군 평균으로 불변량 구성하기

불변량은 무엇을 유지하는가

실수 평면에 네 번의 90도 회전으로 이루어진 C4가 작용한다고 합시다. 함수 F가 모든 회전에서 같은 값을 내면 불변입니다. 점 자체가 회전하지 않는다는 뜻이 아니라 함수 출력이 같다는 뜻입니다. 원래 특징 φ는 x, x², xy 중 선택합니다. 네 회전 위치의 특징을 실제로 계산해 평균하면 새 불변 함수를 만들 수 있습니다.

평균이 불변인 이유

입력을 한 번 회전하면 합의 순서만 한 칸 이동하고 마지막 회전은 첫 항으로 돌아옵니다. 따라서 총합은 같습니다. 일반적인 유한군에서도 g를 gh로 바꾸는 것이 군 원소들의 순열이라 같은 논증이 됩니다. 이 평균은 실수 계수에서 수행하며 군 크기로 나눌 수 있다는 조건을 사용합니다. 유한체의 표수가 군 크기를 나누면 이 식의 분모가 가역이 아닐 수 있습니다.

예측하고 숫자로 확인하기

v=(1,2)와 φ=x²이면 특징은 1,4,1,4이고 평균은 2.5입니다. 일반 좌표에서도 평균은 (x²+y²)/2입니다. φ=x 또는 xy를 고르면 양·음 항이 상쇄되어 0입니다. 파랑 막대는 각 회전의 특징 값, 주황 막대는 같은 평균 값입니다. 이산 회전 번호 사이를 연속 시간이나 각도 함수로 보간하지 않습니다.

정보 손실과 등변성의 차이

궤도의 평균 좌표는 항상 (0,0)이므로 원점이 아닌 입력도 사라집니다. 불변량이라는 성질만으로 모든 궤도를 구분하는 완전한 특징이 되는 것은 아닙니다. 예를 들어 같은 원 위의 서로 다른 C4 궤도는 같은 x² 평균을 가질 수 있습니다. 분류에서 방향을 지우는 것이 적절할 수 있지만 위치를 예측하는 작업에서는 출력도 함께 회전하는 등변성이 더 적합할 수 있습니다.

확인 문제와 해설

1. 입력 (2,1)의 x² 평균은? 2.5로 같습니다.
2. 평균이 0이면 입력도 0인가요? 아니요. 선형 특징이 반례입니다.
3. 불변화 후 두 번 평균하면? 같은 결과이며 P²=P입니다.

추가 읽기: Judson, Abstract Algebra: Theory and Applications.

Etingof et al., Introduction to Representation Theory.