원의 Metric·Geodesic과 최단 경로

Metric은 접변위의 길이를 정합니다

Riemannian metric은 각 접공간에 매끄럽게 주어진 양의 정부호 내적입니다. 국소 길이와 각도를 측정하는 규칙입니다. 반지름 R의 원에서 각 θ로 위치를 미분하면 속력 R이므로 다음과 같습니다.

이는 원 위의 경로만 허용하는 내재 기하입니다. 주변 평면을 가로지르는 현은 다른 허용 경로 문제입니다. 두 거리는 제약이 다릅니다.

각변위와 winding을 선택하기

끝점의 각도는 2π의 정수배만큼 모호합니다. δ를 (−π,π]의 대표값으로 택하고 같은 끝점이면 0으로 둡니다. 2πm을 더하면 winding 경로가 됩니다. 일정 속도 lift는 θ(t)=θ₀+t(δ+2πm)입니다.

실험은 m=−1,0,1을 허용합니다. 최단 내재 거리는 R|δ|입니다. 대척점 δ=π에서는 m=0과 m=−1의 두 방향이 동률이므로 전역 최단 방향이 유일하지 않습니다.

Geodesic이 항상 전역 최단은 아닙니다

상수 metric 좌표의 geodesic 방정식은 θ̈=0입니다. 따라서 일정 속도로 여러 바퀴 도는 경로도 국소적으로 이 방정식을 만족합니다. 국소 미분방정식만으로 임의로 긴 구간의 전역 최단성을 보장하지 않습니다.

R=1인 사분원의 최단 거리는 π/2≈1.571, 현은 √2≈1.414입니다. 양의 방향으로 한 바퀴 추가하면 선택한 길이는 5π/2≈7.854가 되지만 끝점과 최단 거리는 같습니다. 파랑은 원 전체, 주황은 선택 arc입니다. 여러 번 감긴 경로는 같은 선을 반복해 그리므로 그림뿐 아니라 길이와 에너지도 읽어야 합니다.

직접 풀기와 풀이

R=2의 대척점에서 내재 거리 2π, 현 4, [0,1]의 일정 속도 에너지 2π²를 예상해 확인하세요. 두 최단 방향의 에너지는 같습니다. 끝점 차이를 0, winding을 1로 두면 길이 4π의 한 바퀴지만 끝점 거리는 0입니다. 거리는 선택한 경로 하나의 길이가 아니라 가능한 경로 길이의 infimum입니다.

기하 학습과의 연결

제약된 표현의 보간·이웃 탐색·경로 계획은 metric과 허용 경로에 의존합니다. embedding의 Euclidean 근접성이 내재 근접성과 같지 않을 수 있습니다. 호 길이 좌표 s=Rθ를 쓰면 metric 계수는 1로 바뀌지만 실제 거리는 같습니다. geodesic 기반 알고리즘을 비교할 때 metric·매개 시간 구간·전역 제약을 명시하세요.

추가 읽기: John M. Lee, Introduction to Riemannian Manifolds.