준동형·동형과 구조 보존

공식보다 먼저 확인할 것

몫집합의 원소는 대표원 하나가 아니라 동치류입니다. f([x])=[kx]라고 썼더라도 x 대신 x+m을 넣었을 때 같은 출력이어야 합니다. 출발 덧셈군을 Z/mZ, 도착군을 Z/nZ로 정하면 두 출력의 차이는 km입니다. 따라서 n이 km를 나누는 조건이 필요하고 충분합니다. 작은 표의 첫 m개 값이 그럴듯하다고 이 조건을 생략할 수 없습니다.

준동형과 보존하는 연산

군 준동형은 곱 또는 덧셈 구조를 보존하는 사상입니다. 이 실습은 덧셈군을 다룹니다. 공식이 잘 정의되면 분배법칙 때문에 덧셈 보존이 따라옵니다. 환 준동형은 곱셈도 보존해야 하고 항등원 보존 규약도 확인해야 합니다. 법 5의 두 배 사상은 덧셈군 동형이지만 1을 2로 보내므로 단위원 보존 환 동형이 아닙니다.

핵과 상으로 정보 손실 보기

핵은 항등원으로 가는 입력이고 상은 실제 도달하는 출력입니다. 기준 m=6,n=3,k=1에서 핵은 {0,3}, 상은 {0,1,2}입니다. 0과 3을 구분할 수 없지만 모든 도착 원소는 표현됩니다. 유한군에서는 핵 크기와 상 크기의 곱이 출발군 크기입니다. 핵이 항등원 하나이면 단사이고 상이 도착군 전체이면 전사입니다. 둘 다 만족하는 준동형이 동형입니다.

실패 사례를 먼저 읽기

m=3,n=6,k=1에서는 [0]=[3]인 출발 원소가 서로 다른 도착 값 0과 3을 갖습니다. 이때 표는 선택한 대표원의 후보 값만 보여줍니다. 핵·상·동형 항목은 정의하지 않습니다. 유효한 사상에서 출력이 모두 같다는 주장과 사상 자체가 정의되지 않는 상황은 다릅니다. AI의 구조 보존 인코더를 설계할 때도 보존하려는 연산과 동치 관계를 먼저 명시해야 합니다.

확인 문제와 해설

1. Z3에서 Z6으로 [x]↦[2x]는? 6이 2·3을 나누므로 잘 정의됩니다.
2. 기준 사상의 정보 손실은? 0과 3처럼 같은 잉여류로 가는 입력의 차이입니다.
3. 전단사 함수면 언제나 동형인가요? 연산 보존도 확인해야 합니다.

추가 읽기: Judson, Abstract Algebra: Theory and Applications.