Invariance·Equivariance와 전칭 조건

값을 유지하는 것과 출력을 함께 변환하는 것은 다릅니다

불변 scalar는 q(gx)=q(x), 등변 사상은 f(ρin(g)x)=ρout(g)f(x)를 만족합니다. 입력·출력 표현을 먼저 정해야 합니다. 불변은 출력 작용이 trivial인 등변의 특수한 경우입니다. 벡터 출력은 숫자를 고정하기보다 입력과 함께 회전하는 것이 자연스러울 수 있습니다.

평면 회전의 제곱 노름은 RθᵀRθ=I이므로 불변입니다. 실험은 입력을 돌린 뒤 W를 적용하는 경로와 W를 적용한 뒤 출력을 돌리는 경로를 따로 계산합니다. 파랑·주황 끝점이 같으면 선택한 입력·각도에서 두 경로가 일치합니다.

작은 선형 행렬족 풀기

x=(1,0.5)와 다음 행렬을 사용합니다.

c=0이면 회전·배율 형태라 모든 Rθ와 교환합니다. 반대로 quarter-turn J와 교환하는 조건을 풀면 대각 성분이 같고 비대각 성분은 반대 부호여야 합니다. 따라서 이 행렬족의 모든 SO2 각도 등변 조건은 정확히 c=0입니다.

실수 벡터 표현에 대한 주장입니다. scalar 항등만 가능한 것은 아니며 SO2에서는 J 성분도 남습니다. 반사까지 요구하면 이 항이 제거되는 과정은 Reynolds 단원에서 봅니다.

숫자로 확인하는 반례

a=1,b=0,c=0.5, θ=π/2이면 W=diag(1.5,0.5)이고 다음과 같습니다.

배경 단위원은 출력 좌표 기준일 뿐 두 끝점의 노름이 1이라는 뜻이 아닙니다. 별도 수치의 제곱 노름 차이는 입력 회전의 불변성을 검사하며 비등방 W의 모든 출력 노름을 불변이라 부르지 않습니다.

한 번 성공한 검사가 충분하지 않은 이유

θ=π에서는 회전이 −I라 모든 선형 W와 교환합니다. c=0.5여도 선택 오차는 0이지만 모든 각도 등변 표시는 거짓입니다. 입력 하나만 검사해도 교환자 행렬을 그 벡터에만 작용시킨 것이므로 비영 행렬이 우연히 그 입력을 소거할 수 있습니다. 등변성은 입력과 군 원소 모두에 대한 전칭 조건입니다.

직접 풀기와 풀이

깨진 quarter-turn 예제에서 θ만 π로 바꾸고 오차가 0인 이유를 −I로 설명하세요. 다시 π/2에서 c=0으로 두면 모든 각도에 성립하는 행렬 항등식으로 문제가 고쳐집니다. b도 바꾸어 등변성이 입력과 출력의 동일함을 뜻하지 않음을 확인하세요.

연구와의 연결

구조적 등변성은 알려진 대칭을 설계에 넣고 수치 검사는 구현 오류를 찾습니다. 올바른 과제 대칭의 선택은 별도입니다. 경계·보간·이산화·비선형 층이 연속 모형의 등변성을 깨뜨릴 수 있으므로 표현과 검사한 변환을 오차와 함께 보고하세요.

추가 읽기: Cohen and Welling, Group Equivariant Convolutional Networks.