에너지·분산·잔차와 바닥 공간

1. 상태를 찾는다는 것은 에너지 지형을 살피는 일이다

Hamiltonian은 양자 상태에 에너지의 통계를 부여한다. 변분 계산은 허용된 상태 가운데 평균 에너지가 가장 낮은 상태를 찾는다. 핵심 보장은 기대값에 대한 하한이지, 어떤 최적화 알고리즘이 반드시 좋은 상태를 찾는다는 약속이 아니다. 이 두 문장을 구별하는 것이 양자 시뮬레이션과 기계학습을 연결하는 첫 단계다.

상태 방향마다 높이가 정해진 지형을 상상하자. 벡터에 비영 복소수를 곱해도 물리적 상태 방향과 에너지는 바뀌지 않는다. 따라서 서로 다른 크기의 좌표 배열을 전부 별개의 점으로 보는 대신, 정규화된 상태의 ray 위에서 에너지를 생각해야 한다. 시험 상태 가족은 이 지형의 일부만 탐색한다. 좌표를 잘 바꾸면 탐색이 쉬워질 수 있지만, 가족에 없는 상태 방향이 새로 생기지는 않는다.

대상	바꾸는 것	그것만으로 보장하지 못하는 것
정규화한 시험 상태	평가할 에너지 기대값	그 상태가 에너지를 최소화한다는 사실
제한된 상태 가족	탐색할 수 있는 물리 방향	정확한 바닥 공간에 접근할 수 있다는 사실
수치 최적화 알고리즘	파라미터를 탐색하는 방법	전역 최솟값이나 오차 인증

이 장의 흐름은 상태 방향 → 에너지 평균 → 변화와 잔차 → 스펙트럼 정보 → 제한된 근사 → 연구 검증이다. 복소 내적, Hermitian 연산자와 기본 미분을 알고 있다고 가정한다. 에너지 지형 자체에는 시간에 따른 물리적 운동을 지정하는 정보가 없다.

2. Hamiltonian과 정의역을 먼저 정한다

유한 복소 내적 공간과 Hermitian 행렬 H에서 시작하자. 비영 원시 벡터 z를 쓰면 기대값을 계산할 때 제곱 노름으로 나누어야 한다. 이 방식은 정수처럼 다루기 편한 대표를 유지하면서 같은 물리 상태를 계산하게 한다. 에너지 단위는 H의 모든 원소에 공통으로 사용한 단위이며, 상태를 정규화한다고 없어지지 않는다.

$$N=z^\dagger z>0,\qquad |\psi\rangle=\frac{z}{\sqrt N},\qquad E(z)=\frac{z^\dagger Hz}{z^\dagger z},\qquad H=H^\dagger.$$

Hermitian 성질 때문에 분자가 실수다. 영벡터는 정규화된 상태를 나타내지 못하므로 제외한다. 프로그램도 이 경우를 에너지0으로 바꾸지 말고 정의되지 않았다고 알려야 한다. 복소 내적에서는 첫 번째 인자에 켤레가 들어간다. 켤레 전치를 단순 전치로 바꾸면 에너지 기대값이 아닌 복소수를 얻을 수 있다.

무한 차원에서는 행렬의 Hermitian 성질만 적는 것으로 충분하지 않다. 정의역을 지정한 자기수반 연산자 또는 적절한 닫힌 이차형식이 필요하다. 바닥 에너지의 변분 하한에는 스펙트럼의 하한과 허용된 시험 함수가 전제된다. 경계 조건을 확인하지 않은 채 식을 형식적으로 미분한다고 이 조건들이 성립하지는 않는다. 아래 유한 행렬 계산기는 미분 연산자의 정의역을 검사하는 도구가 아니다.

3. 하한은 가중평균에서 나온다

서로 다른 에너지 값을 epsilon j, 각 에너지의 직교 사영을 Pj라고 하자. 축퇴한 에너지에는 전체 고유공간을 향하는 하나의 사영을 대응시킨다. 정규화된 상태가 주는 스펙트럼 확률은 모두 비음이며 합이1이다. 평균은 평균에 참여하는 가장 작은 에너지보다 작아질 수 없다.

$$H=\sum_j\epsilon_jP_j,\qquad p_j=\frac{z^\dagger P_jz}{N},\qquad \sum_jp_j=1,\qquad E-\epsilon_0=\sum_{j>0}(\epsilon_j-\epsilon_0)p_j\ge0.$$

이것이 유한 차원 변분 원리의 증명이다. 등호가 성립하려면 바닥 고유공간 밖의 확률이 모두0이어야 한다. 바닥 공간이2차원이라면 그 안의 정규화된 어떤 중첩도 바닥 상태다. 임의로 고른 바닥 벡터 하나에 대한 fidelity만 비교하면 다른 정확한 바닥 상태를 잘못 평가하게 된다.

하한을 가진 자기수반 연산자에서는 스펙트럼 측도나 이차형식을 통해 비슷한 부등식을 얻는다. 여기서 하한은 스펙트럼의 infimum이며, 실제 고유값으로 달성되지 않을 수도 있다. 실수 전체에서의 자유 입자는 이 차이를 보여준다. 시험 함수 열이 하한에 접근한다는 것과 정규화할 수 있는 바닥 상태가 존재한다는 것은 다른 주장이다. 바닥 고유공간이 없는데도 모든 하한을 바닥 사영으로 바꾸면 안 된다.

4. 복소 방향을 실수 매개변수로 미분한다

임의의 복소 방향 eta와 실수 매개변수 t를 택하자. z+t eta를 따라가면 분자와 분모가 함께 변한다. 이 몫을 미분하면 고유값 방정식의 잔차가 나타난다. 복소 gradient의 관례를 섞기 전에 실제 실수 경로의 미분부터 구하면 정류 조건을 명확하게 이해할 수 있다.

$$r=(H-E)z,\qquad \left.\frac{dE(z+t\eta)}{dt}\right|_{t=0} =\frac{2\operatorname{Re}(\eta^\dagger r)}{N},\qquad E'(0)=0\ \text{for every }\eta\ \Longleftrightarrow\ Hz=Ez.$$

역방향을 증명하려면 eta=r을 넣으면 된다. 이 방향의 미분까지0이라면 잔차의 제곱 노름이0이어야 한다. 모든 고유상태는 정류한다. 가장 높은 에너지의 상태도 포함되므로 정류 조건은 최소화 조건보다 약하다. z와 r의 내적은0이어서 정규화 구면에서 잔차는 접선 방향이다. 실수 내적의 상수 관례를 제외하면 제약된 gradient와 연결된다.

평평해야 하는 방향도 두 개 확인하자. eta=z는 대표의 크기를 바꾸며, eta=i z는 일차적으로 전체 위상을 바꾼다. 둘 다 에너지 미분이0이어야 한다. 한 방향에서만 미분이0인 것과 모든 복소 방향에서 정류하는 것은 다르다. 준비한 계산기는 정규화 분모의 변화까지 포함한 실수 경로의 정확한 이차 미분도 반환한다. t=0에서 각 값을 평가하면 다음 식을 얻는다.

$$N'=2\operatorname{Re}(z^\dagger\eta),\qquad E''=\frac{2\eta^\dagger(H-E)\eta}{N}-\frac{2E'N'}{N}.$$

두 번째 항을 빠뜨리면 일반 원시 벡터 경로가 단위 구면 위에 머문다고 잘못 가정한 셈이 된다. 경로 시작점은 비영이므로 그 주변의 미분은 정의되지만, 멀리 떨어진 특정 경로점에서 벡터가0이 되는지는 별도로 확인한다.

5. 분산은 잔차 인증이지만 결론에는 한계가 있다

정규화한 상태의 에너지 분산은 고유값 방정식 잔차의 제곱 노름이다. 물리적 통계와 수치 선형대수를 연결하는 중요한 항등식이다. 에너지 하나보다 많은 정보를 주지만, 어떤 고유값을 찾는지에 따라 해석이 달라진다.

$$\operatorname{Var}(H)=\frac{\|r\|^2}{N} =\langle H^2\rangle-E^2 =\sum_jp_j(\epsilon_j-E)^2,\qquad \min_j|\epsilon_j-E|\le\sqrt{\operatorname{Var}(H)}.$$

마지막 부등식은 제곱 거리의 평균이 그중 가장 작은 제곱 거리 이상이라는 사실에서 나온다. 가까운 어떤 스펙트럼 값이 존재함을 인증할 뿐, 그것이 바닥 에너지라고 식별하지는 않는다. 정확한 들뜬 고유상태는 분산과 잔차가0이어도 바닥 공간 밖에 완전히 놓일 수 있다.

작은 잔차는 에너지 단위를 가진 절대적인 진술이기도 하다. H의 배율을 바꾸면 잔차와 표준편차도 바뀐다. 고유벡터의 정확도를 말하려면 경쟁하는 다른 고유값과의 분리 정보가 필요하다. 축퇴에 가까울 때 개별 고유벡터는 민감하게 바뀌어도 합친 불변 부분공간은 안정적일 수 있다. 축퇴 공간 안에서 임의로 선택한 수치 기저보다 공간 사영을 보여주는 이유다.

6. 양의 gap이 초과 에너지를 바닥 공간 오차로 바꾼다

바닥 고유공간이 존재하고 다음의 서로 다른 에너지와 알려진 양의 gap Delta가 있다고 하자. 바닥 공간 밖의 확률은 평균 에너지를 적어도 Delta만큼의 비율로 올린다. 스펙트럼 가중평균에 이 관찰을 적용하면 누출 확률의 상한을 얻는다.

$$\Delta=\epsilon_1-\epsilon_0>0,\qquad 1-p_0\le\frac{E-\epsilon_0}{\Delta},\qquad L_0\le\epsilon_0,\quad 0<d\le\Delta \ \Longrightarrow\ 1-p_0\le\frac{E-L_0}{d}.$$

가정을 실제로 어떻게 아는지가 중요하다. 바닥 에너지의 변분 상한 U0를 분자의 정확한 바닥 에너지 대신 넣으면 오차가 실제보다 작아질 수 있다. 인증된 하한 L0는 느슨하더라도 안전하다. gap도 낙관적으로 큰 값을 대입하면 안 된다. 정확한 gap을 모르면 분모에 쓸 양의 하한을 별도로 정당화해야 한다.

확률 상한은1로 제한할 수 있다. 상수 Hamiltonian에는 서로 다른 들뜬 에너지가 없으므로 양의 gap 공식은 정의되지 않는다. 이 경우 모든 상태가 이미 바닥 공간에 속한다. 무한 계가 gapless라면 유한 크기 계의 gap을 그대로 써서 무한 계 바닥 상태의 fidelity를 인증할 수 없다. 아래 수치 실험은 입력한 유한 Hamiltonian에 대한 계산이다.

7. 두 준위 예제에서 세 질문을 구별한다

H=diag(0,2)를 택하자. 바닥 벡터, 들뜬 벡터, 균등한 결맞은 상태가 진단의 차이를 보여준다. 마지막 상태의 상대 위상 i는 그대로 유지한다. 이 대각 Hamiltonian에서 에너지가 점유 확률에만 의존한다고 복소 위상을 입력에서 지울 이유는 없다.

정규화 상태	평균 에너지	에너지 분산	바닥 공간 확률
(1,0)	0	0	1
(0,1)	2	0	0
(1,i)/sqrt(2)	1	1	1/2

$$|\psi(\theta,\phi)\rangle= \begin{pmatrix}\cos\theta\\e^{i\phi}\sin\theta\end{pmatrix},\qquad E=2\sin^2\theta,\qquad \operatorname{Var}(H)=4\sin^2\theta\cos^2\theta.$$

각도 theta를 바꾸면 두 에너지 준위 사이의 점유가 이동한다. 바닥과 들뜬 끝점 모두에서 에너지는 정류하지만 하나는 최솟값, 다른 하나는 최댓값이다. phi를 바꾸면 이 특별한 Hamiltonian의 에너지 통계는 유지된다. 상대 위상이 언제나 물리적으로 무의미하다는 뜻은 아니다. 비대각 결합이 있는 H는 진폭 사이의 위상을 구별할 수 있다.

그림에서는 에너지 준위, 시험 상태의 점유 확률, 잔차 화살표를 나란히 보여주는 것이 좋다. 잔차 화살표가0이라는 이유만으로 스펙트럼 위치를 확인하지 않고 바닥 상태라고 표시하면 안 된다. 바닥 준위가 축퇴했다면 한 좌표만 강조하지 말고 합친 바닥 영역을 그린다.

8. 작은 값도 보존하고 단위도 남긴다

H=diag(0,epsilon)과 원시 상태(M,1)를 생각하자. M이 크면 들뜬 확률은 작지만0이 아니다. 평균 에너지와 분산은 흔한 표시 허용 오차보다 작아질 수 있으나, 정확한 대수식은 여전히 간단하다.

$$E=\frac{\epsilon}{M^2+1},\qquad \operatorname{Var}(H)=\frac{\epsilon^2M^2}{(M^2+1)^2},\qquad 1-p_0=\frac1{M^2+1}.$$

epsilon=10⁻⁶, M=백만이면 분산은 약10⁻²⁴이다. 이를0으로 바꾸면 고유상태가 아닌 상태를 고유상태로 잘못 분류하게 된다. 이 두 준위 예제에서는 gap 기반 누출 상한이 실제 누출과 정확히 같다. 작은 에너지 척도를 임의의 수치 반올림 규칙과 혼동하지 않는다.

H+aI는 평균 에너지를 a만큼 옮기지만 잔차와 분산은 유지한다. 실수 b를 곱하면 잔차는 b배, 분산은 b²배가 된다. b가 음수이면 스펙트럼 순서가 뒤집혀 원래 최고 에너지 공간이 새 바닥 공간이 된다. 이 성질들은 독립 검산이면서, 에너지 최소화가 부호 반전 아래 그대로 유지되지 않는다는 점검이기도 하다.

9. 손으로 풀 수 있는 연속 시험 함수

질량 m과 진동수 omega가 양수인1차원 조화 진동자를 생각하자. alpha가 양수인 정규화 Gaussian은 빠르게 감소하는 허용 시험 함수다. alpha는 폭의 제곱에 반비례하므로 길이⁻²의 단위를 갖는다.

$$H=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+\frac{m\omega^2x^2}{2},\qquad \psi_\alpha(x)=\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)^{1/4}e^{-\alpha x^2/2},\qquad \langle x^2\rangle=\frac1{2\alpha}.$$

Gaussian을 두 번 미분하고 정규화 적분을 사용하면 운동 에너지가 alpha에 비례함을 알 수 있다. 좁은 함수는 더 급하게 변하기 때문이다. 반면 위치 분포가 좁아지면서 퍼텐셜 에너지는 감소한다. 두 효과의 경쟁이 최적 폭이0이나 무한대가 아닌 이유를 직관적으로 설명한다.

$$E(\alpha)=\frac{\hbar^2\alpha}{4m}+\frac{m\omega^2}{4\alpha},\qquad \alpha_* =\frac{m\omega}{\hbar},\qquad E(\alpha_*)=\frac{\hbar\omega}{2},\qquad \operatorname{Var}(H)=\frac{(m\omega^2-\hbar^2\alpha^2/m)^2}{8\alpha^2}.$$

최적값은 미분 또는 산술·기하평균 부등식으로 구한다. 분산에는 위치의 사차 모멘트가 필요하며, 그 값은3/(4 alpha²)이다. 여기서는 시험 가족이 정확한 바닥 상태를 포함하므로 최적 분산이0이 된다. 일반적인 상황은 아니다. 비이차 퍼텐셜에서 Gaussian을 최적화한다고 정확한 고유상태가 나오는 것은 아니다. 이 연속 예제는 해석적 유도이며 유한 행렬 계산기의 추가 미분 연산자 모드가 아니다.

Gaussian 가족 안에서의 최소화만으로 전체 상태의 하한을 증명한 것은 아니다. 조화 진동자의 허용 정의역에서 경계항이 사라지는 부분적분을 사용하면 아래 인수분해를 얻는다. 소멸 연산자 노름의 제곱이 비음이라는 사실이 전체 하한 hbar omega/2를 주고, 최적 Gaussian이 이를 달성한다.

$$a=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}x+\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\frac{d}{dx},\qquad H=\hbar\omega\left(a^\dagger a+\frac12\right),\qquad a\psi_{\alpha_*}=0.$$

10. 상태 가족을 제한하면 영 gradient의 의미가 달라진다

정규화 상태 가족이 실수 파라미터 theta에 의존한다고 하자. 파라미터 미분은 가족의 Jacobian이 만들어내는 상태 방향만 검사한다. 파라미터 gradient가0이라는 것은 잔차가 접근 가능한 방향들에 직교한다는 뜻일 수 있으며, 전체 잔차가0이라는 뜻은 아니다.

$$\frac{\partial E}{\partial\theta_a} =2\operatorname{Re}\left\langle \frac{\partial\psi}{\partial\theta_a},(H-E)\psi\right\rangle.$$

파라미터화 자체가 특이할 수도 있다. 두 준위의 실수 진폭을 쓰고 상태 각도를 pi/4+theta³로 두자. theta=0에서는 Jacobian이0이어서 파라미터 미분이0이지만, 그 상태는 에너지 고유상태가 아니다. 평평한 파라미터 방향과 물리적으로 정류하는 상태는 다른 주장이다.

선형 시험 공간은 다음 장의 비직교 Ritz 문제로 이어진다. 비선형 파동함수, 신경망 양자 상태, 양자 회로에는 접근 가능한 방향과 최적화에 대한 별도 분석이 필요하다. 상태 가족의 근사 오차, 그 안에서의 최적화 오차, 목적함수 계산의 수치·통계 오차를 각각 기록해야 한다. 변분 원리 하나가 이 오차들을 모두 없애지는 않는다.

11. 연구 연결에는 오차 예산이 필요하다

VQE는 반복 측정으로 에너지 기대값을 추정한다. 준비한 상태가 물리적으로 유효하고 같은 정확한 H를 측정한다면 진짜 평균은 변분 하한을 따른다. 유한한 잡음 표본의 추정치가 바닥 에너지보다 낮다고 그 정리가 깨진 것은 아니다. 읽기 편향, 잘못 보정한 Hamiltonian, 비물리적인 유효 상태를 만드는 오류 완화에는 각각의 검증이 필요하다.

Variational Monte Carlo는 정규화한 진폭 제곱 분포 아래에서 국소 에너지 H psi/psi를 평균내어 에너지를 표현한다. 허용 함수와 유한 기대값이 전제된다. 정확한 영진폭 지점에서 이 비율은 정의되지 않는다. 표본 확률0인 집합 위의 값을 임의로 정해도 기대값은 바뀌지 않는다. 그러나 노드 근처의 큰 유한 값이나 실패한 계산을0으로 바꾸어도 된다는 뜻은 아니다. 그런 대체는 일반적으로 추정량을 바꾸고 편향을 만들 수 있다. 표본 분산, 자기상관, 드문 사건, 최적화 중의 표본 적응을 기록해야 한다. 추정량의 분산을 상태의 양자 에너지 분산과 곧바로 동일시해서도 안 된다.

주성분분석은 공분산 Rayleigh 몫을 최대화하며, 스펙트럼 방법은 직교 제약 등을 추가한다. 최대화인지 최소화인지와 제약이 무엇인지가 중요하다. 연구 비교에서는 H, 단위, 경계 조건, 허용 공간과 스펙트럼 영역을 고정한다. 에너지, 잔차, 정당화한 gap 정보, 상태 가족을 넓혔을 때의 민감도를 함께 보자. 보기 좋은 손실 곡선 하나를 증명으로 바꾸지 않는다.

연구 진입 자료로 Peruzzo 등의 혼합 변분 고유값 계산과 Carleo·Troyer의 신경망 변분 상태를 참고할 수 있다. 이 논문들은 연구 연결의 출발점이며, 앞의 유한 유도와 예제는 이 장에서 직접 전개했다.

12. 유한 실험을 인증된 비교로 읽는다

준비한 수치 가족은 일반1…4차원 복소 Hermitian 행렬, 비영 상태와 임의 방향을 받는다.36개 소유 유계 정수가 행렬 원소, 공통 에너지 분모와 유리수 실수 경로 매개변수를 지정한다. 고정 예제는 자유롭게 편집한 준비와 비교할 대상이며, 알려지지 않은 물리 Hamiltonian을 추정하는 기능이 아니다.

모멘트, 경로 미분과 잔차는 정확 복소 유리수로 계산한다. Square-free/Sturm 분리는1024비트에서 부호 있는 에너지와 정확한 중복도를 유지한다. 전체 고유공간의 사영과 가중치는768비트 방향성 작업 연산과 바깥512비트 출력으로 제공한다. 특정 수치 고유벡터 기저는 반환하지 않는다. 값의 구간은 수치적 불확실성 인증이지, 측정 표본의 분포를 시뮬레이션한 것이 아니다.

먼저 에너지 영역을 예측하고, 분산을 보고, 바닥 공간 확률을 확인한 뒤 양의 gap 상한을 적용할 수 있는지 판단하자. 위상 방향과 점유를 옮기는 방향을 비교한다. 마지막으로 영벡터에 닿는 경로에서 모멘트가0이 아니라 정의되지 않은 값이 되는지 확인한다. 선택적인 모션은 비교를 읽는 데 쓰이며, 입력이 지정하지 않은 물리 시간 진화를 뜻해서는 안 된다.

13. 해설이 있는 연습문제

1. 원시 벡터 정규화. H=diag(0,2), z=(2,2i)에서 N, E와 분산을 구하라.

해설. 제곱 노름은8이다. 에너지 분자가8이므로 E=1이다. 이차 모멘트 분자는16이어서 이차 모멘트는2, 분산은1이다. 원시 노름은 대표의 크기만 바꾸고 정규화한 점유는 각각1/2로 유지된다. 제곱 노름 대신 원시 계수의 개수로 나누면 이 계산을 만족하지 못한다.

2. 다른 영역의 완벽한 잔차. z=(0,1)에서도 같은 값을 구하라. 영분산만으로 바닥 상태의 정확도를 인증할 수 있는가?

해설. E=2, 이차 모멘트4, 분산0이다. 정확한 들뜬 고유상태이고 바닥 확률은0이다. 잔차는 고유값 방정식을 올바르게 인증하지만 바닥 영역을 식별하지는 않는다. 조건 없는 작은 분산 규칙의 반례다.

3. 에너지 원점을 아는 gap 상한. H=diag(-3,1), z=(2,1)에서 에너지, 누출과 gap 상한을 계산하라.

해설. N=5이고 E=(-12+1)/5=-11/5다. 바닥 확률은4/5, 누출은1/5다. gap은4이므로 (E+3)/4=1/5로 실제 누출과 정확히 같다. 분산은16×4/25=64/25다. 이 등식의-3을 근사한 바닥 에너지 상한으로 바꾸면 일반적으로 안전하지 않다. 예를 들어 유효한 상한-2를 대입하면 누출 상한이-1/20이 되어 즉시 모순이 드러난다.

4. 방향 미분 검산. H=diag(0,2), z=(1,1), eta=(1,-1)에서 t=0의 일차·이차 미분을 구하라.

해설. 경로 에너지는1−2t/(1+t²)다. 원점의 일차 미분은-2, 이차 미분은0이다. 시작점의 잔차(-1,1)를 복소 방향 공식에 넣어도 같은 일차 미분을 얻는다. t=1에서는 바닥 방향, t=-1에서는 들뜬 방향이며 이 경로는 영벡터를 지나지 않는다.

5. 존재하지 않는 경로 상태. 대신 eta=-z로 두고 t=1에서 평가하라. 그림은 어떻게 표시해야 하는가?

해설. 원시 경로 벡터와 그 제곱 노름이0이어서 정규화 에너지와 분산이 존재하지 않는다. 이용 불가 표시와 이유를 설명하는 것이 맞다. 이 지점에 가짜 영에너지 점을 만들고 주변 유한 값을 선으로 연결하면 모형이 정의하지 않은 정보를 추가한다.

6. 최적 폭에서 벗어난 Gaussian. alpha를 조화 진동자 최적값의 두 배로 두고 진동자 단위의 에너지와 분산을 구하라.

해설. 운동 에너지는 hbar omega의1/2, 퍼텐셜 에너지는1/8이다. 합은5/8로 정확한 바닥 에너지1/2보다 높다. 분산 식에 넣으면 hbar² omega²의9/32를 얻는다. 두 답의 단위가 각각 에너지와 에너지 제곱이라는 사실도 검산에 사용한다.

14. 준비한 범위와 다음 순서

고정 개념 비교로 에너지와 분산을 구별한 뒤, 저장 가능한 자유 실험을 바꾸기 전에 결과를 예측하자. 바닥·들뜬 상태, 축퇴 바닥 공간, 작은 양의 분산과 영벡터가 되는 경로를 비교한다. Worker 계산은 표시 좌표와 함께 정확·구간 인증 근거를 제공한다. 교재 진입은 도서 → Interactive Book이다.

다음 비직교 Ritz 공간에서는 좌표를 바꾸는 일과 근사 공간을 넓히는 일을 구별한다. 이후 다체·텐서 네트워크·양자 정보에는 각각의 가정과 수렴 또는 자원 주장이 필요하다. 유한 계산기와 Gaussian 예제 하나로 그 주제들을 완료한 것은 아니다. 정확한 보장, 제한된 탐색과 근사 품질의 근거를 함께 보여줄 때 변분 원리가 새로운 연구에 도움이 된다.