진자의 작은 각도 근사와 주기 오차

근사가 유용하려면 질문과 오차 기준이 필요하다

진자의 주기가 일정하다는 공식은 작은 진동에서 유용합니다. 그러나 어떤 진폭까지 가능한지, 무엇을 예측하는지, 얼마의 오차를 허용하는지 없이는 적용 범위가 명확하지 않습니다. 주기는 잘 맞아도 순간 각도나 여러 번 진동한 뒤의 위상은 다를 수 있습니다.

이 단원은 이상적인 비선형 진자의 주기를 기준으로 두 근사식을 비교합니다. 질점, 질량 없는 강체 연결, 일정한 길이, 균일 중력, 항력과 마찰 없음을 가정하고 정지 상태에서 놓습니다. 이 기준 모형을 정확히 계산하는 것과 모든 실제 진자에 그 가정이 맞는다는 것은 다른 주장입니다. 공기 저항·축 마찰·줄의 탄성 등은 별도로 검증해야 합니다.

실습의 판정은 현재 진폭에서 선택한 주기 근사가 요청한 상대 오차를 만족하는가입니다. 전체 물리 현상에 붙이는 보편적인 ‘유효’ 표지가 아닙니다.

비선형 복원 법칙부터 시작

아래쪽 안정 평형에서 잰 각도 θ를 라디안으로 쓰면 다음과 같습니다.

$$\theta''(t)+\frac{g}{L}\sin\theta(t)=0.$$

처음 θ(0)=α이고 각속도는 0입니다. 0<α<π이면 −α와 +α 사이를 왕복합니다. 선형 모형은 sin θ를 θ로 바꾸며, 그 근거는 sin θ=θ−θ³/6+…라는 작은 각도 전개입니다.

입력 각도는 도 단위이므로 식에 넣기 전에 π/180을 곱해 라디안으로 바꿉니다. 30도라는 숫자 30을 그대로 α²/16에 넣으면 전혀 다른 잘못된 근사가 됩니다. 차원 1인 각도에도 각도 표기 관례가 남아 있습니다.

에너지로 기준 주기를 유도

운동방정식에 각속도를 곱해 적분하면 단위 질량당 에너지 보존을 얻습니다.

$$\frac{L^2}{2}(\theta')^2+gL(1-\cos\theta) =gL(1-\cos\alpha).$$

한쪽 끝에서 평형점까지의 시간을 적분한 뒤 네 배하면 한 주기입니다. 회전점에서 생기는 적분의 특이한 모양은 sin(θ/2)=sin(α/2)sin φ로 바꾸면 정리됩니다.

$$T=4\sqrt{L/g}\,K(k),\qquad k=\sin(\alpha/2), \qquad K(k)=\int_0^{\pi/2}\frac{d\phi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\phi}}.$$

여기서 k는 타원 적분의 modulus입니다. 어떤 라이브러리는 parameter m=k²를 받으므로 두 입력 관례를 혼동하면 안 됩니다. 독립 고정밀 수치 적분과 특수함수 평가를 비교하면 이런 구현 오류를 확인할 수 있습니다. 기준은 이상 모형의 해석적 주기이며 컴퓨터의 평가값 자체는 수치 근사입니다.

같은 관측량에 두 근사를 적용

선형화한 식은 다음 주기를 줍니다.

$$T_0=2\pi\sqrt{L/g}.$$

첫 진폭 보정을 포함하면 다음과 같습니다.

$$T_2=T_0\left(1+\frac{\alpha^2}{16}\right).$$

두 식 모두 주기에 대한 근사입니다. T₂는 진폭이 0에 가까워질 때의 점근 보정이지 비선형 운동 전체를 대체하는 보편 공식이 아닙니다. 진폭이 커지면 더 높은 항이 중요해집니다.

상대 오차는 |T_근사−T|/T로 정의합니다. 분모가 기준 주기 T라는 점이 중요합니다. 90도에서 T/T₀≈1.180340599이고, 선형 근사의 상대 오차는 약 15.27869%입니다. ‘비선형 주기가 T₀보다 약 18.03406% 길다’는 설명은 T₀를 분모로 쓴 것이므로 수치가 다릅니다. 두 설명을 오차 기준에서 혼용하지 않습니다.

세 진폭에서 손으로 읽어 보기

5도에서는 T/T₀≈1.00047617249입니다. 선형 상대 오차는 약 0.04759%이고 보정식의 상대 오차는 약 0.00002077%입니다. 이 이상 모형의 주기라는 관측량에는 작은 각도 근사가 매우 잘 맞습니다.

첫 안내의 30도에서는 선형 오차가 약 1.71109%여서 요청한 1% 기준에 실패합니다. 두 번째 안내는 길이·중력·진폭·기준 모형을 그대로 두고 보정식만 바꿉니다. 보정 오차 약 0.02694%로 같은 기준을 통과합니다.

세 번째 안내는 보정식을 유지하고 90도로 놓습니다. 오차 약 2.21360%로 다시 실패합니다. 한 항을 보정해서 개선되었다는 사실과 모든 입력에서 정확도가 보장된다는 사실은 다릅니다. 현재 진폭과 관측량, 허용 오차를 함께 확인해야 합니다.

진폭 0과 분리 궤적을 정직하게 다루기

진폭이 정확히 0이고 처음 속도도 0이면 진자는 평형에 정지합니다. 관측한 비자명한 한 주기는 없습니다. T₀는 진폭이 0으로 갈 때의 작은 진동 극한 주기이며 정지 궤적에서 실제 한 바퀴를 측정한 값이 아닙니다.

따라서 실습은 진폭 0에서 극한 T₀는 표시하지만 비선형 진동 주기·근사 진동 주기·그 주기의 상대 오차와 통과 판정은 미정으로 둡니다. 비율 그림의 0도 점은 극한이라고 명시하고 오차 곡선은 1도부터 그립니다.

반대로 α가 π에 아래에서 가까워지면 이상 주기는 무한히 커집니다. 정확히 위쪽에서 정지시킨 상태는 불안정한 정지 해이고 보통의 유한 주기 진동과 다릅니다. 실습 범위는 150도까지지만 분리 궤적에 접근할 때 운동의 성질이 달라진다는 점을 이해해야 합니다.

수치 오차와 모형 근사 오차를 나누기

양의 산술기하평균 AGM은 산술 평균과 기하 평균을 반복해 공통 극한으로 갑니다. 다음 항등식으로 타원 적분을 평가할 수 있습니다.

$$K(k)=\frac{\pi}{2\operatorname{AGM}(1,\sqrt{1-k^2})}.$$

이 범위에서 보완 modulus는 cos(α/2)>0입니다. 수학적 반복은 수렴하는 위·아래 수열을 주지만 실제 부동소수점 연산에는 반올림이 있습니다. 마지막 두 반복값의 차이가 작다고 기계 오차 전체에 대한 엄밀한 구간 인증을 얻었다고 말하지 않습니다. 오차 기준 근처의 판정도 수치 평가라는 점을 명시합니다.

AGM과 독립 고정밀 적분의 비교는 기준 주기를 계산한 수치 구현을 검사합니다. T₀,T₂와 기준 주기의 차이는 근사식의 절단 오차입니다. 실제 실험과 이상 모형의 차이는 또 다른 모형 오차입니다. 세 질문을 하나의 작은 숫자로 뭉뚱그리지 않습니다.

주기 그림은 정확한 시간 궤적이 아니다

cos의 주기만 비선형 주기로 바꾼다고 비선형 진자의 정확한 시간 파형이 되지는 않습니다. 진폭이 커지면 파형도 달라집니다. 이 실습은 주기 비율과 오차 곡선을 그리며, 보정한 cos를 실제 비선형 궤적이라고 표시하지 않습니다.

또한 작은 주기 오차도 여러 번 진동하면 위상 차이로 쌓일 수 있습니다. 한 주기, 최대 각도, 긴 시간의 순간 상태는 다른 관측량입니다. 연구 결과에서 어떤 양을 어떤 시간 구간에 평가했는지 명시해야 독자가 적용 범위를 판단할 수 있습니다.

AI 대리 모형의 외삽과 연결

작은 진폭에서만 학습한 대리 모형은 조화 진동 주기를 잘 맞추면서 분리 궤적 쪽의 주기 증가를 놓칠 수 있습니다. 학습 구간의 작은 손실은 다른 진폭에서의 물리 정확도를 증명하지 않습니다. 입력 범위와 오차 지표가 모델의 명세에 포함되어야 합니다.

이상 모형에서는 L과 g를 바꾸면 주기는 √(L/g)로 함께 바뀌고 정규화한 비율과 상대 오차는 진폭에만 달립니다. 이 스케일 일관성은 유용한 검사이지만 생략한 마찰이나 탄성이 중요해지는 실제 장치까지 인증하지 않습니다.

연습 문제와 해설

1. 문제: α²/16에 왜 라디안을 넣나요? 해설: 전개식이 라디안 관례로 유도되므로 도 입력은 π/180으로 변환해야 합니다.
2. 문제: 진폭 0의 정지 진자에서 T₀를 측정했나요? 해설: 아닙니다. T₀는 작은 진동의 극한이며 정지 상태의 비자명한 주기가 아닙니다.
3. 문제: 30도에서 선형식은 1%를 만족하나요? 해설: 기준 주기 분모의 오차가 약 1.71109%이므로 실패합니다.
4. 문제: 90도에서 보정식은? 해설: 약 2.21360%여서 같은 1% 기준에 실패합니다.
5. 문제: 보정 주기의 cos가 정확한 비선형 시간 해인가요? 해설: 주기 일치만으로 파형 일치가 나오지 않으므로 아닙니다.
6. 문제: AGM과 적분이 일치하면 무항력 가정도 검증했나요? 해설: 같은 이상 모형의 두 계산을 비교했을 뿐 실제 항력의 크기는 실험 증거가 필요합니다.

출처와 다음 학습

NIST DLMF의 진자 응용은 비선형 식과 타원 적분 주기를, AGM 절은 타원 적분과 산술기하평균의 관계를 설명합니다. 이 단원의 오차 기준과 수치 예제는 직접 유도하고 독립 고정밀 적분으로 검산했습니다. 다음은 같은 시각에서도 관측량에 따라 달라지는 항력 근사의 적용 범위입니다.