층상 매질의 Bloch 전파와 유효 극한

평균 물성은 언제 구조를 대신할 수 있을까

유전율이1인 층과9인 층을 번갈아 쌓았다고 합시다. 각 층이 파장보다 충분히 얇으면 평균 유전율로 기술하고 싶어집니다. 하지만 주파수를 높이면 반복 경계에서 생기는 반사가 서로 간섭하여 전파 금지대가 나타날 수 있습니다. 양의 상수 평균 하나는 이 현상을 모두 재현하지 못합니다. 이 단원은 정확한 주기 구조, 장파장 유효 모델, 유한 적층의 관측을 같은 문제에서 비교합니다. 어떤 길이 척도와 관측 범위에서 평균을 쓰는지 명시하는 것이 출발점입니다.

가정·편광·단위를 먼저 고정하기

두 층은 선형·등방·무손실이며 상대 투자율은1, 상대 유전율은 양수입니다. 층에 수직한 x 방향으로 입사하고 전기장은 y, 자기장은 z 방향입니다. 시간 규약은 exp(−iωt)이며 양쪽 외부 매질은 기준 진공입니다. 음의·복소·분산 유전율, 비스듬한 입사, 표면 전류는 다루지 않습니다. 이 한정된 편광에서 얻은 산술 평균을 모든 방향의 등방 유효 물성이라고 부르지 않습니다. 층의 방향에 따라 다른 평균이 필요한 경우가 있습니다.

주기·분율·무차원 주파수

주기 a의 첫 층 두께를 fa, 둘째 층 두께를 (1−f)a로 놓습니다. Ω는 한 주기를 기준 속도로 이동하는 동안의 위상 척도입니다. 실제 각주파수는 Ωc_ref/a이므로 Ω와 rad/s를 혼동하지 않습니다. f=0 또는1이면 한 재료만 남아 구조가 균일해집니다. 두 유전율이 같아도 균일합니다. 적층 수 N=0은 빈 진공 경로로 처리하지만, 한 주기 자체의 Bloch 성질까지 없어졌다고 해석하지 않습니다.

$$\xi=x/a,\quad \Omega=\omega a/c_{ref},\quad d_1=fa,\quad d_2=(1-f)a,\quad n_j=\sqrt{\epsilon_j},\quad \delta_1=\Omega n_1 f,\quad \delta_2=\Omega n_2(1-f).$$

경계에서 이어지는 두 상태 변수

표면 전하·전류가 없는 이 배치에서는 접선 E와 H가 경계에서 연속입니다. 계산에는 (E,Z_ref H)를 상태로 씁니다. 두 번째 성분은 H 그 자체가 아니라 기준 임피던스를 곱한 값입니다. 진공에서 오른쪽 진행파는 두 성분의 부호가 같고 왼쪽 진행파는 다릅니다. 유전율이 바뀌어도 이 상태는 연속이지만 에너지 밀도는 물성 계수 때문에 달라질 수 있습니다. 연속 조건과 모든 물리량의 연속성을 혼동하지 마세요.

$$\psi=\begin{pmatrix}E_y\\Z_{ref}H_z\end{pmatrix},\qquad \psi(\xi_j^-)=\psi(\xi_j^+),\qquad \partial_\xi\psi=i\Omega\begin{pmatrix}0&1\\\epsilon_j&0\end{pmatrix}\psi.$$

한 층의 전달행렬

상수 계수의 두 미분 방정식을 한 층에서 적분하면 코사인과 사인으로 된 행렬이 나옵니다. 이 행렬은 왼쪽 상태를 오른쪽 상태로 보냅니다. 위쪽 비대각 원소의 계수는1/n, 아래쪽은 n이므로 서로 바꾸지 않습니다. 시간 규약이나 전달 방향을 바꾸면 허수 부호도 바뀝니다. 행렬식을 계산하면1이 되는데, 이는 이 무손실 상반 전파의 구조적 관계입니다. 구현에서 같은 식으로 계산한 잔차를 독립 검증이라고 부르지는 않습니다.

$$M_j=\begin{pmatrix}\cos\delta_j&i\sin\delta_j/n_j\\i n_j\sin\delta_j&\cos\delta_j\end{pmatrix},\qquad \det M_j=1.$$

층 순서와 한 주기의 행렬

먼저1번 층을 통과한 뒤2번 층을 지나므로 행렬은 M2 M1입니다. 일반적으로 행렬 곱은 교환되지 않습니다. 반복되는 내부 구조의 고유값과 유한 적층의 반사 위상은 서로 다른 관측입니다. 단위 셀의 시작 위치를 바꾸어 trace가 같아도 유한 장치의 입구 경계는 달라질 수 있습니다. 시각화에서는 어느 재료가 왼쪽에 있는지 고정하고 내부 장의 경계 연속성을 함께 확인해야 합니다.

$$M=M_2M_1,\qquad \det M=1,\qquad D=\tfrac12\operatorname{tr}M.$$

Bloch 조건은 반복 구조의 고유값 문제다

무한히 반복되는 구조에서 한 주기 이동할 때 상태가 복소수 λ배가 되는 해를 찾습니다. 이 조건이 Bloch 조건입니다. 행렬식1이므로 두 고유값은 서로 역수이고 특성 방정식은 D만으로 표현됩니다. 전파 모드는 |λ|=1이며 위상만 변합니다. 금지대에서는 한 해가 줄고 다른 해가 커집니다. 어떤 조합이 실제 유한 장치에 나타나는지는 양쪽 경계 조건이 정합니다. 커지는 해를 물리적으로 무조건 삭제해서는 유한 경계를 맞출 수 없습니다.

$$M\psi=\lambda\psi,\qquad \lambda^2-2D\lambda+1=0,\qquad \lambda_+\lambda_-=1.$$

반 trace에서 통과대와 금지대를 읽기

실수 양의 무손실 계수에서는 D가 실수입니다. |D|<1이면 위상 φ를 실수로 정할 수 있습니다. |D|>1이면 감쇠량 κ가 양수입니다. D>1인 금지대와 D<−1인 금지대는 실수 위상 부분이 각각0과π로 다릅니다. 정확한 |D|=1은 대역 가장자리지만, 반올림된 값이1이라는 사실만으로 정확한 가장자리를 증명하지 못합니다. 여기서는 해석적0주파수와 수치적으로 판정 미정인 가장자리 근처를 분리합니다.

$$|D|<1:\ D=\cos\phi;\qquad |D|>1:\ |D|=\cosh\kappa,\quad \kappa>0.$$

두 층의 정확한 분산 관계

두 전달행렬을 곱해 trace를 취하면 아래 관계를 얻습니다. 첫 항은 층 안의 위상 누적을, 두 번째 항의 굴절률 비는 경계 불일치의 효과를 포함합니다. 두 층의 굴절률이 같으면 코사인 합 공식으로 균일 매질이 됩니다. 따라서 반복 모양만 있다는 이유로 금지대가 생기는 것이 아닙니다. 재료의 대비와 전기적 두께가 함께 필요합니다. 이 관계를 상수 평균의 분산 관계와 같은 주파수 축에서 비교합니다.

$$D=\cos\delta_1\cos\delta_2-\frac12\left(\frac{n_1}{n_2}+\frac{n_2}{n_1}\right)\sin\delta_1\sin\delta_2.$$

장파장에서 평균이 나오는 이유

Ω가 작을 때 사인·코사인을 전개하고 Ω²항을 모으면 유효 유전율이 두께 가중 산술 평균으로 나타납니다. 이 편광에서 한 셀 내부 E의 변화가 작다는 직관과 연결됩니다. ε1=1, ε2=9, f=1/2이면 εeff=5입니다. 이 상수 모델의 위상은 Ω√5이므로 언제나 실수입니다. 따라서 실제 주기 구조의 Bragg 금지대를 모두 표현하지 못합니다. 장파장 모델의 성공과 대역 전체의 성공을 별도로 검증해야 합니다.

$$\epsilon_{eff}=f\epsilon_1+(1-f)\epsilon_2,\qquad D=1-\tfrac12\epsilon_{eff}\Omega^2+O(\Omega^4),\qquad D_{eff}=\cos(\Omega\sqrt{\epsilon_{eff}}).$$

평균 모델이 놓치는 첫 항

Ω⁴까지 전개하면 두 분산 관계의 차이에 유전율 대비의 제곱과 f²(1−f)²가 나타납니다. 두 재료가 같거나 한 층이 없어지면 이 선도 차이는0입니다. 하지만 유한 주파수에서는 선도항 하나가 전체 오차가 아닙니다. 아래 식은 장파장 점근 전개이며 엄밀한 전역 오차 상한으로 쓰지 않습니다. 학습한 유효 물성의 주파수 의존성을 도입할 때도 어떤 관측을 어떤 차수까지 맞추는지 밝혀야 합니다.

$$D-D_{eff}=-\frac{(\epsilon_1-\epsilon_2)^2f^2(1-f)^2}{24}\Omega^4+O(\Omega^6).$$

작은 위상과 대역 가장자리의 산술

낮은 주파수에서는 D가1에 너무 가까워 직접 계산하면1로 보일 수 있습니다. 코사인 합 공식을 이용해 D−1을 작은 항들의 합으로 평가하면 비영 위상을 더 오래 유지할 수 있습니다. |D|≈1에서는 두 작은 항의 상쇄와 위상 계산 오차도 고려합니다. 모델의 수치 판정 여유는 엄밀한 구간 인증이 아니며, 가까운 경우에는 판정 미정으로 표시합니다. 작은 비영 항이 표현 범위 아래로 내려가면 진공·정확한 가장자리·정확한0으로 바꾸지 않습니다.

$$D-1=-2\sin^2\frac{\delta_1+\delta_2}{2}-\eta\sin\delta_1\sin\delta_2,\qquad \eta=\frac{(\epsilon_1-\epsilon_2)^2}{2n_1n_2(n_1+n_2)^2}.$$

유한 적층의 반사·투과와 내부장

N주기 뒤에는 다시 진공이 있습니다. 입사 E 진폭을1로 두고 반사 r과 투과 t를 두 경계에서 풉니다. 외부 매질이 같으므로 반사율·투과율은 각각 진폭의 절댓값 제곱입니다. 내부장은 입구를 만족하는 상태를 각 층으로 전파해 얻습니다. 구현은 큰 전달행렬을 반복 곱할 때의 수치 문제를 줄이기 위해 전력 정규화 산란행렬을 합성합니다. 독립 검증에서는 행렬 지수와 경계 선형계를 사용합니다.

$$\psi_L=\begin{pmatrix}1+r\\1-r\end{pmatrix},\qquad \psi_R=\begin{pmatrix}t\\t\end{pmatrix}=M^N\psi_L,\qquad R=|r|^2,\quad T=|t|^2.$$

금지대의 감쇠는 흡수와 다르다

이 모델은 손실이 없으므로 유한 적층에서 R+T=1입니다. 금지대에서 내부 Bloch 모드가 감쇠하더라도 사라진 에너지가 열로 바뀌는 것은 아닙니다. 대부분 반사되고 유한 두께를 통과하는 성분도 남을 수 있습니다. 무한 매질의 감쇠량 κ만으로 유한 장치의 T를 곧바로 exp(−2Nκ)라고 단정하면 입출구 결합과 간섭을 놓칩니다. 내부의 순 에너지 흐름은 정규화된 Re(E H* )로 확인합니다. 큰 순방향·역방향 성분의 차이에서는 반올림도 커질 수 있습니다.

$$R+T=1,\qquad S_{norm}=\operatorname{Re}[E_y(Z_{ref}H_z)^*],\qquad u_{norm}=\tfrac14[\epsilon_j|E_y|^2+|Z_{ref}H_z|^2].$$

정확한 Ω=0에서는 전달행렬의 정적 극한을 사용하며 주기 평균은 정의하지 않습니다. 선택한 극한 경계 상태 E=Z_ref H=1에서 정규화 정적 에너지 밀도는 (ε+1)/2, 양의 주파수 주기 평균의 극한은 (ε+1)/4입니다. 두 양을 별도로 표시합니다.

Bloch 위상의 주값은 누적 위상이 아니다

계산기에서 arccos D를 취하면0부터π까지의 주값을 얻습니다. 균일 매질에서 실제 한 주기 위상이4rad이어도 arccos(cos4)는 약2.283rad입니다. 이것은 다른 파동 속도를 발견한 것이 아니라 역수 격자에 따른 위상 접힘입니다. 단일 trace로 주기당2π의 정수 차이를 복원할 수 없습니다. 주파수를 따라 연속적인 가지를 추적하거나 추가적인 장 정보를 사용해야 합니다. 모델은 주값과 장파장 유효 위상을 각각 보여주며 둘을 같은 양으로 강제하지 않습니다.

$$\phi_{principal}=\arccos D\in[0,\pi],\qquad \arccos(\cos4)=2\pi-4\ne4.$$

연구에서 무엇을 검증할 것인가

유효 매질을 학습한다면 낮은 주파수의 분산, 유한 적층의 R/T, 내부장, 에너지 흐름 중 무엇을 목표로 하는지 정하세요. 같은 평균 ε를 가진 구조도 고주파와 경계에서 다르게 보일 수 있습니다. 데이터 분할도 주파수·층 대비·두께·적층 수를 구분해야 합니다. MIT OCW Lecture 23는 전달행렬과 주기 구조의 배경 자료입니다. 여기서 다룬 양의 무손실 수직 입사 가족을 넘어설 때는 구성식·편광·경계와 독립 기준을 다시 정해야 합니다.

풀이로 확인하기

연습 1

ε1=1, ε2=9, f=1/2에서 장파장 유효 유전율과 Ω=0.1의 유효 위상은?

해설: εeff=(1+9)/2=5이고 유효 위상은0.1√5≈0.223607rad입니다. 이 값은 장파장 근사이며 모든 주파수의 정확한 Bloch 위상이라고 주장하지 않습니다.

연습 2

왜 한 주기의 행렬이 M1 M2가 아니라 M2 M1인가요?

해설: 열벡터 상태에 첫 층을 적용하면 M1ψ이고, 그 결과에 둘째 층을 적용하면 M2(M1ψ)입니다. 벡터에 먼저 작용하는 행렬이 오른쪽에 있습니다. 좌우 전달 방향과 층 순서를 함께 확인하세요.

연습 3

위 구조에서 Ω=1이면 D와 금지대 여부를 계산하세요.

해설: δ1=0.5, δ2=1.5, 비율 계수는(1/3+3)/2=5/3입니다. D≈−0.734963이므로 |D|<1인 통과대이고 주값 위상은 약2.396409rad입니다. 유효 위상 √5≈2.236068과는 차이가 있습니다.

연습 4

무손실 적층에서 R=0.98이고 내부 Bloch 해가 감쇠합니다. 흡수율은0.98인가요?

해설: 아닙니다. 반사율0.98은 되돌아간 에너지의 비율이고 투과율은0.02입니다. 이 모델의 흡수는0입니다. Bloch 감쇠와 열 소산은 다른 개념입니다. 외부 매질이 다른 경우에는 전력 투과율의 임피던스 계수도 바꿔야 합니다.

연습 5

ε1=ε2=1이고 Ω=4이면 주값 Bloch 위상이4가 아닌 이유는?

해설: D=cos4이므로 주값은2π−4≈2.283185rad입니다. 같은 고유값은2π의 정수배만큼 다른 누적 위상을 구별하지 못합니다. 재료가 균일해도 위상 접힘이 있으므로 이 차이만으로 평균 모델 실패를 주장하지 않습니다.

연습 6

작은 Ω에서 D가1로 출력되면 정확한 대역 가장자리인가요?

해설: 반올림만으로는 알 수 없습니다. D−1의 안정적인 표현을 평가하면 약−εeff Ω²/2가 비영으로 남을 수 있습니다. 비영 위상을 표시하거나, 표현 손실·가장자리 판정 미정을 구분해야 합니다. Ω=0으로 명시한 해석적 경우와 혼동하지 않습니다.