바퀴의 구름·미끄럼과 접촉 열

구름과 미끄럼에는 다른 접촉 법칙이 필요하다

바퀴는 병진·회전·바닥에 대한 미끄럼을 동시에 가질 수 있습니다. 중심이 움직이는 모습만으로 접촉면이 미끄러지는지 알 수 없습니다. 중심을 미는 힘에서는 정지 마찰이 뒤로, 축 토크로 구동하면 앞으로 작용할 수도 있습니다. 방향은 접촉 조건과 운동 방정식으로 구해야 합니다.

이 단원은 고정 수평 바닥 위의 강체 축대칭 바퀴를 실제 시간에 따라 풉니다. 앞 단원의 순간 막대 충돌과 달리 유한한 시간 동안 위치·각도·속도가 변합니다. 질량 중심 높이는 R로 고정하며 수직 튀어 오름이나 법선 충돌은 포함하지 않습니다.

기하·관성과 부호를 선언한다

m>0, R>0, g=10m/s², N=mg입니다. 일정한 수평 힘 F가 중심에 작용하고 일정한 부호 있는 토크 τ가 중심에 작용합니다.

각속도 Ω와 각도 φ는 시계 방향을 양수로 사용합니다. 앞 막대 단원의 반시계 ω와 반대 규약입니다. 오른쪽 중심 속도를 V>0으로 두면 아래 접촉의 미끄럼 속도는

$$u=V-R\Omega$$

입니다. 관성은 I=κmR², 0<κ≤1로 바퀴 바깥 반지름 안의 축대칭 질량 계열입니다. 균일 원판은 κ=1/2, 얇은 고리는 κ=1입니다. 바닥은 정지해 있고 바퀴는 원형 강체입니다. 구름 저항·타이어 변형·온도 변화·접촉 이탈은 별도 모델입니다.

병진과 회전을 함께 유도한다

접선 마찰 f는 오른쪽이 양수입니다.

$$m\dot V=F+f, \qquad I\dot\Omega=\tau-Rf.$$

바퀴 아래의 오른쪽 힘은 반시계 토크를 만들므로 시계 각속도 식에 마이너스로 들어갑니다. 접촉 속도를 미분하면

$$\dot u=A_0+Cf, \qquad A_0=\frac Fm-\frac{R\tau}{I}, \qquad C=\frac1m+\frac{R^2}{I}>0.$$

따라서 상대 접촉 가속도는 병진과 회전을 함께 포함합니다. 점입자 마찰식의 F/m만 사용하면 회전 반응과 사건 시각을 틀리게 예측합니다.

순수 구름이 가능한지 판정한다

u=0에서 미끄럼 없이 계속 구르려면 u̇=0이어야 합니다. 필요한 정지 마찰은

$$f_{\rm req}=-\frac{A_0}{C} =\frac{R\tau/I-F/m}{1/m+R^2/I}.$$

|freq|≤μsN이면 f=freq인 구름 분기를 고릅니다. 등호도 이 실험에서는 구름으로 처리합니다. 구름은 V=RΩ라는 뜻이며 V와 Ω가 모두 0이라는 뜻은 아닙니다. 정지에서 출발해 가속하면서도 이 관계를 유지할 수 있습니다.

필요한 마찰은 양수·음수·0 모두 가능합니다. 힘과 토크가 0이 아니어도 마찰 없이 호환 가속도를 만들 수 있습니다. 원형 바퀴의 중심은 수직 가속하지 않고 외부 입력도 수직 힘을 더하지 않으므로 수직항력은 mg입니다.

미끄러질 때 운동 마찰을 사용한다

u≠0이면

$$f=-\mu_kN\operatorname{sgn}(u)$$

입니다. 마찰은 바닥에 대한 상대 미끄럼을 거스릅니다. 중심 이동 방향을 반드시 거스르는 것은 아닙니다. 제어값은 μs=μk+δ, δ≥0으로 구성해 모든 조합에서 계수 순서를 지킵니다.

u=0이어도 필요한 정지 마찰이 한계를 넘으면 A0 방향으로 미끄럼이 시작됩니다. 운동 마찰은 이 출발 방향을 거스릅니다. 한계 초과와 μs≥μk 때문에 새 분기의 접촉 가속도 부호가 출발 방향과 맞습니다. 순간 미끄럼 속도 0은 구름일 수도, 미끄럼 출발의 정확한 순간일 수도 있어 상태 표시를 따로 둡니다.

구름 또는 반전 사건을 정확히 찾는다

마찰이 일정한 분기에서는 V와 Ω, 따라서 u가 시간의 일차식입니다. u0와 u̇의 부호가 반대이면

$$t_s=-\frac{u_0}{\dot u}$$

에서 접촉 미끄럼이 0이 됩니다. 같은 가속도로 위치와 각도를 적분한 뒤 정지 마찰의 가능성을 다시 판단합니다. 가능하면 순수 구름, 불가능하면 반대 상대 방향의 미끄럼으로 갑니다. 현재의 일정 입력과 계수 순서에서는 이 결정 뒤에 추가적인 영 미끄럼 전환 사건이 생기지 않습니다.

위치·각도·V·Ω는 연속입니다. 마찰력은 유한하게 뛸 수 있습니다. 힘-시간 그림의 수직 선은 좌우 극한이며 유한 충격량을 뜻하지 않습니다. 사건 시각을 정확히 조회하면 이후 분기의 힘을 표시합니다. 표시 구간보다 늦은 사건은 표에 남기되 그래프 밖의 점을 끼워 넣지 않습니다.

접촉 일과 소산 에너지를 구분한다

마찰의 병진 일률은 fV, 회전 일률은 −RfΩ이므로 합은

$$P_{\rm contact}=f(V-R\Omega)=fu$$

입니다. 순수 구름에서는 마찰이 0이 아니고 각각의 일이 0이 아니어도 합은 0입니다. 미끄럼에서는 fu=−μkN|u|이므로 누적 소산은

$$Q=\mu_kN\int_0^t|u(s)|\, ds$$

입니다. 중심의 총 이동 거리가 아니라 상대 미끄럼 거리입니다. 반전이 있으면 |x−Rφ|와도 다르며 두 미끄럼 구간의 이동을 모두 더해야 합니다. Q를 접촉 열 또는 소산 에너지라고 부르지만 온도나 두 물체 사이 분배는 계산하지 않습니다.

운동 마찰 계수가 0이면 미끄러져도 Q=0입니다. 반대로 움직이는 바퀴가 순수 구름으로 Q=0을 유지할 수 있습니다. 운동·미끄럼·소산은 서로 다른 양입니다.

힘과 토크를 포함한 에너지 예산

운동에너지와 외부 일은

$$K=\frac12mV^2+\frac12I\Omega^2, \qquad W=F\Delta x+\tau\Delta\phi$$

입니다. 운동 방정식에 V와 Ω를 곱해 더하면

$$\Delta K+Q=W$$

를 얻습니다. 계산은 마찰의 병진 일과 회전 일을 따로 적분해 합이 −Q인지도 확인합니다. 전체 에너지 하나만으로 놓칠 수 있는 부호 오류를 찾기 위해서입니다. 선충격량은 Ft+∫fdt, 시계 각충격량은 τt−R∫fdt입니다.

φ는 누적 각도입니다. 전체 회전도 토크 일에 기여합니다. 그림의 표시점에는 sinφ, cosφ를 사용해도 τφ를 구하기 전에 2π 나머지로 줄이면 물리적 일을 잃습니다.

처음 미끄러지는 원판이 구름에 들어가는 예

m=R=1, κ=1/2, μk=0.2, μs=0.4, F=τ=0, V0=1, Ω0=0으로 둡니다. 초기 f=−2, V̇=−2, Ω̇=4이므로 u̇=−6, ts=1/6초입니다.

사건에서 V=Ω=2/3, x=5/36, φ=1/18입니다. 상대 미끄럼 거리는 x−Rφ=1/12이므로 Q=1/6입니다. 이후 마찰이 0이 되어 등속으로 구릅니다. 1초에는 x=25/36, φ=11/18이지만 Q는 1/6 그대로입니다.

중심 이동 거리 25/36을 열 식에 넣으면 초기 에너지보다 큰 불가능한 손실을 얻습니다. 올바른 최종 운동에너지는 1/3이며 초기값은 1/2입니다. 이 사례에서 어떤 거리를 사용해야 하는지 수치로 확인할 수 있습니다.

기하와 시간 곡선을 읽는다

바퀴 중심, 기하학적 아래 접촉점, 표시한 물질점은 다릅니다. 아래 접촉은 (x, 0)이고 처음 오른쪽 테두리에 둔 물질점은 (x+Rcosφ, R−Rsinφ)입니다. 회전하면서 서로 다른 물질점이 아래에 도달합니다. 접촉 표시를 바퀴의 한 물질점 궤적으로 오인하지 않습니다.

시간 이력은 0~10초이며 조회점과 구간 안의 사건을 명시적으로 포함합니다. V와 테두리 속도 RΩ는 모두 m/s여서 비교할 수 있고 Ω 자체의 단위는 rad/s입니다. 마찰은 N, 각도는 rad, 에너지는 J입니다. 부호 있는 위치·각도와 총 이동 거리를 구분하세요.

제어값·구간별 상태·사건 시각·일 예산은 정확한 유리수이고 그림의 삼각함수 좌표는 수치값입니다. 높이가 고정된 연속 운동 모델은 앞 단원의 법선 충돌 사상을 대신하지 않습니다.

예제와 해설이 있는 연습문제

1. 중심 힘으로 구르는 원판. m=R=1, κ=1/2, μk=0.2, μs=0.4, F=3, τ=0에서 정지 출발합니다. 해설: freq=−1, V̇=Ω̇=2입니다. 1초에 x=φ=1, V=Ω=2, K=W=3입니다. 정지 마찰의 병진 일 −1J와 회전 일 +1J가 상쇄되어 접촉 일과 열은 0입니다.

2. 자유롭게 미끄러지던 원판. 같은 질량·계수에서 F=τ=0, V0=1, Ω0=0입니다. 해설: ts=1/6초, 최종 구름 속도는 2/3입니다. 1초에 Q=1/6, S=1/12, K=1/3이며 중심 이동 거리 25/36을 미끄럼 거리로 쓰지 않습니다.

3. 토크가 마찰을 통해 중심을 움직인다. 첫 예제 계수로 F=0, τ=3에서 정지 출발하세요. 해설: freq=+2, V̇=Ω̇=2입니다. 1초에 K=W=3입니다. 마찰이 병진에는 +2J, 회전에는 −2J의 일을 하므로 앞으로 향해도 정지 구름과 호환됩니다.

4. 약한 접촉에서 미끄럼 출발. F=0, τ=3을 유지하고 μk=μs=0.1로 두세요. 해설: 필요한 2N이 정지 한계 1N을 넘습니다. f=+1, V̇=1, Ω̇=4, u̇=−3입니다. 1초에 x=1/2, φ=2, K=9/2, Q=3/2, W=6입니다. 같은 계수의 중심 힘 F=3, τ=0은 정확한 정지 한계에서 구릅니다.

5. 상대 미끄럼의 반전. m=R=1, κ=1/2, μk=μs=0.2, F=10, τ=0, V0=−1, Ω0=0입니다. 해설: 1/16초에 미끄럼이 0이 되지만 정지 마찰이 부족해 반전합니다. 1초에 S=229/128, 부호 있는 x−Rφ=221/128, Q=229/64입니다. 순변위의 절댓값만 쓰면 처음 이동한 구간을 잃습니다.

6. 표시 범위 밖 사건과 누적 회전. 고리 m=4, R=1, μk=μs=0.1, F=7.9, τ=0, V0=2, Ω0=0의 사건은 80초입니다. 해설: 10초 그림에서는 아직 미끄러지며 u=7/4, Q=75입니다. 별도로 마찰 없는 m=1, R=1/2, κ=0.1 바퀴에 τ=10, F=0을 정지부터 가하면 10초에 φ=20000rad, 토크 일은 200000J입니다. 그림 위상을 줄여도 누적 일을 지우면 안 됩니다.

연구 연결과 원자료

학습한 접촉 모델은 영 미끄럼 가속, 전후 방향 마찰, 사건 시각의 등호, 반전과 중심 거리·상대 거리의 차이에서 검사해야 합니다. 바퀴 외곽이 비슷하게 움직이는 것만으로 힘·토크·소산·분기 선택이 맞다고 할 수 없습니다. 정확 예산과 독립 분기 적분은 서로 다른 부분을 검증합니다.

구름 동역학과 에너지의 배경은 MIT OpenCourseWare 구름 운동 강의를 참고하세요. 일정 중심 힘·시계 토크 계열, 정지 한계 등호와 정확 전환 법칙은 이 교재의 별도 실험 선언입니다. 마찰 충돌·다중 접촉·변형 타이어는 추가 모델이 필요한 심화 주제입니다.