적분·누적과 미적분 기본정리

작은 기여를 더해 누적 만들기

적분은 작은 구간의 기여를 더해 누적량을 정의합니다. 이 단원은 무차원 함수 f(t)=t²를 [0,x]에서 적분합니다. 분할 수 N, 폭 h=x/N인 왼쪽 Riemann 합은

x=1,N=4이면 L₄=(0²+1²+2²+3²)/64=7/32=0.21875입니다. 유한한 합과 그 분할 극한인 적분을 구분하세요. 증가 함수이므로 이 왼쪽 합은 정확한 적분보다 작습니다.

적분이 존재한다는 의미

Riemann 적분에서는 각 작은 구간의 함수 상한·하한으로 상합·하합을 만듭니다. 분할을 충분히 세분했을 때 그 차이를 임의의 오차보다 작게 만들 수 있으면 적분 가능하다고 정의합니다. compact 구간에서 연속 함수는 균등 연속이므로 이 조건을 만족합니다.

x=1의 정확한 누적은 1/3입니다. 숫자 근사로 0.333…을 얻는 것과 적분이 존재함을 증명하는 것은 다른 단계입니다. 불연속 함수 중에도 적분 가능한 것이 있으며, 연속성은 충분조건입니다.

기본정리의 국소 논증

f가 x에서 연속일 때 누적 F의 차분은 짧은 구간의 평균 함수값입니다.

연속성이 짧은 구간에서 f(t)를 f(x)에 가깝게 제어하므로 극한이 성립합니다. 따라서 F′=f입니다. 역방향으로 G′=f이면 ∫ₐᵇf=G(b)−G(a)입니다. 어떤 함수를 적분한 뒤 미분하면 원래 함수를 얻는다는 문장에는 이와 같은 가정이 필요합니다.

유한 합 오차를 보장하기

[0,x]에서 f′(t)=2t≤2x입니다. 한 구간의 왼쪽 직사각형 오차는 ∫₀ʰ2xs ds=xh² 이하이고 N개를 합하면

상한이 실제 오차와 같을 필요는 없습니다. 실습은 합을 직접 계산하고 정확한 적분·실제 오차·상한을 각각 표시합니다. N을 늘리면 이 예제에서 오차가 줄어드는 것을 확인하세요. x=0일 때는 폭과 누적이 모두 0입니다.

두 곡선과 AI 연결

파란 곡선은 현재 함수값, 주황 곡선은 0부터 현재 x까지의 누적입니다. 물리량이면 두 곡선의 단위도 일반적으로 다릅니다. 여기서는 무차원 예제로 표시하며, 같은 두 좌표축을 공유한다고 같은 양이 아닙니다.

기대 손실, 연속 시간 동역학, 누적 위험 등에서 적분이 등장합니다. 확률 기대와 수치 적분을 동일시하지 말고 측도·분포·분할 또는 표본 추출 방식을 명시하세요.

확인 문제와 답

1. x=2이면 정확한 누적은? 8/3입니다.
2. x=1,N=4에서 상한은? 1/4이며 실제 오차보다 큽니다.
3. 왼쪽 합의 과소평가가 모든 함수에 성립하나요? 아니요. 여기서는 증가 함수이기 때문입니다.

추가 읽기: MIT 공식 강좌 안내. 강좌 범위를 확인해 보충 자료로 연결하며, 아래의 작은 예제와 논증은 직접 구성했습니다.