조화진동자의 정상 작용과 안장점

자연은 언제나 작용을 최소화할까

용수철은 물체를 평형 위치로 끌어당긴다. 복원력의 부호는 안정적이고, 초기 위치와 초기 속도를 주면 이후 운동은 유일하다. 그런데 같은 진동자의 작용이 모든 시간 구간에서 최소인 것은 아니다. 이 겉보기 모순을 이해하려면 실제 운동의 안정성과 후보 경로 공간에서의 작용 곡률을 구분해야 한다.

시작과 끝 위치를 모두 0으로 고정하고 시간 구간 T를 바꾸어 보자. q=0은 언제나 실제 운동의 한 해다. 이 기준 경로가 최소였다가 평탄해지고 나중에는 안장점이 되는 과정을 계산할 수 있다. 그동안 용수철의 힘은 계속 복원력이다.

실제 진동자와 후보 경로를 정의하기

질량 m>0, 고유 각진동수 ω₀≥0, 강성 k=mω₀²로 두자. 힘은 −kq이고 위치에너지는 kq²/2다. 라그랑지안은 운동에너지에서 위치에너지를 뺀 값이다.

$$L(q,\dot q)=\frac m2\dot q^2-\frac k2q^2.$$

s=t/T를 사용하여 다음 후보 경로를 정한다.

$$q(s)=A\sin(\pi s)+B\sin(3\pi s).$$

두 모양은 양 끝에서 0이다. A와 B의 단위는 m이다. 각 모양의 시간 진동수 π/T, 3π/T는 진동자의 고유 각진동수 ω₀와 일반적으로 다르다. 따라서 조절값으로 선택한 곡선 대부분은 실제 운동방정식의 해가 아니다. 이 계산은 정해진 함수를 평가하며 미분방정식을 수치적으로 적분하지 않는다.

직교성을 이용해 작용을 적분하기

서로 다른 두 사인 함수는 [0,1]에서 직교한다. 미분한 코사인 함수들도 직교하고 각 제곱의 적분은 1/2이다. 따라서

$$S[q]=\frac{m\pi^2}{4T} \left[\left(1-\frac{\omega_0^2T^2}{\pi^2}\right)A^2 +\left(9-\frac{\omega_0^2T^2}{\pi^2}\right)B^2\right].$$

운동에너지는 시간 미분에서 nπ/T를 얻으므로 오래 걸려 같은 모양을 따라가면 작아진다. 반면 위치에너지의 적분은 변위가 있는 상태로 머무는 시간 T의 영향을 받는다. 충분히 긴 구간에서는 작용에 음의 부호로 들어가는 위치에너지 적분이 운동에너지 적분보다 클 수 있다. 위치에너지나 운동에너지 자체가 음수가 된 것은 아니다.

작용의 단위는 Js이고 진폭으로 두 번 미분한 헤시안 성분의 단위는 Js/m²다. 순간의 에너지는 합 K+U이고 작용은 차 K−U의 시간 적분이므로 같은 숫자로 해석할 수 없다.

어느 경로의 정상성을 분류하는가

A=B=0이면 q=0이다. 전체 운동방정식 m qddot+kq=0을 만족하므로 모든 고정 끝점 변화에 대해 일차 변분이 0이다. 이 정상 기준 경로의 곡률은 ω₀T/π에 따라 달라진다.

ω₀T<π이면 두 계수가 양수다. ω₀T=π이면 첫 모드 계수는 0이고 세 번째 모드 계수는 양수다. π<ω₀T<3π이면 첫 모드 방향으로 작용이 감소하고 세 번째 모드 방향으로 증가하므로 q=0은 안장점이다.

긴 구간에서 작용이 음수인 비영 후보 경로를 선택했다고 해서 그 후보 자체가 정상 안장점인 것은 아니다. 그 곡선은 0 기준 경로보다 작용이 작은 시험 경로다. 기준 경로의 헤시안 성질과 현재 선택 경로가 방정식의 해인지는 따로 표시해야 한다.

두 모양을 넘어 최소를 증명하기

모든 허용 변화에 대한 주장은 함수 공간의 가정이 필요하다. η를 양 끝 경계값이 0이고 약한 도함수가 제곱 적분 가능한 H₀¹(0,T)의 함수로 둔다. 사인 급수 η(t)=Σcₙ sin(nπt/T)를 이용하면

$$\int_0^T\eta^2\,dt=\frac T2\sum_{n\geq1}c_n^2, \qquad \int_0^T\dot\eta^2\,dt=\frac{\pi^2}{2T}\sum_{n\geq1}n^2c_n^2.$$

n²≥1이므로 두 번째 적분은 첫 번째 적분의 π²/T²배 이상이다. 유한 사인 합에서 먼저 계산한 뒤 H₀¹ 노름의 극한으로 확장할 수 있다. 등호가 되려면 첫 사인 모드만 남아야 한다. 이 부등식으로 ω₀T<π에서는 비영 변화의 작용이 양수임을, ω₀T=π에서는 첫 모드가 평탄한 비엄격 최소임을 얻는다.

더 긴 구간에서는 음의 방향 하나와 충분히 높은 양의 모드 하나로 안장점을 확인할 수 있다. 이번 조절 범위는 ω₀T/π≤2.5여서 세 번째 모드가 항상 양의 방향이다. 이는 조절 범위에 따른 성질이며 모든 긴 시간 구간에서 세 번째 모드가 양수라는 주장이 아니다.

정확한 분기와 소수 계산을 구분하기

모델은 정수 f=0,…,4로 ω₀=πf/4를 정하고, 정수 N=5,…,25로 T=N/10초를 정한다. 그러면

$$D_1=40^2-(fN)^2,\qquad D_3=120^2-(fN)^2,$$ $$S=\pi^2\frac{m}{6400T}(D_1A^2+D_3B^2).$$

D₁의 부호와 fN=40의 등호는 정수 연산으로 정확히 결정한다. 작은 허용오차 안에 들어왔다는 이유로 임계 상태로 바꾸지 않는다. 유리수 조절값에서는 π² 앞의 계수가 유리수인 것이며, 작용 자체가 유리수인 것은 아니다. 삼각함수와 부분 누적 적분은 소수 계산을 사용하고 표현 오차를 진단값으로 남긴다.

f를 유지하면서 m을 바꾸면 k=mω₀²도 함께 바뀐다. 즉 같은 고유 진동수에서 질량과 강성을 함께 확대하는 실험이다. 강성을 고정하고 질량만 바꾸는 실험으로 설명하면 안 된다.

선택 경로 전체의 운동방정식 검사

Euler–Lagrange 잔차는 다음처럼 정리된다.

$$R(t)=m\ddot q+kq =-\frac{m\pi^2}{1600T^2} \left[D_1A\sin(\pi s)+D_3B\sin(3\pi s)\right].$$

두 사인 모드는 독립이고 이번 범위에서 D₃>0이므로, 경로 전체 잔차가 0일 필요충분조건은 D₁A=0과 B=0이다. 커서가 양 끝에 있으면 모든 사인 항이 0이므로 잘못된 후보에서도 순간 잔차가 0으로 보인다.

경로 전체를 평가하는 평균 제곱 잔차는

$$\frac1T\int_0^T R(t)^2\,dt =\frac{m^2\pi^4}{2\cdot1600^2T^4} (D_1^2A^2+D_3^2B^2).$$

제곱근의 단위는 힘 N이다. 이 식은 그래프의 몇 점을 샘플링한 결과가 아니라 모드 직교성으로 적분한 결과다. 잔차가 우연히 0이 되는 시점을 피해서 선택할 필요가 없다.

평탄한 임계 가족과 초기값의 유일성

ω₀T=π이면 B=0인 모든 A sin(πt/T)가 0에서 출발해 0으로 돌아오는 실제 해다. 진폭이 달라도 작용은 모두 0이다. 그러나 초기 속도 Aπ/T는 서로 다르다.

이는 두 위치를 지정한 경계값 문제의 여러 해다. 같은 초기 위치와 초기 속도를 지정한 초기값 문제의 여러 해가 아니다. 매끄러운 선형 진동자는 완전한 초기 상태를 주면 해가 유일하다. 두 장의 위치 사진에는 초기 속도를 구별할 정보가 빠져 있을 수 있다.

비영 진폭의 임계 경로는 양의 일정한 에너지 m(Aπ/T)²/2를 가진다. 작용이 0인 이유는 운동에너지 적분과 위치에너지 적분이 같아서 상쇄되기 때문이다. 수레가 정지해 있다는 뜻이 아니다.

변화 방향과 작용 곡선

ξ=C sin(πs)+D sin(3πs), qε=q+εξ로 두고 h₁=mπ²D₁/(3200T), h₃=mπ²D₃/(3200T)라 쓰면

$$\delta S=h_1AC+h_3BD,\qquad \delta^2S=h_1C^2+h_3D^2.$$

이차식이므로 S(qε)=S(q)+εδS+ε²δ²S/2는 정확하다. 0 기준 경로에서는 안장점인 경우에도 모든 방향의 일차 변화가 0이다. 변화를 주었을 때 작용이 증가하는지 감소하는지는 이차 변화가 결정한다.

작용–ε 그래프는 경로들의 모음을 비교한다. 물리적 시간 그래프와 가로축 의미가 다르다. 또한 선택 경로가 실제 해가 아니면 기계적 에너지가 시간에 따라 달라질 수 있다. 이를 자동으로 수치적 에너지 보존 오차라고 부르면 안 된다.

세 시간 구간의 계산 예시

m=1 kg, f=2이면 ω₀=π/2 s⁻¹이다. T=1초에서는 ω₀T/π=1/2이므로 0 경로가 엄격 최소다. 시험 경로 A=1 m, B=0의 작용은 3π²/16 Js이고 운동방정식의 해는 아니다.

T=2초에서는 첫 모드가 평탄하다. 같은 진폭의 경로는 이제 실제 해이고 작용은 0, 에너지는 π²/8 J다. 진폭을 바꾸어도 고정 끝점 문제에서 작용은 달라지지 않는다.

T=2.5초에서는 비가 1.25다. 첫 모드 시험 경로의 작용은 −9π²/160 Js이고 세 번째 모드의 작용은 양수다. 0 경로는 정상 안장점이 된다. 이때도 물리적 힘의 복원 방향은 바뀌지 않는다.

해설이 있는 연습 문제

1. 임계 구간에서 A=0, B=1이면 정상인가? 아니다. D₃가 양수여서 세 번째 모드의 잔차와 작용이 남는다. 첫 모드가 평탄하다는 결론을 다른 모드에 적용할 수 없다.
2. 안장점 구간에서 t=0의 잔차만 확인하면 충분한가? 아니다. 모든 사인 모드가 그 점에서 0이다. 전체 잔차의 평균 제곱을 확인해야 한다.
3. 긴 시간 구간에서 A=B=0으로 바꾸면 안장점이 사라지는가? 선택 경로는 실제 해가 되지만 양·음의 변화 방향은 그대로 남는다. 경로의 값과 그 주변 함수 공간의 곡률은 다르다.
4. f와 T를 고정하고 m을 두 배로 하면? 작용·강성·잔차의 진폭은 두 배이고 고유 진동수와 곡률의 부호 분류는 같다. 강성도 함께 변하는 매개변수 설정 때문이다.
5. f=0에서 비영 사인 경로는 어떤 의미인가? 위치에너지가 없으므로 작용은 양수다. 양 끝이 0인 자유 입자의 실제 해는 q=0이며 사인 후보는 그 해가 아니다.
6. 임계 구간에서 B=0을 유지하며 A를 두 배로 하면? 초기 속도는 두 배, 에너지는 네 배, 작용은 여전히 0이다. 서로 다른 초기 속도이므로 초기값 유일성과 충돌하지 않는다.

연구 연결과 참고 자료

학습한 변분 동역학에서 임의의 긴 구간에 대해 작용을 최소화하기만 하면 실제 정상 경로를 찾는다고 보장할 수 없다. Euler–Lagrange 잔차, 허용 경계 조건, 헤시안을 따로 살펴야 한다. 끝점 복원, 초기 상태 예측, 함수 최적화는 서로 다른 질문이다.

최소와 임계 평탄성은 위 사인 급수 논증으로 직접 증명했다. 시간 구간의 역할을 독립적으로 다룬 자료로 Marco Moriconi의 Condition for minimal Harmonic Oscillator Action을 참고할 수 있다. 여기서의 엄격 최소·평탄 최소·안장점 구분은 등호 경우까지 포함한 위 이차식에 근거한다. 다음 주제에서는 일반적인 Lagrange 방정식을 여러 좌표에 대해 유도한다.