Landauer 초기화와 가정

1. 초기화가 하는 일 정하기

초기화는 두 입력 비트 상태를 모두 0으로 보냅니다. 출력만 보면 이전에 어느 상태였는지 알 수 없습니다. 두 메모리 상태의 에너지와 내부 엔트로피가 같고, 온도 $T$의 열저장고를 사용하며 제어기는 처음 상태로 돌아간다고 가정합니다. 열저장고는 처음에 메모리와 상관되어 있지 않고, 연산 중 입력의 외부 기록을 사용하지 않습니다. 이런 조건은 메모리에서 줄어든 엔트로피가 어디로 이동하는지 규정합니다. Landauer의 계산 과정 비가역성 연구

2. 엔트로피 수지에서 하한 구하기

처음 상태가 1일 확률이 $p$이면 자연로그로 정의한 이진 엔트로피는 $h(p)=-p\ln p-(1-p)\ln(1-p)$입니다. $0\ln 0=0$으로 둡니다. 완전한 초기화 뒤에는 $h(0)=0$입니다. 메모리의 다른 엔트로피 성분을 고정하면 메모리 엔트로피가 $k_B h(p)$만큼 감소합니다. 하나의 열저장고를 쓰는 이상 모형에서 제2법칙은 다음 하한을 줍니다.

열저장고로 들어가는 열을 양수로 둡니다. 등호는 과정이 열역학적으로 가역적인 극한을 뜻합니다. 두 입력이 같은 확률이면 $p=1/2$이고 $h(p)=\ln 2$입니다.

3. 가정을 하나씩 바꾸어 보기

초기 비트가 이미 확실하면 이진 엔트로피는 0입니다. 정보 감소에 따른 열 하한 항도 0입니다. 초기화 뒤에도 확률 $\varepsilon$로 상태 1이 남으면 같은 모형에서 엔트로피 감소량은 $k_B[h(p)-h(\varepsilon)]$입니다. 두 입력이 같은 확률이고 $\varepsilon=0.1$일 때 무차원 감소량은 약 $0.368$입니다. 허용 오차에 따라 수행한 초기화가 달라집니다.

4. 물리적 한계와 실험값 비교하기

300 K에서 두 상태가 같은 확률인 비트를 완전히 초기화할 때 열저장고가 받는 평균 열의 하한은 약 $2.87\times10^{-21}$ J입니다. 콜로이드 실험에서는 이중 우물 속 입자가 비트를 표현합니다. 제어 과정을 통해 우물을 바꾸어 입자가 한쪽에 남도록 합니다. 반복 실험으로 평균 소산을 추정하고, 제어를 느리게 한 극한을 $k_B T\ln 2$와 비교합니다. 유한한 속도, 계측 회로, 초기화 제어에 추가 비용이 생길 수 있습니다. Bérut 외의 Landauer 원리 검증 실험

5. 균등 입력, 편향 입력, 초기화 오차 검산하기

from math import isclose, log

k_B, temperature = 1.380649e-23, 300

def entropy(p):
    return -sum(x * log(x) for x in (p, 1 - p) if x > 0)

def heat_floor(p, error):
    return k_B * temperature * (entropy(p) - entropy(error))

fair = heat_floor(.5, 0)
assert isclose(fair, k_B * temperature * log(2), rel_tol=1e-12)
assert 0 < heat_floor(.1, 0) < fair
assert 0 < heat_floor(.5, .1) < fair
assert heat_floor(0, 0) == 0
for p, error in [(.5, 0), (.1, 0), (.5, .1)]:
    print(f"p={p:.1f}, error={error:.1f}, floor={heat_floor(p, error):.3e} J")

6. 계산 비용 주장에 포함된 연산 확인하기

이 논증은 정해진 물리 메모리 연산의 엔트로피 감소를 셉니다. 계산에 적용할 때는 어느 상태가 합쳐지는지, 각 확률을 어떻게 구했는지, 어느 기록이 남는지, 제어의 어떤 부분이 초기 상태로 돌아가는지 명시합니다. 실제 시스템의 에너지는 작업량과 측정 경계를 정해 실측합니다. 논리적으로 가역적인 업데이트도 실제 구현에서 열을 낼 수 있습니다.