연속시간 경로와 상세 균형 위반

방의 인원수가 일정해도 한 방향 통행은 남는다

문으로 연결된 세 방을 생각하자. 사진은 각 방에 있는 사람의 비율을 보여 준다. 영상은 어느 문으로 이동하는지, 얼마나 자주 나가는지, 얼마나 오래 머무는지도 보여 준다. 연속해서 찍은 사진의 인원수가 같아도 영상을 거꾸로 재생했을 때 같은 통계가 나오리라는 보장은 없다.

앞의 이산시간 순환에서는 균일한 정상분포를 사용했다. 이번에는 방별 점유율과 대기시간이 서로 다를 수 있다. 정상분포를 직접 구하고 실제 시간 반전 생성자를 만든 뒤, 대기시간을 포함한 경로를 비교한다. 계산에 넣는 경로는 지정한 예제다. 무작위 표본을 생성하거나 몇 번의 점프만으로 정상 흐름을 추정하는 실험은 아니다.

전이율과 단위, 행 벡터 약속부터 정한다

시계 방향0→1,1→2,2→0의 전이율을 a,b,c로, 반대 방향1→0,2→1,0→2를 d,e,f로 정한다. 여섯 값은 모두 양수인 시간 독립 상수이며 단위는1/s다. 확률은 행 벡터로 쓴다.

$$Q=\begin{pmatrix}-(a+f)&a&f\\d&-(d+b)&b\\c&e&-(c+e)\end{pmatrix}, \qquad \dot p(t)=p(t)Q,\qquad r_i=-Q_{ii}.$$

전이율은 현재 그 방에 있는 사람의 단위 시간당 조건부 이탈 위험률이다.1초 안에 이동할 확률 자체가 아니다. 상태 i에서 t초 동안 떠나지 않을 확률은 exp(−r_i t)다. 떠났다는 조건 아래 목적지가 j일 확률은 q_ij/r_i다. Q의 대각 항에 대응하는 물리적 자기 점프가 있는 것은 아니다.

양의 전이율을 갖는 이 유한 사슬은 기약적이며 양의 정상분포가 유일하다. 초기분포는 그 정상분포로 지정한다. 세 상태는 모두 시간 반전에서 짝인 방의 표지다. 영상을 뒤집어도 방 번호는 바뀌지 않는다. 운동량처럼 반전에서 부호가 바뀌는 변수, 숨은 채널, 영 전이율과 시간 의존 구동은 별도로 다루어야 한다.

균일 점유를 가정하지 않고 정상식을 푼다

정상 상태에서는 각 방의 총 유입과 총 유출이 같다. πQ=0과 정규화를 함께 풀면 다음 표현을 얻는다.

$$\tau_0=cd+de+bc,\quad \tau_1=ae+ac+ef,\quad \tau_2=bf+ab+df,\qquad Z=\tau_0+\tau_1+\tau_2,\quad\pi_i=\tau_i/Z.$$

τ0의 세 항은 각각1→0과2→0,1→0과2→1,1→2와2→0의 방향 나무에 대응한다. 어떤 경우든 나머지 두 상태에서0으로 가는 경로가 있다. 나무 해석을 몰라도 π와 Q를 직접 곱해 정상식을 확인할 수 있다. 가중치와 Z의 단위는1/s²이며 비율 π는 무차원이다.

(a,b,c,d,e,f)=(2,3,4,1,1,1)/s를 넣어 보자. 세 가중치는17,11,10이므로 π=(17,11,10)/38이다. 이 전이율에서 균일한 초기분포는 정상분포가 아니다. 계산은 임의로(1/3,1/3,1/3)을 넣는 대신 직접 구한 π에서 시작한다.

한 방향 흐름과 순흐름, 상세 균형을 구별한다

i→j의 정상 한 방향 흐름은 F_ij=π_i q_ij다. 단위 시간당 그 문을 지나는 확률량이며 단위는1/s다. 양방향을 비교한 순흐름은

$$J_{ij}=\pi_iq_{ij}-\pi_jq_{ji},\qquad J_{01}=J_{12}=J_{20}=\frac{abc-def}{Z}.$$

왜 세 방향 순흐름이 같은가? 방1의 보존식은 J01−J12=0이고 방2에서는 J12−J20=0이다. 따라서 공통된 비영 순환이 있어도 어느 방의 점유율도 변하지 않는다.

위 예제의0→1과1→0 흐름은 각각34/38과11/38/s다. 차이는 J=23/38/s다. 다른 두 문에서는 한 방향 흐름의 크기는 달라도 순흐름은 정확히 같다. 모든 한 방향 화살표를 같은 굵기의 크기 표시로 그리면 잘못된 정보를 준다.

상세 균형은 문마다 양방향 흐름이 따로 같아야 한다. 이 양의 세 상태 가족에서는 abc=def와 동치다. 전이율 q_ij=q_ji가 필요한 것은 아니다. 더 많은 사람이 있는 방의 작은 이탈률이 반대편의 적은 점유와 큰 이탈률을 상쇄할 수 있다.

비균일 가역 예제로 오해를 확인한다

(a,b,c,d,e,f)=(2,3,1,1,2,3)/s로 두면 정상분포는(1/6,1/3,1/2)다.0↔1 문에서는(1/6)×2=(1/3)×1=1/3/s로 흐름이 같다. 다른 문도 균형을 이룬다. abc=def=6/s³이지만 각 문의 양방향 전이율은 서로 다르다.

모형	정상분포	순환 흐름	해석
여섯 전이율이 모두1/s	균일	0	가역이고 전이율도 대칭
전이율(2,3,1,1,2,3)/s	(1,2,3)/6	0	전이율이 달라도 가역
시계 방향3, 반대1/s	균일	2/3/s	같은 히스토그램의 비가역 순환
전이율(2,3,4,1,1,1)/s	(17,11,10)/38	23/38/s	비균일이고 비가역

히스토그램만으로는 어느 생성자가 만들었는지 식별하지 못한다. 반대로 여섯 전이율을 모두 지정하면 정상분포와 흐름은 결정된다. 동일한 하나의 생성자 안에서 현재를 임의로 골라도 된다는 뜻은 아니다.

시간 반전 생성자를 만든다

정상 과정의 상태가 반전에서 짝이라면, 반전 전이율은 정상 두 시각의 결합확률로 정한다.

$$q^*_{ij}=\frac{\pi_jq_{ji}}{\pi_i}\quad(i\ne j),\qquad q^*_{ii}=-\sum_{j\ne i}q^*_{ij}=q_{ii},\qquad \pi_i P_{ij}(t)=\pi_jP^*_{ji}(t).$$

유출률이 같다는 사실은 πQ=0에서 나온다. 반전 과정은 정상 점유율뿐 아니라 각 상태에서의 대기시간 법칙도 보존하지만 목적지를 고르는 확률은 바꿀 수 있다. 전치만으로 되는 것은 정상 기준이 균일한 특수한 경우다.

비가역 예제에서 q01=(11/38)×1/(17/38)=11/17/s다. 원래 반대율 q10=1/s와 같지 않다. q02=40/17/s이므로 두 반전 유출률의 합은3/s다. 이는 원래 a+f와 같다. Q*=Q이면 모든 문의 정상 흐름이 균형을 이루며, 정상 반전을 두 번 적용하면 원래 Q로 돌아온다.

대기시간을 포함한 경로의 밀도를 쓴다

상태 i0,…,in과 각 상태의 대기시간 δ0,…,δn을 지정한다. 점프 전 대기는 양수이며, 관측이 점프와 함께 끝나는 경우 마지막 대기는0일 수 있다. T=Σδk를 관측 시간으로 두면 정상 초기화에서 순서 있는 점프 시각에 대한 경로 밀도는

$$w_Q[\gamma]=\pi_{i_0}\left(\prod_{k=0}^{n-1}q_{i_ki_{k+1}}\right) \exp\left[-\sum_{k=0}^{n}r_{i_k}\delta_k\right].$$

n번 점프한 경로의 밀도 단위는1/sⁿ이다. 정확한 연속시간 경로 하나의 점확률은0이다. 밀도는 점프 시각 주변의 작은 영역에 대한 확률을 기술한다. 로그 밀도 표시에서는1초를 기준 시간으로 사용한다. 기준을 바꾸면 같은 n의 두 로그 밀도에 같은 상수가 더해지므로 차이는 변하지 않는다.

반전할 때는 상태 순서와 대기시간 순서를 함께 뒤집는다. 시간 독립 Q에서는 유출률×해당 상태 대기시간의 합이 같게 유지된다. 상태 목록만 뒤집고 대기시간을 잘못된 방에 붙여 두면 이 상쇄를 확인할 수 없다.

끝점의 증거와 점프의 증거를 나눈다

같은 Q와 정상 초기법칙 아래에서 경로와 그 역재생 경로를 비교한다. 대기 인자가 상쇄되어

$$R[\gamma]=\log\frac{w_Q[\gamma]}{w_Q[\gamma^{\leftarrow}]} =\log\frac{\pi_{i_0}}{\pi_{i_n}} +\sum_{k=0}^{n-1}\log\frac{q_{i_ki_{k+1}}}{q_{i_{k+1}i_k}} =\sum_{k=0}^{n-1}\log\frac{\pi_{i_k}q_{i_ki_{k+1}}}{\pi_{i_{k+1}}q_{i_{k+1}i_k}}.$$

마지막 식은 중간 상태의 정상확률을 망원합처럼 상쇄한 결과다. 이 정상·짝 변수 설정에서는 log(w_Q[γ]/w_Q*[γ])와도 같다. 첫 비교는 같은 Q에서 경로를 뒤집고, 둘째 비교는 같은 경로에서 생성자를 Q*로 바꾼다. 무엇을 바꾸는지 구별해야 한다.

비균일 가역 예제의0→1→2를 보자. 점프율의 곱 비율은(2×3)/(1×2)=3이다. 끝점 비율은(1/6)/(1/2)=1/3이다. 전체 비율은1이므로 R=0이다. 끝점 항을 빼면 가역 사슬인데도 비가역이라고 잘못 판단한다.

0→1→0 경로는 어떤 양의 전이율 모형에서도 비율이1이다. 양방향 전이율이 각각 한 번 나오고 끝점이 같기 때문이다. 그 한 경로에서0이 나왔다는 사실만으로 생성자의 상세 균형을 증명할 수 없다.

순환과 역순환, 앙상블의 비가역성을 비교한다

완성된 시계 방향 순환에서는 끝점 인자가1이고 비율은 abc/def다. 무차원 순환 affinity A를 정의하면 정상 상태의 단위 시간당 평균 로그 경로비는

$$A=\log\frac{abc}{def},\qquad \sigma=\sum_{i<j}(F_{ij}-F_{ji})\log\frac{F_{ij}}{F_{ji}} =J A\ge0,\qquad \mathbb E_{\pi}[R_T]=T\sigma.$$

양수 x,y에 대해(x−y)log(x/y)≥0이므로 문 하나의 기여부터 비음수다. 세 상태 순환에서는 방향을 맞춘 순흐름이 같고 흐름 비율의 곱에서 정상확률이 상쇄되어 J A를 얻는다. 무방향 문을 한 번씩만 셌으므로1/2를 다시 곱하지 않는다.

전이율(2,3,4,1,1,1)에서는 A=log24≈3.17805, σ=(23/38)log24≈1.92356/s다. 지정한 시계 방향 순환의 R은 log24이고 역순환은−log24다. 개별 경로가 음수여도 앙상블 평균이 비음수라는 사실과 모순되지 않는다. 지정한 경로 하나는 그 평균의 추정값이 아니다.

여기서 σ는 정상 경로 상대엔트로피율이다. 방출 열, 온도, 화학 일과 연결하려면 명시적 물리 모형과 국소 상세 균형이 추가로 필요하다. 이 모형에는 그 입력을 넣지 않았다. Seifert 리뷰의6.1–6.2절을 전이율·경로의 틀로 참고하며, 여기의 세 상태 공식과 수치 예제는 직접 계산한다.

통제한 비교를 올바르게 읽는다

모든 전이율에 κ>0을 곱하면 π와 순환 전이율 비율은 그대로다. J와 σ는 κ배가 되고 실제 시계는 κ배 빨라진다. 같은 상태 순서의 R도 유지된다. 하지만 대기시간을 고정하면 개별 경로 밀도는 달라진다. 물리적으로 재척도한 경로를 비교하려면 대기시간도 κ로 나누어야 한다.

상태 순서를 고정하고 대기 배분을 바꾸면 유출률이 다른 방의 경로 밀도는 변한다. 올바르게 뒤집은 대기가 상쇄되므로 여기의 R은 끝점과 방향 점프에만 의존한다. 이는 시간 독립 모형에서의 결론이다. 대기시간에 동역학 정보가 없다는 일반적인 주장이 아니다.

22개 준비에는 비균일 가역, 양방향 순환, 같은 히스토그램의 가역/비가역 쌍, 되짚기, 영 시간, 끝점 점프, 거의 상세 균형, 시계 재척도와64점프 극단 비율을 넣었다.10⁻³⁸⁴처럼 작은 양의 비율을 구조적0으로 바꾸면 안 된다. 정확 분수와 약−884.193인 로그는 유지된다. 매우 큰 비율도 Number 표시가 불가능해져도 로그는 남는다.

선택 경로의 시간 점유가 일반적으로 π인 것은 아니다. T=0에서는 시간 점유 비율 자체가 정의되지 않는다. 긴 정상 경로를 점프 직후만 관찰하면 기준 점유는 π_i r_i에 비례하여 빨리 떠나는 방이 과대표집된다. 일정한 시각의 관측, 점프 기록만의 관측, 손으로 지정한 예제는 서로 다른 질문에 답한다.

AI와 연구 문제에 연결한다

정상 히스토그램만 맞추도록 학습한 모형은 방향성 동역학을 놓칠 수 있다. 생성자 식별에는 전이 자료, 관측 간격, 대기시간, 상태의 정의가 모두 중요하다. 목표분포를 보존한다는 사실만으로 표본 추출 효율도 증명되지 않는다. 일정한 물리 시간이나 계산 비용에서 관측량별 의존성과 오차를 비교해야 한다.

세 방과 문 그림에서는 점유, 한 방향 흐름, 순흐름을 따로 읽는다. 경로 띠에서는 각 대기를 방과 연결한 뒤 두 목록을 함께 뒤집는다. 끝점 항과 점프 항을 먼저 확인하고 합을 읽는다. 같은 길이의 화살표는 방향만 나타내고, 크기는 명시적인 척도나 표에서 보여 주어야 한다.

유한 간격 전이 관측, 숨은 채널, 합쳐진 상태, 반전 홀수 변수로 확장할 수 있다. 거친 관측이 미시적 흐름을 숨길 수 있으므로 그 자료에서 소산을 복원하려면 관측 모형과 가정이 필요하다. 일반 네트워크와 물리적 엔트로피 생성까지 이 첫 가족만으로 완료했다고 판단하지 않는다.

해설이 있는 연습 문제

1. 비균일 정상분포를 확인하라

전이율(2,3,4,1,1,1)에서 π를 구하고 상태0의 보존식을 확인하라.

해설. 나무 가중치는17,11,10이고 Z=38이다.0의 총 유출은(17/38)×3=51/38/s, 유입은(11/38)×1+(10/38)×4=51/38/s다.0↔1의 한 방향 흐름이 달라도 점유는 정상으로 유지된다.

2. 전치라는 지름길을 거부하라

같은 모형의 q*01을 구하라. Q의 전치가 반전 생성자가 아닌 이유는 무엇인가?

해설. q*01=π1q10/π0=11/17/s다. 전치는1/s를 주며 행0 합부터−3+1+4=2/s라 생성자의 보존 조건을 위반한다. π를 통한 가중치가 필요하다.

3. 끝점 항을 보존하라

가역 전이율(2,3,1,1,2,3)에서0→1→2와2→1→0을 비교하라.

해설. 전이율 곱의 비율은3, 정상 끝점 비율은1/3이다. 대기 순서까지 뒤집으면 유출 적분도 같다. 전체 밀도비는1이므로 전이율과 끝점 점유가 달라도 R=0이다.

4. 음수인 경로 값을 설명하라

비가역 예제는 J>0이다. 지정 경로0→2→1→0의 R이 음수일 수 있는가?

해설. 그렇다. 이 경로의 비율은 def/abc=1/24이고 R=−log24다. 비가역성은 앙상블 평균 σ≥0을 제한한다. 모든 경로가 더 가능성 높은 방향으로만 움직여야 한다는 조건이 아니다.

5. 시계를 재척도하라

여섯 전이율에10을 곱하면 π,J,A,σ와 고정 상태 순서의 비율 중 무엇이 변하는가?

해설. 나무 가중치와 Z는100배이므로 π는 같다. 순흐름 분자는1000배라 J는10배다. A와 경로비는 그대로이고 σ=J A는10배다. 대기를 고정한 경로 밀도는 달라진다. 재척도한 궤적을 비교하려면 대기도10으로 나눈다.

6. 두 가지 잘못된 완료 판정을 피하라

0→1→0에서 R=0이면 상세 균형인가? 유한 지정 경로의 시간 점유로 정상법칙을 확인할 수 있는가?

해설. 둘 다 아니다. 되짚는 경로의 전이율 인자는 abc≠def여도 상쇄된다. 지정 경로는 한 방에 오래 머물도록 정할 수도 있으므로 비편향 정상 추정이 아니다. 이 가족에서는 모든 문의 흐름이나 순환 조건을 확인하고, 경험 경로라면 어떤 방식으로 표집했는지 함께 밝혀야 한다.