존재·유일성·기다리는 해

존재와 유일성은 다른 질문이다

존재는 방정식과 데이터를 만족하는 해가 있는지를, 유일성은 같은 데이터의 두 해가 공통 시간 구간에서 일치하는지를 묻습니다. 수치 해법이 곡선 하나를 돌려준다고 둘을 증명한 것은 아닙니다. 곡선이 갈라져 보여도 초기값과 방정식이 같은지 먼저 확인해야 합니다.

일반 ODE y'=f(t,y)에서 벡터장의 연속성은 적절한 국소 정의역 가정 아래 해의 국소 존재를 줄 수 있습니다. 상태 변수에 대한 local Lipschitz 조건은 유일성을 주는 익숙한 충분조건입니다. 두 결과 모두 국소적이며 모든 미래 시간의 유계성·존재를 자동 보장하지 않습니다.

선형 벡터장의 대조군

y'=lambda y는 Lipschitz 상수 |lambda|를 가집니다. 초기값 0의 해는 계속 0이고 epsilon의 해는 epsilon exp(lambda t)입니다.

양의 lambda에서 둘이 갈라져도 초기값이 다르므로 유일성은 깨지지 않습니다. 실험은 초기값 차이를 따로 표시합니다. 초기 민감도는 비유일성과 다르며, 유일한 흐름도 관측 불확실성을 크게 증폭할 수 있습니다.

같은 초기값으로 여러 해 만들기

연속 벡터장 f(y)=2 sqrt(max(y,0))와 y(0)=0을 생각합시다. 모든 c>=0에 대해 다음을 정의합니다.

c 이전에는 상태와 도함수가 모두 0이고 이후에는 도함수 2(t-c)가 2sqrt(y)와 같습니다. c에서도 양쪽 도함수가 0이므로 연속 미분 가능한 실제 해입니다. 그림만 이어 붙인 가짜 궤적이 아닙니다.

모든 해는 0에서 시작합니다. c=0과 c=1/2를 택하면 t=1에서 각각 1과 1/4이므로 이 문제의 비유일성이 직접 증명됩니다. 영원히 0에 머무는 해도 가능합니다.

충분조건의 실패와 반례를 구분하기

양의 작은 h에서 |f(h)-f(0)|/|h|=2/sqrt(h)는 무한히 커집니다. 따라서 0 근처에서 유한한 Lipschitz 상수를 둘 수 없습니다. 다만 충분조건이 실패했다는 사실만으로 임의의 문제가 비유일하다고 결론내릴 수는 없습니다. 여기서는 같은 초기값의 서로 다른 해를 구성했기 때문에 결론이 강합니다.

직접 풀기: 무엇이 갈라졌는가

기다리는 시간을 1, 질의 시간을 1/2로 두면 두 해는 0과 1/4이고 초기값은 같습니다. 선형 모형 epsilon=0.1에서는 t=1의 해가 다르지만 초기값부터 0.1만큼 다릅니다. 어느 비교가 유일성을 반박하는지 설명하고 출발 순간 c에서 기다리는 해의 ODE 잔차도 직접 검산하세요.

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