이 단원 목차
분포 에너지를 낮추는 gradient flow
Free energy F(ρ)=∫x²ρ/2+T∫ρlogρ, T≥0를 두자. 변분 미분의 속도는 v=−x−T∂ₓlogρ이고 연속식과 결합하면 Ornstein–Uhlenbeck 방정식이다.
Gaussian 초기값에서는 m′=−m, (σ²)′=−2σ²+2T다. 따라서 m(t)=m₀e⁻ᵗ, σ²(t)=σ₀²e⁻²ᵗ+T(1−e⁻²ᵗ)이다. 시간 0 근처에서는 안정적인 지수 나머지로 계산한다.
밀도 혼합과 다른 변분 보폭
Jordan–Kinderlehrer–Otto 단계는
이 문제에서는 이전 상태가 Gaussian이면 Gaussian 후보가 전체 최소도 달성한다. 평균·분산을 고정할 때 Gaussian은 음의 entropy를 최소화하고 W₂²의 모멘트 하한도 affine Gaussian coupling으로 달성하기 때문이다. 편의상 가족을 가정한 것과 구별하자.
상수 항을 생략한 에너지는 (m²+σ²)/2−Tlogσ다. 근접 목적을 최소화하면
양의 근으로 다음 표준편차를 얻는다. 분산 미분방정식에 implicit Euler를 직접 적용한 식과는 다르다. 좌표와 Wasserstein 기하를 함께 읽어야 한다.
같은 물리 시간에서 비교
파란 선은 kh에서 정확한 연속 에너지, 주황 선은 실제 JKO 반복이다. 유한 변분 단계는 정확한 시간 적분이 아니다. 총시간을 고정하고 h를 줄여 에너지 감소와 시간 이산화 오차를 따로 비교할 수 있다.
m₀=σ₀=T=1,h=0.5,두 단계이면 σ=1, JKO 평균은 4/9다. 시간 1의 연속 평균은 e⁻¹≈0.367879라 W₂ 차이는 약 0.076565다. T=0이면 평균과 표준편차 모두 4/9가 되어 차이는 약 0.108279다.
에너지 감소로 지불하는 이동 비용
이전 법칙을 경쟁 후보로 넣으면
합하면 누적 이동 비용을 전체 에너지 감소가 상계한다. 표와 수치에서 두 값을 따로 읽고, 근접 정상성 잔차도 검사한다.
직접 풀기와 풀이
m₀=0,σ₀=T=1이면 표준 Gaussian이 평형이라 상태·에너지 변화와 이동 비용이 모두 0이다. T=0의 Dirac 집중은 시간 극한에서 생기며 유한 시간의 양의 표준편차를 폭 0 밀도로 바꾸면 안 된다.
Free-energy gradient flow, 고정 끝점 사이 최단 경로, 밀도의 선형 mixture가 각각 어떤 문제를 푸는지 설명하자. 모두 분포를 바꾸지만 같은 최적화는 아니다.
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