실수와 복소수 평면

왜 수의 범위를 넓히는가

자연수만으로 모든 뺄셈을 할 수 없어 정수를, 정수만으로 모든 나눗셈을 할 수 없어 유리수를 도입합니다. 유리수에는 제곱이 2인 양의 길이 같은 빈틈이 있습니다. 실수는 순서가 있는 수직선을 완비하고 복소수는 −1의 제곱근 같은 해를 허용합니다.

기존 산술을 보존하면서 구조를 추가합니다. 복소수에는 실수의 순서체 규칙을 그대로 만족하는 순서를 줄 수 없습니다. 모든 제곱이 음이 아니어야 하는 성질과 i²=−1이 충돌합니다.

유리수와 무리수

√2=a/b가 기약분수라고 가정하면 a²=2b²입니다. 앞의 짝홀 정리로 a는 짝수라 a=2k이고, 다시 b²=2k²이어서 b도 짝수입니다. 공통 인수 2가 있어 기약이라는 가정과 모순입니다.

긴 소수 전개를 관찰한 것이 아니라 일반 모순 증명입니다. 실수의 완비성도 자릿수를 많이 표시하는 것보다 강한 구조입니다. 상한·수렴은 뒤의 해석학에서 정식화하며 여기서는 ℚ와 ℝ를 구분하는 이유를 알아둡니다.

복소 산술을 좌표쌍으로 표현하기

z=a+bi, a,b∈ℝ, i²=−1입니다. 덧셈은 성분별이고 곱셈은

입니다. 켤레 a−bi를 곱하면 a²+b²이므로 크기는 √(a²+b²), 0이 아닌 z의 역수는 켤레(z)/|z|²입니다. 영점에는 곱셈 역수가 없습니다.

회전과 크기

cosθ+i sinθ를 곱하면 좌표가 회전합니다. θ를 라디안으로 쓰면 exp(iθ)라고도 표현하며 각도 규약은 삼각함수 단원에서 더 다룹니다.

제곱 길이를 전개하고 cos²θ+sin²θ=1을 쓰면 a²+b²으로 돌아갑니다. z=1+i를 90도 회전하면 −1+i이고 둘 다 크기는 √2입니다.

i를 180도 회전하면 −i입니다. 화면에 아주 작은 실수부가 남으면 삼각함수의 부동소수점 근사일 수 있습니다. 정확한 항등식이 틀렸다는 뜻은 아닙니다.

편각은 전역 연속 좌표가 아니다

0이 아닌 점의 각도에는 한 바퀴의 정수배만큼 모호성이 있습니다. 주값을 택하면 표시 atan2는 −180도와 180도 사이를 사용합니다. 음의 실수축을 지날 때 점은 연속인데 표시각은 점프할 수 있습니다.

영점은 어떤 회전으로도 영점이라 고유한 방향이 없습니다. 크기 0은 정의되지만 편각은 —입니다. 신호 위상을 학습할 때 이런 인위적인 분기와 물리적 점프를 구분해야 합니다.

실수 로그를 복소 값에 그대로 적용할 수도 없습니다. 복소 로그에는 편각·가지 선택이 필요하며 이 입문 모형의 범위를 벗어납니다. 크기가 0이 아니라는 사실만으로 가지가 정해지지는 않습니다.

복소평면 실험 읽기

가로는 실수부, 세로는 허수부이며 같은 단위 길이를 사용합니다. 파랑은 원래 벡터, 주황은 회전한 벡터입니다. 복소수의 표현이지 추가 물리 방향이나 확률이 아닙니다.

두 성분을 바꾼 뒤 회전하고, 모두 0으로 하여 유효한 크기와 정의되지 않는 각을 비교하세요. 수치쌍과 그림 끝점은 같은 값으로 계산합니다.

AI 연결과 연습

Fourier 표현은 복소 진폭·위상을 씁니다. 복소수는 결합된 두 실수 좌표를 표현할 수 있지만 모형의 손실·미분 규약을 별도로 밝혀야 합니다. i를 썼다고 표현력이나 물리적 의미가 자동으로 좋아지지는 않습니다.

1. (1+i)²은? 답: 2i입니다.
2. 1/(1+i)는? 답: (1−i)/2입니다.
3. 주값 위상 점프와 실제 신호 점프가 다른 이유는?
4. 켤레나 좌표 곱으로 |zw|=|z||w|를 증명하고 영점의 크기·각을 구분하세요.

배경은 OpenStax Algebra and Trigonometry 2e를 참고하세요. 회전과 경계 검사는 직접 계산한 예제입니다.