지는 않습니다. 가정한 힘과 초기 조건은 실제 관측과 별도로 비교해야 합니다.

배경과 한계

고정점과 움직이는 점의 차이는 MIT OCW의 각운동량과 토크를 참고하세요. 일정 힘의 다항식 해는 위 가정에서 유도했습니다. 강체 자전, 관성텐서, 움직이는 기준점에는 추가 모형이 필요합니다.