결맞은4F 영상과 동공 공간 필터링

렌즈로 영상의 공간주파수를 편집하기

렌즈는 광선을 초점으로 모으기만 하지 않습니다. 적절한 광학 릴레이에서는 입력 장의 공간주파수가 한 평면의 위치로 분리됩니다. 거기에 마스크를 놓으면 특정 대역을 제거하거나 상대 위상을 바꾸고, 복원된 무늬를 이동시킬 수 있습니다. 결과는 입력의 밝기뿐 아니라 물체를 비추는 복소장에 의존합니다.

이 단원은 결맞은 일차원4F 결상을 다룹니다. 검출 이전의 장, 실제 주파수 평면의 좌표, 영상 반전을 보존한 뒤 강도를 계산합니다. 다음 단원에서는 공간적으로 비결맞은 준비로 바꾸어 다른 강도 전달 법칙을 유도합니다. 둘 중 하나를 고른 것만으로 부분 결맞음까지 설명했다고 보지는 않습니다.

이 구분은 AI를 위한 물리 순방향 모델에서도 필요합니다. 단순한 흐림 폭만 학습하면 겉보기 영상이 매끄러워도 위상 변환·결맞은 간섭·좌표 반전을 놓칠 수 있습니다. 어떤 입력을 어떤 관측으로 바꾸는지부터 명시해야 학습 결과를 해석할 수 있습니다.

기하와 관측량을 먼저 정하기

초점 거리가 $f_1,f_2$인 두 이상적 양의 얇은 렌즈를 사용합니다. 입력은 첫 렌즈의 전방 초점면, 공통 Fourier 평면은 두 렌즈 사이, 출력은 둘째 렌즈의 후방 초점면입니다. 반송파 관례는 $\exp[i(kz-\omega t)]$입니다.

입력과 같은 척도로 환산한 출력 좌표를 $x$라고 하면 실제 영상 좌표는

$$x'=mx,\qquad m=-\frac{f_2}{f_1}$$

입니다. 음의 배율은 영상 반전을 뜻합니다. 환산 좌표가 반전과 배율을 흡수했다고 해서 실제 카메라의 반전이 사라지는 것은 아닙니다. 비대칭 물체나 이동 마스크에서 이 차이가 특히 중요합니다.

길이는 m, 공간주파수는 cycles/m입니다. 장은 상대 진폭 단위입니다. 횡방향 한 차원의 광량 보존 릴레이 정규화를 사용하므로, 원형 동공을 가진 이차원 카메라나 교정된 W 단위의 전력을 계산한 것으로 해석하지 않습니다.

Fourier 변환의 부호와 주파수 단위

다음 변환과 역변환을 사용합니다.

$$\widehat E(\nu)=\int E(x)e^{-i2\pi\nu x}\,dx, \qquad E(x)=\int\widehat E(\nu)e^{i2\pi\nu x}\,d\nu.$$

$\nu$는 라디안이 아니라 주기의 수를 세므로 지수에 $2\pi$가 들어갑니다. 각공간주파수 $k_x$로 바꾸면 $k_x=2\pi\nu$이며 다른 축척 식도 함께 바꿔야 합니다. 기호 이름만 바꾸고 수치를 그대로 쓰면 물리적 마스크 위치가 틀립니다.

여기서는 연속 변환을 사용합니다. 화면에 곡선을 표본화했다고 모델이 DFT가 되는 것은 아닙니다. 아래 준비는 유한 개의 연속 Fourier 급수 성분이며 임의의 좌표에서 직접 합산합니다. 주기 경계는 준비 자체의 가정이고, 영상 처리 코드가 몰래 만들어낸 조건이 아닙니다.

주파수가 Fourier 평면의 어디에 도착하는가?

첫 렌즈는 공간주파수를 다음 물리 좌표에 대응시킵니다.

$$\xi=\lambda f_1\nu.$$

$\lambda$는 공통 배경 매질 안의 파장입니다. 같은 마스크 위치라도 파장이나 초점 거리가 달라지면 통과하는 주파수가 달라집니다. 주파수 그래프와 물리적 마스크 그림에 같은 숫자를 단위 없이 반복해서는 안 됩니다.

$\lambda=500$ nm, $f_1=100$ mm에서 $10{,}000$ cycles/m 성분은 $\xi=0.5$ mm에 도착합니다. 대칭 반폭1 mm의 열린 동공은 $f_c=20{,}000$ cycles/m에 해당합니다. 이는 근축 축척이며 높은 NA의 벡터 집속에 대한 정확한 식이 아닙니다.

수동 복소 동공 구성하기

고정한 기준 반폭을 $a_{\rm ref}$, 실제 개구 비율을 $\alpha\in[0,1]$, 중앙 차폐 비율을 $\epsilon\in[0,1]$로 둡니다. 실제 반폭은 $a=\alpha a_{\rm ref}$이고 $f_c=a/(\lambda f_1)$입니다. 통과 구간에서는

$$H_c(\nu)=\sigma\exp\left[iq\left(\frac{\nu}{f_c}\right)^2 +ib\frac{\nu}{f_c}\right], \qquad\epsilon f_c\leq|\nu|<f_c$$

이며 나머지는0입니다. 진폭 투과율은 $0\leq\sigma\leq1$, 이차·선형 위상 세기는 각각 무차원 $q,b$입니다. 개구를 닫거나 중앙 차폐를1로 만들거나 진폭 투과율을0으로 두면 완전히 차단합니다.

바깥 경계는 정확히 제외하고, 열려 있는 동공의 안쪽 차폐 경계는 포함합니다. 연속 충격응답 적분에서는 경계의 측도가0이지만, 준비한 특정 조화 성분은 바로 그 주파수에 놓일 수 있습니다. 따라서 경계 관례를 선언하고 근처의 다른 입력까지 반올림해 합치지 않아야 합니다.

유한한 주기 복소장 준비하기

입력 장은

$$E_{\rm in}(x)=e^{i\phi_g}\sum_n c_n e^{i2\pi n x/L}, \qquad\nu_n=\frac nL$$

입니다. $L$은 주기, $n$은 명시한 정수 차수이고 복소 계수에는 진폭과 상대 위상이 들어갑니다. 유한한 모드로 표현한 무한 주기 무늬이므로 평균 강도와 주기당 적분량을 사용합니다. 실수축 전체의 유한 에너지 빔이라고 부르지 않습니다.

각 성분이 통과하는지 직접 읽을 수 있다는 것이 이 준비의 장점입니다. 그러나 임의 영상의 근사라고 하려면 근사 규칙과 수렴 검사가 더 필요합니다. 약한 위상 물체를 설명하기 위한 몇 개 측대역도 지수형 위상 격자의 정확한 무한 급수와는 다릅니다.

같은 주파수의 진폭부터 합산하기

같은 차수의 준비 두 개는 같은 결맞은 주파수를 뜻합니다. 강도나 Parseval 평균을 계산하기 전에 복소 진폭을 더해야 합니다. 예를 들어 $c_{1a}=1$, $c_{1b}=-1$이면 합쳐진 성분은0입니다. 비결맞은 전력 두 개를 더한2가 아닙니다.

서로 다른 차수로 합친 뒤에는 한 주기의 직교성으로

$$\langle I_{\rm in}\rangle=\frac1L\int_{-L/2}^{L/2}|E_{\rm in}|^2\,dx =\sum_n|c_n|^2$$

입니다. 공통 위상은 기준에 대한 복소장을 바꾸지만 이 평균과 모든 강도는 바꾸지 않습니다. 반면 상대 위상은 공간 강도 분포를 바꿀 수 있습니다. 준비 목록의 개별 전력만 더하면 바로 그 간섭을 잃습니다.

장을 거른 뒤 제곱하기

동공은 복소 성분에 작용합니다.

$$d_n=H_c(\nu_n)c_n,\qquad E_{\rm red}(x)=e^{i\phi_g}\sum_n d_n e^{i2\pi\nu_n x}.$$

그 합을 만든 뒤 $I_{\rm red}=|E_{\rm red}|^2$를 계산합니다. 입력 강도에 진폭 마스크를 직접 적용하면 다른 연산이 됩니다. 검출 강도에는 살아남은 모드 사이의 교차항이 들어 있습니다.

평균 출력은 $\sum_n|d_n|^2$이고, 입력 평균이 양수일 때 투과율은

$$T_{\rm coh}=\frac{\sum_n|H_c(\nu_n)c_n|^2}{\sum_n|c_n|^2}$$

입니다. 실제로 준비한 스펙트럼에 의존하므로 개구의 열린 비율이나 비결맞은 점원 실험의 기준 투과율과 일반적으로 같지 않습니다. 관측 준비를 바꾸면서 같은 투과율 공식을 무심코 재사용하지 마세요.

실제 영상 좌표의 반전과 정규화 유지하기

일차원 광량 보존 릴레이의 관례에서는

$$E_{\rm actual}(x')=\frac1{\sqrt{|m|}}E_{\rm red}(x'/m), \qquad I_{\rm actual}(x')=\frac1{|m|}I_{\rm red}(x'/m)$$

입니다. 실제 영상 주기는 $|m|L$이고 그 구간의 적분량은 환산 좌표의 한 주기 적분량과 같습니다. 배율은 전달된 양을 영상의 물리적 길이에 재분배하며 새로운 광량을 만들지 않습니다.

이 식은 종방향 반송파와 공통 릴레이 위상을 분리한 이상적 일차원 정규화입니다. 이차원에서 광량을 보존하는 장의 배율 계수는 다릅니다. 실제 전기장·Fresnel 계수·검출기 교정을 복구하지 않고 상대 강도를 SI 복사조도라고 부르면 안 됩니다.

수치 예제: DC와 두 측대역의 저역 통과

$L=100$ µm에서 다음 장을 준비합니다.

$$E_{\rm in}(x)=1+\frac12\cos(2\pi x/L).$$

계수는 $c_0=1$, $c_{\pm1}=1/4$입니다. 평균 강도는 $1+2(1/4)^2=1.125$이고, 마루의 강도는2.25, 반 주기 뒤의 강도는0.25입니다. 파동의 진폭 변조와 관측 강도의 변조가 같지 않음을 숫자로 확인할 수 있습니다.

열린 동공의 차단 주파수20,000 cycles/m에서는 ±10,000 측대역이 모두 통과합니다. 개구 비율을0.4로 줄여 차단을8,000 cycles/m로 만들면 DC만 남습니다. 출력 장은1, 강도도 일정한1이고 평균 투과율은 $1/1.125=8/9$입니다.

개구 비율0.4보다 훨씬 큰 약0.8889의 평균 광량이 통과해도 모순이 아닙니다. 입력의 대부분이 살아남은 DC에 있었기 때문입니다. 다른 준비에서 모든 성분이 잘리는 경우에는 같은 개구라도 투과율이0일 수 있습니다.

중앙 차폐와 강도의 더 높은 주파수

바깥 차단을 유지한 채 중앙 비율 $\epsilon=0.2$를 가리면 DC만 제거됩니다. 출력은

$$E_{\rm red}(x)=\frac12\cos(2\pi x/L),\qquad I_{\rm red}(x)=\frac14\cos^2(2\pi x/L)$$

입니다. 평균 강도는0.125, 투과율은1/9입니다. 복소장에는 여전히 ±10,000 성분만 있지만 강도에는 $2/L=20{,}000$ cycles/m 성분이 생깁니다. 통과한 두 측대역의 결맞은 맥놀이입니다.

이는 제외한 바깥 경계로 새로운 복소장 성분이 통과했다는 뜻이 아닙니다. 장의 대역폭과 장을 제곱한 관측의 대역폭은 서로 다른 양입니다. 비결맞은 강도 차단과 비교할 때 준비와 관측량을 구별해야 하는 이유이기도 합니다.

선형 동공 위상은 감쇠 대신 이동을 만든다

스펙트럼에 $\exp(i2\pi\nu d)$를 곱하면 복원된 장은 $E(x+d)$가 됩니다. 따라서 마루는 환산 좌표 $x=-d$로 이동합니다. 위에서 정한 선형 위상은

$$d=\frac{b}{2\pi f_c}$$

에 해당합니다. $b=\pi/2$, $f_c=20{,}000$이면 마루가 $-12.5$ µm로 옮겨집니다. $f_2=200$ mm, $f_1=100$ mm라면 $m=-2$이므로 실제 영상의 마루는 $+25$ µm입니다. 반전을 생략하면 이동 방향이 틀립니다.

위상만 바꾸는 마스크는 통과한 성분의 크기와 평균 출력 광량을 보존하면서도 공간 관측을 크게 바꿀 수 있습니다. 복소장의 위상은 다른 성분이나 기준에 대한 위상이며, 별도의 물리적 횡방향 변위가 아닙니다.

약한 복소 준비를 가시적 강도 대비로 바꾸기

다음 유한 세 모드 준비를 생각해 봅시다.

$$E_{\rm in}(x)=1+i\beta\cos(2\pi x/L),\qquad\beta=0.2.$$

강도는 $1+\beta^2\cos^2(2\pi x/L)$라 변화가 이차항에서 시작합니다. 약한 위상 물체를 이해하는 데 유용하지만 정확히 크기1인 $\exp[i\beta\cos(2\pi x/L)]$와 같은 준비는 아닙니다. 유한 근사를 실제 완전 위상 물체로 잘못 표시하지 않습니다.

이차 동공 위상 세기를 $q=2\pi$로 두면 측대역의 $\nu/f_c=\pm1/2$에서 위상이 π/2만큼 더해지고 DC에는 위상이 더해지지 않습니다. 허수 측대역이 음의 실수로 바뀌어 $E_{\rm red}=1-\beta\cos(2\pi x/L)$입니다. 반대 극점의 강도는0.64와1.44가 됩니다.

평균은 여전히 $1+\beta^2/2=1.02$입니다. 평균을 늘리지 않고 상대 위상을 일차 강도 신호로 바꾼 것입니다. 조명의 결맞음을 무시한 영상 신경망은 이 위상 효과를 물체의 흡수 변화로 오해할 수 있습니다.

영장·경계·근사의 유효 범위

합친 입력 계수가 모두0이면 입력 정규화 투과율은 미정입니다. 0인 복소장 표본에는 실제 관측 위상이 없습니다. 반면 입력이 양수이고 출력만 차단되었다면 투과율0은 정의됩니다. 이 원인이 다른 경우들을 하나의 정규화 상태로 합치지 마세요.

정확한 동공 경계와 그 근처의 주파수도 다른 실험입니다. 구현은 선언한 엄격한 바깥 경계를 검사하고 주변 값을 같이 잘라내지 않습니다. 정확한 사분 위상은 특별히 표현할 수 있어도 이웃 위상을 그 값으로 바꾸지는 않습니다. 원래 장과 상대 위상을 보존해야 수치 편의 때문에 새로운 간섭을 만들지 않습니다.

가정은 이상적 스칼라 근축 렌즈·공통 굴절률·결맞음·이동 불변성입니다. 동공 기울기 $a/f_1$와 시야 기울기는 별도 진단입니다. 유한 광원·벡터 집속·추가 수차·센서 픽셀·잡음은 더 많은 모델이 필요합니다. 작은 적분 세분화 차이나 유한 기준 집합의 통과는 모든 입력에서의 보편적 오차 한계가 아닙니다.

딱딱한 동공 경계는 미분 가능성도 제한합니다. 정해진 통과 대역 안에서 계수·위상을 바꾸는 것은 매끄러울 수 있지만, 준비한 이산 모드가 엄격한 차단을 넘으면 투과가 불연속으로 바뀝니다. 경사 기반 역설계에서는 물리적 근거가 있는 부드러운 동공이나 유한 물체 스펙트럼 등으로 이 이상화를 명시적으로 다뤄야 합니다. 자동 미분을 사용했다고 경계가 미분 가능해지는 것은 아닙니다.

해설 문제와 AI 연구 연결

1. 주파수의 물리적 위치 구하기

500 nm·100 mm에서10,000 cycles/m를 $\xi=\lambda f_1\nu$에 넣으면0.5 mm입니다. rad/m로 바꾸면서 $2\pi$를 옮기지 않으면 마스크 위치가 달라집니다. 물리 동공 좌표를 학습 데이터로 만들기 전에 이 변환부터 점검해야 합니다.

2. 광량과 개구 비율 비교하기

세 모드 진폭 예제에서 평균1.125를 계산하세요. 좁은 개구는 DC의 전력1을 유지하고1/16인 두 측대역 전력을 제거하므로 투과율8/9입니다. 개구 비율0.4만으로 이 스펙트럼 가중 비율을 정할 수 없습니다. 같은 개구에 잘리는 측대역만 준비하면 결과가 왜0인지 설명해 보세요.

3. 잘못된 강도 필터 찾기

DC를 막은 경우 $|\tfrac12\cos(2\pi x/L)|^2$는 $x=0$에서0.25, $x=L/4$에서0입니다. 입력 강도에 진폭 마스크를 바로 곱하는 프로그램은 같은 물리를 구현하지 않습니다. 모드 사이의 어떤 교차항을 잃거나 잘못 배정했는지 추적하세요.

4. 릴레이를 통과한 이동의 부호

환산 좌표의 마루−12.5 µm에 배율−2를 곱하면 실제 좌표는+25 µm입니다. 일차원 정규화에서 강도 밀도는 절반, 주기 길이는 두 배가 됩니다. 둘의 적분량은 같다는 점까지 확인해야 반전과 광량을 동시에 검증할 수 있습니다.

5. 영입력과 영출력 구별하기

같은 차수에 같은 진폭과 위상0·π를 준비하면 결합한 입력이 정확히0이라 투과율이 미정입니다. 다른 실험에서 동공 밖의 비영 모드 하나를 넣으면 입력은 양수이고 출력0·투과율0입니다. 단순한 어두운 영상이라는 관측만으로 두 원인을 구별할 수 없습니다.

6. 위상을 다루는 역문제 설계하기

알려진 복소 준비와 여러 마스크로 복소장 표본 또는 교정한 강도를 예측하세요. 독립 연속 동공 적분·주기 적분과 실제 영상 반전을 검증에 포함합니다. 강도만 관측하면 물체·동공·위상의 식별 불가능성이 남을 수 있습니다. 작은 복원 손실만으로 유일한 물리 위상을 찾았다고 주장하지 말고 다중 조명·교정·식별성 가정을 명시해야 합니다.

자료와 다음 범위

MIT2.71 강의22는 결맞은4F 결상과 실제·환산 좌표를 설명합니다. TU Delft의 Scalar Diffraction Optics는 렌즈 Fourier 평면과 공간 필터링을 연결합니다. 여기의 예제는 선언한 일차원 준비와 정규화로 직접 유도했으며 이차원 카메라에 그대로 옮기지 않습니다.

다음 단원은 비결맞은 점원의 비음수 영상, PSF와 동공 자기상관 OTF를 다룹니다. 부분 결맞음에는 두 극단의 선택을 넘어 상호 결맞음이 필요합니다. 샘플링과 센서는 이어지는 별도 주제이며 이 연속 모델 안에서 이미 검증된 기능이 아닙니다.