대수적 표현·등변성과 적용 범위

대칭을 행렬로 표현하기

군 표현은 군 원소를 가역 선형사상으로 보내며 합성을 행렬곱으로 보존합니다. 여기서는 실수 평면의 90도 회전 J와 x축 반사 S를 사용합니다. 숫자로 표현한다는 의미의 일반 임베딩보다 강한 조건입니다. J의 네제곱이 항등행렬이고 SJS가 J의 역행렬인지 확인하면 정사각형 군 관계를 볼 수 있습니다.

선형층의 등변 조건

같은 표현을 입력과 출력에 사용하면 선형층 M은 MJ=JM이어야 회전 등변입니다. 일반적인 입력·출력 표현이 다를 때는 Mρin(g)=ρout(g)M입니다. 이 실습은 같은 2차원 표현만 다룹니다. 기준 M의 행은 (2,1),(0,1)이며 회전 교환자의 Frobenius 노름은 2입니다. 0이 아닌 잔차는 모든 입력에서 등변이라는 주장이 실패함을 뜻합니다.

평균으로 제약을 만족시키기

네 회전의 켤레 작용을 평균하면 회전과 교환하는 행렬이 됩니다. 프로그램은 실제 네 행렬곱을 수행해 평균합니다. M=[[a,b],[c,d]]일 때 결과는 대각이 (a+d)/2이고 오른쪽 위가 (b−c)/2, 왼쪽 아래가 그 음수입니다. 기준 결과는 (1.5,0.5),(−0.5,1.5)입니다. 원래 행렬과 사영 결과를 원소별 표에서 비교하세요.

추가 대칭과 연구 주장의 범위

회전에 등변인 행렬이 반사와도 교환하는 것은 아닙니다. 반사 조건을 추가한 D4 사영은 (a+d)/2배 항등행렬입니다. 두 사영의 차이는 선택한 군이 모델의 허용 자유도를 바꾼다는 것을 보여줍니다. 행렬 하나의 제약을 만족했다고 비선형 활성함수나 전체 네트워크가 자동으로 등변이 되지는 않습니다. 연속 회전군·다른 표현·유한체의 특성은 별도 검토가 필요합니다.

확인 문제와 해설

1. 항등행렬은 회전과 반사에 등변인가요? 예. 둘과 교환합니다.
2. 회전 사영 뒤 반사 잔차가 비영일 수 있나요? 예. 기준 예제가 그렇습니다.
3. 0행렬은 등변인가요? 예. 하지만 유용한 예측 능력을 보장하지 않습니다.

추가 읽기: Judson, Abstract Algebra: Theory and Applications.

Etingof et al., Introduction to Representation Theory.