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좌표 독립 Metric·Covector와 Gradient

늘이기·shear 좌표에서 같은 벡터·길이·미분을 일관되게 표현합니다.

204 / GEOMETRY AND TOPOLOGY LAB
먼저 알아두면 좋아요 · 연결된 선수 단원의 집합·선형 사상·미분·적분 기초
접벡터·여접벡터와 불변 Pairing →대칭·양의 준정부호 행렬 →
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먼저 그림으로 이해하기

한 번에 한 단계씩 살펴보세요.

늘이기·shear 좌표에서 같은 벡터·길이·미분을 일관되게 표현합니다.

Linear coordinates x=A u, A=[[s,k],[0,1/s]], det A=1. Diagram uses physical x coordinates: blue coordinate-basis columns of A and orange physical v. Pull back the Euclidean metric g=AᵀA; df has physical components (1,2). Covectors and metric-raised gradients transform differently.

-0.082.081.537-0.537
동일 축척 물리 x 평면 · 파랑 u 좌표 기저 A의 열 · 주황 물리 벡터 v · 좌표 성분 그래프와 구별
metric rowfirst componentsecond component
g row 142
g row 221.25

vector components in u = (-0.5, 2)

고정 기준 예제의 그림과 수치입니다. 각 단계에서 같은 그림의 의미를 차례로 살펴보세요. 고정된 기준 예제이며 아래 실험의 설정과 독립적입니다.
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같은 대상

좌표를 바꾸어도 물리 벡터 자체는 유지됩니다.

vx=A vu

실험에서 확인하기 →
이 단원 목차

좌표 성분 자체가 길이를 정하지는 않습니다

같은 물리 벡터도 기저에 따라 다른 성분을 가집니다. 정규직교 Cartesian 좌표에서는 성분 제곱합이 길이 제곱이지만 늘이거나 shear한 좌표에서는 metric 행렬이 필요합니다. 성분 변화와 벡터 자체의 변화를 혼동하면 기하 알고리즘이 틀어집니다.

행렬식 1의 가역 선형 좌표 x=A u를 사용합니다.

A=(sk01/s),vu=A−1vx,gu=ATA=(s2skskk2+s−2).A=\begin{pmatrix}s&k\\0&1/s\end{pmatrix},\qquad v^u=A^{-1}v^x,\qquad g_u=A^TA =\begin{pmatrix}s^2&sk\\sk&k^2+s^{-2}\end{pmatrix}.

s>0은 배율, k는 shear입니다. 그림은 항상 물리 x 축입니다. 파란 선분은 물리 공간에 나타낸 u 기저인 A의 열이며 주황은 vˣ=(a,b)입니다. A를 바꾸면 기저가 바뀌고 a,b를 고정하면 실제 벡터는 유지됩니다.

비정규직교 예제를 손으로 계산하기

s=2,k=1,vˣ=(1,1)이면 vᵘ=(−0.5,2), g=[[4,2],[2,1.25]]입니다. 새 성분의 제곱합은 4.25이지만 올바른 노름은 다음과 같습니다.

(vu)Tguvu=(vx)Tvx=2.(v^u)^Tg_uv^u=(v^x)^Tv^x=2.

g vᵘ=(2,1.5)를 구해 (−0.5,2)와 내적하면 −1+3=2입니다. 수치 적합의 우연이 아니라 좌표 일관성입니다. 비영 w에 대해 wᵀg w=||Aw||²>0이므로 metric은 양의 정부호입니다. 이 행렬족의 det g=1이지만 행렬식 1만으로 기저가 정규직교인 것은 아닙니다.

미분과 Gradient는 성분 변환이 다릅니다

f(x)=x₁+2x₂의 물리 covector 성분은 αₓ=(1,2)입니다. 연쇄법칙으로 αᵤ=Aᵀαₓ이지만 gradient 벡터에는 inverse metric이 필요합니다.

αu=ATαx,(grad⁡f)u=gu−1αu=A−1(1,2)T.\alpha_u=A^T\alpha_x,\qquad (\operatorname{grad} f)^u=g_u^{-1}\alpha_u =A^{-1}(1,2)^T.

앞 예제에서 αᵤ=(2,2), gradient 성분은 (−1.5,4)입니다. 서로 연관되어도 tensor 종류가 다릅니다. αᵤ·vᵘ=3은 물리 좌표의 a+2b와 같습니다. αᵤ를 그대로 벡터로 쓰면 잘못된 metric을 사용한 셈입니다.

직접 풀기와 풀이

s=1,k=1,vˣ=(1,0)에서 vᵘ=(1,0), αᵤ=(1,3), gradient 성분 (−1,2)를 구하세요. 마지막 값에 A를 곱하면 물리 gradient (1,2)입니다. pairing과 벡터 제곱 노름은 모두 1입니다. shear만 바꿔 반복해도 물리 스칼라는 유지됩니다.

불변 학습과의 연결

기하 특징·latent 거리·최적화 갱신에는 tensor 종류와 변환 규칙을 밝혀야 합니다. 비선형 chart에서는 A 대신 국소 Jacobian을 사용하고 위치에 따라 metric도 달라집니다. 이 유한 상수 Jacobian 예제는 대수적 일관성을 확인할 뿐 임의의 학습 표현이 metric이나 위상을 보존한다고 증명하지 않습니다. 좌표 독립성은 이름을 붙이면 생기는 성질이 아니라 유도하고 검사할 성질입니다.

추가 읽기: John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds.

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설명할 수 있나요?

실험 설정과 무관한 기준 예제를 묻습니다. 답을 고르고 설명을 확인해보세요.

1. 비직교 좌표에서도 성분 제곱합이 항상 물리 노름인가요?
2. 편미분 성분을 그대로 gradient 벡터라 불러도 되나요?

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