Brownian Covariance and Quadratic Variation | Physics and Mathematics for AI

277 / STOCHASTIC PROCESS LAB

먼저 알아두면 좋아요 · 연결된 선수 단원의 확률·조건부 기대·미적분·선형대수 기초

Martingale·보상·유계 정지 →다변량 Gaussian과 조건부 기하 →

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먼저 그림으로 이해하기

한 번에 한 단계씩 살펴보세요.

같은 미세 경로의 grid를 바꾸며 표본과 이론을 비교합니다.

One seeded Gaussian increment realization on a finest 128-step grid, aggregated to N=2^k. Refining k preserves shared endpoints. Blue joins sampled Brownian values; straight connectors do not make a Brownian path differentiable. Orange ±sqrt(t) are pointwise one-standard-deviation references, not pathwise bounds. Covariance and quadratic-variation moments are theoretical, not estimated from this one path.

가로 시간 · 파랑 한 Gaussian 경로 · 주황 ±sqrt(t)는 주변 표준편차 기준이며 경로 상한이 아님

time	sample W	quadratic variation expectation at full T
0	0	1
0.063	0.551	1
0.125	0.477	1
0.188	0.325	1
0.25	0.382	1
0.313	0.392	1
0.375	0.592	1
0.438	0.443	1
0.5	0.79	1
0.563	1.01	1
0.625	1.036	1
0.688	0.787	1
0.75	1.147	1
0.813	1.16	1
0.875	1.451	1
0.938	1.284	1
1	1.202	1

grid increment count = 16

고정 기준 예제의 그림과 수치입니다. 각 단계에서 같은 그림의 의미를 차례로 살펴보세요. 고정된 기준 예제이며 아래 실험의 설정과 독립적입니다.

1 / 4

증분

서로 겹치지 않는 Gaussian 증분을 생성합니다.

dW~N(0,dt)

실험에서 확인하기 →

이 단원 목차

유한 경로 그림은 무한차원 법칙의 표본이다

표준 Brownian motion은 0에서 시작하고 연속 경로와 독립 Gaussian 증분을 가지며 증분 분산은 시간 길이입니다. 실험은 128-step 미세 grid의 seed 고정 증분을 만들고, 거친 grid는 같은 증분을 묶습니다. 세분할 때 공유 끝점을 유지하며 다른 경로를 새로 만들지 않습니다.

파랑의 직선 연결은 렌더링 선택입니다. Brownian 경로가 고전적으로 미분 가능한 조각 직선이라는 주장이 아닙니다. 주황 ±sqrt(t)는 주변 분포의 1 표준편차이며 전체 경로를 동시에 둘러싸는 신뢰구간이나 결정론적 상한이 아닙니다.

공분산은 공유 증분에서 나온다

s<=t에서 W_t=W_s+(W_t-W_s)입니다. 뒤 증분은 W_s와 독립이고 평균 0이므로 다음입니다.

E[W_t]=0,\qquad \operatorname{Var}(W_t)=t,\qquad \operatorname{Cov}(W_s,W_t)=\min(s,t).

Control은 T에 대한 시간 비율입니다. 표시값은 한 경로에서 추정한 공분산이 아니라 Gaussian 과정 법칙의 성질입니다. 서로 다른 시각의 값이 상관되어도 겹치지 않는 증분이 독립이라는 사실과 모순되지 않습니다.

제곱 증분 합은 다르게 움직인다

N개의 균등 구간에서 QV는 증분 제곱의 합입니다. 각 증분의 분산은 T/N이고 제곱의 평균·분산은 T/N, 2(T/N)²입니다.

E[QV]=T,\qquad \operatorname{Var}(QV)=2T^2/N.

실제 QV는 보이는 경로에서 계산하며 보통 T와 다릅니다. 세분화는 이론적인 흔들림 규모를 줄이지만 관측값이 단조롭게 T에 접근할 필요는 없습니다. 한 좋은 그림이 정리를 증명하지 않습니다.

시간 배율과 표본을 구별하기

N=16,T=1이면 QV 분산은 0.125, N=64이면 0.03125입니다. 이 coupling에서는 끝점이 같습니다. 같은 seed에서 T를 두 배로 하면 경로는 sqrt(2)배, QV는 2배, 그 이론 분산은 4배입니다.

직접 풀기: 공유 구간 설명

T=2에서 1/4·3/4 시각의 공분산은 1/2입니다. 두 합에 함께 들어가는 증분으로 유도하세요. 거친·미세 grid의 끝점이 같아도 QV가 다른 이유는 합의 제곱에 cross term이 생기기 때문입니다. 주황 표준편차 선을 벗어난 것이 왜 모형 실패가 아닌지도 설명하세요.

더 읽기: Lawler의 Brownian·Variation 노트.

CHECK YOUR UNDERSTANDING

설명할 수 있나요?

실험 설정과 무관한 기준 예제를 묻습니다. 답을 고르고 설명을 확인해보세요.

1. 샘플을 직선으로 연결하면 Brownian 경로가 미분 가능해졌나요?아니요예초기·경계 조건과 무관

2. 주변 ±1 표준편차 안에 전체 경로가 반드시 있나요?아니요예초기·경계 조건과 무관

이 단원을 이해했고, 내 말로 설명할 수 있습니다.

선택한 답과 학습 표시는 이 브라우저에 저장됩니다. 다시 풀거나 표시를 해제할 수 있습니다.

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기본 grid

먼저 예측 · 기본 grid: 끝점·관측 QV·이론적 QV 분산이 grid에 따라 어떻게 변할지 예상하세요.

조작 방법 · 예제를 불러와 해·조건·잔차·그림을 비교하고 설정 하나를 바꾸세요.

결과 해석 보기

N=16에서 QV 분산은 0.125입니다.

예제를 열면 현재 실험 설정을 해당 값으로 바꿉니다. 아래에서 자유롭게 수정할 수 있습니다.

비교할 예제

가로 시간 · 파랑 한 Gaussian 경로 · 주황 ±sqrt(t)는 주변 표준편차 기준이며 경로 상한이 아님

time	sample W	quadratic variation expectation at full T
0	0	1
0.063	0.551	1
0.125	0.477	1
0.188	0.325	1
0.25	0.382	1
0.313	0.392	1
0.375	0.592	1
0.438	0.443	1
0.5	0.79	1
0.563	1.01	1
0.625	1.036	1
0.688	0.787	1
0.75	1.147	1
0.813	1.16	1
0.875	1.451	1
0.938	1.284	1
1	1.202	1

모델 설정

N=2^k의 k끝 시간 T표본 seed공분산 시간 비율 s/T공분산 시간 비율 t/T

수치로 확인하기

표시값은 반올림합니다. —는 정의되지 않거나 표시할 유한값이 없는 경우입니다.

grid increment count: 16
sample endpoint W(T): 1.202
sample quadratic variation: 0.879
expected quadratic variation: 1
quadratic-variation variance: 0.125
theoretical covariance at selected time fractions: 0.25

표본·이론적 기대값·유한 관측창·support·시계를 구분하세요. 한 경로나 유한 진단만으로 극한·불변성·정지 정리·역전 조건을 증명하지 않습니다.

실험 설정은 이 브라우저에 자동 저장됩니다.