분산 파동 묶음의 위상·군속도

움직이는 마루와 전달되는 묶음을 구분하기

짧은 물결 무리가 센서로 다가오는 모습을 상상해 보자. 개별 마루는 무리의 뒤에서 나타나 앞쪽으로 빠져나가지만, 물결 무리 전체는 다른 속도로 움직일 수 있다. 또한 묶음이 퍼지면 최고 높이는 낮아지더라도 공간 전체에 적분한 양은 보존될 수 있다. 정현파 하나를 평행 이동하는 그림만으로는 이 세 현상을 구별하기 어렵다.

이 단원에서는 Fourier 성분을 합쳐 국소화한 파동 묶음을 만들고, 반송파 위상·포락선 중심·강도 폭을 따로 추적한다. 그 계산만으로 실제 에너지나 정보의 최초 도달 시각에 대해 무엇을 알 수 없는지도 설명한다. 앞 단원의 비분산 파동 방정식을 확장하되 초기 조건과 보존량의 의미는 계속 명시한다.

변수와 단위 및 물리적 가정

위치 $x$는 m, 시간 $t$는 s로 측정한다. 반송 파수 $k_0$는 rad/m, 각진동수 $\omega_0$는 rad/s, 군속도 계수 $v_g$는 m/s, 이차 분산 계수 $\beta$는 m²/s다. 차원 분석에서 rad은 무차원이다. 초기 진폭 폭 $\sigma>0$와 중심 $x_0$는 길이다. 각진동수와 보통 진동수 사이의 $2\pi$를 생략하지 않는다.

이 단원의 복소장은 무차원으로 정규화한다. 실수부는 표시할 진동이고, 절댓값 제곱은 정규화된 관측량이다. 별도의 물리적 구성 관계가 없으면 이를 J/m의 에너지 밀도라고 부를 수 없다. 실수선 전체에서 선형·병진 불변·무손실 포락선 모델을 가정한다. 흡수, 비선형 왜곡, 경계 반사와 센서의 진동수 응답은 포함하지 않는다.

국소화된 초기 상태 정의하기

초기 진폭 포락선을 Gaussian으로 두고 반송파를 곱한다.

$$\psi(x,0)=A\exp\!\left[-\frac{(x-x_0)^2}{2\sigma^2}\right] \exp[i(k_0x+\phi_0)].$$

$A\ge0$는 강도가 아니라 진폭이다. 강도는 $A^2\exp[-(x-x_0)^2/\sigma^2]$이므로 강도 분포의 표준편차는 $\sigma/\sqrt2$다. 진폭 폭과 강도 표준편차를 모두 구분 없이 sigma라고 부르면 분산에서 두 배 오차가 생긴다. 폭을 보고할 때 어떤 관측량을 기준으로 정의했는지 함께 적어야 한다.

Gaussian은 Fourier 적분을 명시적으로 계산할 수 있어 편리하다. 그러나 유한 지지를 가진 신호는 아니다. 정확한 수학에서는 중심에서 아무리 먼 곳에도 작은 꼬리가 존재한다. 그림의 표시 구간을 자른다고 실제 신호 전면이 생기지 않는다.

Fourier 관례를 먼저 고정하기

$p=k-k_0$를 사용하고 다음 역변환 관례를 택한다.

$$\psi(x,t)=\frac{A\sigma}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\sigma^2p^2/2} e^{i[(k_0+p)x-\omega(k_0+p)t+\phi_0-px_0]}\,dp.$$

$t=0$을 대입하면 정한 초기장이 복원된다. 스펙트럼 진폭의 폭 매개변수는 $1/\sigma$다. 이것도 진폭의 폭이며, 정의가 생략된 불확정성 공식으로 취급하지 않는다. 공간에서 좁은 파형을 만들려면 더 넓은 파수 범위를 함께 사용해야 한다.

$e^{i(kx-\omega t)}$의 부호는 이후 위상과 이동 방향을 결정한다. 다른 변환 관례도 가능하지만 초기 스펙트럼과 시간 진화의 부호를 일관되게 바꿔야 한다. 애니메이션을 만들기 전에 영시각 복원을 검사하면 방향·위상·정규화 오류를 쉽게 발견할 수 있다.

가까운 두 파동에서 군속도 이해하기

진폭이 같은 두 실수 파동에는 다음 항등식이 성립한다.

$$\cos(k_1x-\omega_1t)+\cos(k_2x-\omega_2t) =2\cos\!\left(\frac{\Delta k\,x-\Delta\omega\,t}{2}\right) \cos(\bar kx-\bar\omega t).$$

느린 변조는 $\Delta\omega/\Delta k$로, 빠른 반송 위상은 $\bar\omega/\bar k$로 움직인다. 대역을 충분히 좁히면 변조 속도는 $v_g=\omega'(k_0)$가 된다. 두 성분만으로는 반복되는 맥놀이가 생긴다. 하나의 국소화된 묶음을 얻으려면 여러 성분을 합해야 한다.

이 유도는 간섭 무늬의 이동을 설명한다. 이것만으로 에너지나 정보의 속도를 증명한 것은 아니다. 에너지 전달은 실제 에너지 수지와 비교해야 하며, 정보의 최초 도달은 신호가 어떻게 준비되었는지까지 정한 문제다. 시각적으로 그럴듯한 봉우리 이동만으로 세 개념을 동일시하지 않는다.

위상속도와 국소 분산 전개

반송 파수 근처에서 분산 관계를 다음과 같이 둔다.

$$\omega(k_0+p)=\omega_0+v_gp+\tfrac12\beta p^2, \qquad v_p=\frac{\omega_0}{k_0},\quad v_g=\omega'(k_0),\quad\beta=\omega''(k_0).$$

$k_0\ne0$인 단색 반송파의 등위상선은 $v_p$로 이동한다. $k_0=0$에서는 그 나눗셈이 위상속도를 정의하지 않으므로 무한대 대신 미정으로 표시한다. 분산 관계가 일차식이어도 상수 절편이 있으면 모양은 유지되면서 $v_p$와 $v_g$는 다를 수 있다. 모양 보존과 두 속도의 동일성은 같은 조건이 아니다.

여기서는 이차 다항식 자체가 정확한 모델을 정의한다. 실제 매질의 근사로 사용한다면 그 매질에서 계수를 유도하고 사용할 대역을 정당화해야 한다. 같은 식을 쓴다는 이유만으로 임의 진동수에서 실제 광학 재료의 거동이 검증되지는 않는다.

Gaussian 파동 묶음의 정확한 계산

$y=x-x_0-v_gt$, $D=\sigma^2+i\beta t$라 놓는다. Fourier 적분의 제곱을 완성하면

$$\psi(x,t)=\frac{A\sigma}{\sqrt D} \exp\!\left[-\frac{y^2}{2D}\right] e^{i(k_0x-\omega_0t+\phi_0)}$$

를 얻는다. 제곱근은 $t=0$에서 $\sqrt D=\sigma$가 되도록 연속적으로 고른다. $D$의 실수부가 양수이므로 그 편각은 $-\pi/2$와 $\pi/2$ 사이에 있고 주값 제곱근으로 이 연속성을 유지할 수 있다.

앞의 진폭 계수는 장식이 아니다. 지수의 폭만 넓히고 최고 진폭을 고정하면 적분한 제곱장이 증가한다. 초기 조건과 비교하고, 분산0에서 모양이 유지되는지와 음의 시간에서도 잘 정의되는지를 검사한다. 시간 적분 오차가 없는 닫힌 해를 사용하더라도 부호·단위·가지 선택은 별도로 검증해야 한다.

중심과 최고값 및 보존 노름

$\zeta=\beta t/\sigma^2$, $W=\sigma\sqrt{1+\zeta^2}$라 정의하면

$$|\psi|^2=\frac{A^2}{\sqrt{1+\zeta^2}} \exp\!\left[-\frac{y^2}{W^2}\right], \qquad \int_{\mathbb R}|\psi|^2dx=A^2\sigma\sqrt\pi.$$

장이0이 아니면 강도 중심은 $x_0+v_gt$, 분산은 $W^2/2$다. 폭이 증가한 비율만큼 최고 강도가 줄어든다. 고정된 센서는 적분 노름의 손실이 없어도 더 작은 최고 신호를 볼 수 있다. 이동 때문에 관측 구간 밖으로 빠져나가는 효과와 퍼짐 때문에 최고값이 낮아지는 효과도 구별한다.

무차원 장의 정규화에서 이 노름의 단위는 m다. 실제 역학계의 전체 에너지라는 뜻이 자동으로 붙지 않는다. $A=0$이면 장과 노름은0이지만, 노름으로 나누어 정의하는 관측 중심은 미정이다. 설정한 기하학적 중심 매개변수와 실제로 관측 가능한 중심을 분리해 보고한다.

Chirp가 국소 위상을 바꾸는 방식

$r=\sigma^2$, $b=\beta t$, $Q=r^2+b^2$라 쓰면 전체 위상은

$$\theta=k_0x-\omega_0t+\phi_0-\tfrac12\arctan(b/r) +\frac{by^2}{2Q},\qquad k_{\rm local}=\partial_x\theta=k_0+\frac{by}{Q}.$$

따라서 파동 묶음의 앞과 뒤에서 국소 파수가 다르다. 같은 $|t|$에서 $\beta$의 부호를 뒤집으면 강도 폭은 같지만 포락선 chirp의 부호는 반대가 된다. 강도 사진 하나만으로 분산 부호를 알아낼 수 없는 구체적인 비식별 예다. 위상 정보를 측정하는 관측과 강도만 측정하는 관측의 차이가 드러난다.

실제 국소 등위상 속도는 장과 분모가0이 아닌 곳에서 $-\partial_t\theta/\partial_x\theta$다. 일반적으로 $\omega_0/k_0$와 같지 않다. 반송파 기준선을 모든 실제 마루의 궤적으로 표시하면 chirp의 영향을 감추게 된다. 영진폭에는 관측 위상이 없으며 위상 기울기가 거의0인 곳에서는 속도 비율 자체가 불안정한 설명이 된다.

작지만 0이 아닌 위상 기울기에는 유한한 비율을 그대로 유지합니다. 예를 들어 국소 파수가 $10^{-13}$ rad/m, 국소 각진동수가 8 rad/s이면 속도 비율은 $8\times10^{13}$ m/s입니다. 이것은 국소 등위상선의 속도이며 신호·정보·에너지 전달 속도라는 뜻이 아닙니다. 모델은 영장, 정확한 영기울기, 유한한 비율, 부동소수점 표현 범위를 넘는 비율을 상태로 구분합니다. 작은 기울기를 임의의 문턱으로 0처럼 취급하지 않습니다. 반송 기준 속도도 영파수와 표현 범위를 넘은 비율을 구별합니다.

포락선 방정식으로 다시 검사하기

$\psi=B(x,t)e^{i(k_0x-\omega_0t+\phi_0)}$로 분리한다. 포락선의 각 Fourier 성분은 이차 분산으로 진화하므로

$$i(\partial_tB+v_g\partial_xB)=-\frac{\beta}{2}\partial_x^2B$$

를 만족한다. 정확한 Gaussian 해를 미분해 대입하면 초기 조건 복원과 다른 관점에서 퍼짐의 부호를 검사할 수 있다. 구현에서 반환하는 포락선 미분에는 모두 같은 반송 인자를 곱한다. 이를 전체장 $\psi$의 미분과 혼동하면 반송 파수와 각진동수 항이 빠진 잘못된 잔차가 나온다.

포락선 노름에는 흐름 $j=v_g|B|^2+\beta\operatorname{Im}(B^*B_x)$가 있는 보존식도 성립한다. 이것은 이 유효 방정식의 제곱 포락선 노름 흐름이다. 전자기 전력이나 줄의 역학적 에너지 흐름이라고 부르려면 별도의 물리적 연결이 필요하다. 방정식 잔차의 작은 값만으로 관측량의 해석까지 검증했다고 주장하지 않는다.

숫자를 넣어 전체 과정을 확인하기

$A=1$, $\sigma=1$ m, $x_0=0$, $k_0=4$ rad/m, $\omega_0=8$ rad/s, $v_g=1$ m/s, $\beta=0.5$ m²/s를 택한다. $t=2$ s이면 $\zeta=1$, 중심은2 m, 진폭 폭은 $\sqrt2$ m다. 강도 표준편차는1 m이며 최고 강도는 $1/\sqrt2\approx0.7071$이다. 폭과 최고값이 함께 달라졌음을 확인한다.

적분 노름은 $\sqrt\pi$ m로 유지된다. 반송파 기준 속도는2 m/s지만 포락선 중심은1 m/s로 이동한다. 중심에서는 chirp의 공간 기울기가0이어도 시간에 따라 변하는 위상이 국소 각진동수에 기여한다. 실제 값은8.125 rad/s이므로 그 점의 국소 마루 속도는2.03125 m/s다. 세 속도가 다르다는 것을 단순한 숫자로 비교할 수 있다.

$\beta$를 $-0.5$로 바꾸면 이 시각의 강도 사진은 같지만 chirp가 반대가 된다. 센서가 어떤 관측량을 제공하는지에 따라 풀 수 있는 역문제가 달라진다. 계산 결과를 비교할 때 위상까지 예측했는지, 강도만 맞췄는지를 분명히 기록한다.

Taylor 근사의 사용 조건

실제 분산 관계에 삼차 나머지가 있으면 정한 대역 $|p|\le P$에서 $t\sup|\omega'''|P^3/6$이1 rad에 비해 작은지 확인할 수 있다. 이것은 해당 대역에서 누적된 위상 나머지의 진단이며, 모든 관측 오차를 자동으로 제한하는 보편적 정리는 아니다. Gaussian은 유한 대역 밖에도 꼬리가 있으므로 그 스펙트럼 가중치도 별도로 추정해야 한다.

초기 묶음이 충분히 매끄러워 보여도 긴 전파 시간에는 고차 항이 누적되어 근사가 깨질 수 있다. 실제 분산 관계와 이차 근사를 비교할 때 같은 초기 스펙트럼을 유지한다. 결과의 폭을 사후 조정하여 억지로 일치시키면 모델 오차를 숨긴다. 손실과 경계는 이와 다른 오차 원인이다.

국소 이차 다항식이 대역 밖에서 음의 진동수를 줄 수도 있다. 이는 정의한 포락선 방정식의 수학적 해와 모순되지 않지만, 그 다항식을 모든 파수의 실제 양의 진동수 재료 법칙으로 해석할 근거는 되지 않는다. 유효 모델의 계산 가능성과 물리적 적용 범위를 구별한다.

정보 전면과 그림의 해석 한계

군속도 봉우리는 이미 준비된 파형의 한 특징이다. 정보 전면 문제는 이전에 없던 변화가 언제 수신기에 최초로 영향을 줄 수 있는지 묻는다. 초기 Gaussian에는 정확히 아무 변화도 없는 외부 영역이 없으므로, 그 봉우리의 이동으로 이 질문에 답할 수 없다. 실제 인과 영역은 신호 준비와 물리적 전파 법칙을 지정한 뒤 다뤄야 한다.

유한한 표시 구간도 전체 노름이나 에너지를 측정하지 않는다. 해석적으로 아는 전체값과 관측 구간의 양, 수치적으로 잘라 낸 꼬리를 따로 기록한다. 낮은 관측 진폭은 퍼짐·이동·실수부의 위상 상쇄·실제 손실에서 생길 수 있다. 이 무손실 모델이 설명하는 것은 앞의 세 가지다.

여러 최고점에 직선을 맞추거나 애니메이션의 움직임을 보는 것만으로 보편적 전달 정리나 인과성을 입증하지 않는다. 새로운 연구에서는 속도를 비교하기 전에 관측량·가정·초기 준비를 먼저 명시해야 한다.

AI 연구 실험과 음성 대조군

연산자 학습에서는 $\sigma$, $v_g$, $\beta$, 초기 위상을 바꿔 정확한 복소장과 예측을 비교할 수 있다. 진폭 오차·위상 오차·보존 노름 오차를 따로 평가한다. 강도만 출력하는 모델은 위의 대칭 예에서 두 chirp 부호를 구별할 수 없다. 출력이 잘 맞는 것과 원인이 식별되는 것은 다른 성질이다.

$\beta=0$은 퍼짐이 없는 대조군, $A=0$은 관측량 미정 처리를 검사하는 대조군이다. 전파 법칙을 비교할 때는 초기 스펙트럼을 고정한다. 하나의 궤적에 인접한 점을 무작위로 나눠 훈련·평가하면 물리적 외삽 성능을 과대평가할 수 있으므로 매개변수 영역 단위의 분할도 사용한다.

독립 Fourier 적분은 닫힌 해를, 기호 대입은 방정식을, 실공간 적분은 모멘트를 검증한다. 한 식을 여러 형태로 다시 쓴 결과끼리의 일치보다 강한 근거다. 이 수학 검사가 통과해도 실제 화면의 글자·범위·색상·조작·저장은 별도의 검증을 거쳐야 한다.

해설 문제

문제 1 — 어떤 폭을 측정했는가?

진폭 포락선이 $e^{-x^2/(2\sigma^2)}$, $\sigma=2$ m일 때 강도의 분산을 구하라.

해설: 제곱하면 $e^{-x^2/\sigma^2}$다. 분산은 $\sigma^2/2=2$ m², 표준편차는 $\sqrt2$ m다.4 m²를 답하면 진폭 폭 매개변수와 강도 통계를 혼동한 것이다. 측정할 분포를 먼저 정하고 그 분포를 정규화해 모멘트를 계산한다.

문제 2 — 노름을 잃지 않고 퍼지기

$\beta t/\sigma^2=3$일 때 폭과 최고 강도는 어떻게 달라지는가?

해설: 폭은 $\sqrt{10}$배, 최고 강도는 $1/\sqrt{10}$배다. 둘의 곱이 유지되어 Gaussian 적분도 보존된다. 폭만 늘리고 최고값을 고정하면 초기 조건에 없던 적분량을 만들어 낸다. 최고 신호가 작아졌다는 이유만으로 흡수나 손실이라고 결론 내릴 수 없다.

문제 3 — 같은 강도 사진과 다른 위상

초기에 chirp가 없는 경우 강도 사진 하나로 $\beta$의 부호를 알 수 있는가?

해설: 알 수 없다. 강도는 $(\beta t)^2$에 의존하지만 포락선 위상은 $\beta t$의 부호에 따라 달라진다. 위상에 민감한 측정이나 다른 알려진 준비 조건이 필요하다. 관측값이 정확해도 모델 매개변수가 유일하게 정해지지 않는 비식별 사례다.

문제 4 — 반송파 표시선과 실제 마루

수치 예제의 $t=2$ s, 묶음 중심에서 세 속도를 비교하라.

해설: 반송파 기준은 $8/4=2$ m/s, 포락선 중심 속도는1 m/s다. 전체 위상의 국소 각진동수는8.125 rad/s, 파수는4 rad/m이므로 국소 마루 속도는2.03125 m/s다. 실제 마루를 추적할 때 시간에 따른 포락선 위상도 포함해야 한다.

문제 5 — 진폭이0인 묶음

$A=0$이면 어떤 중심과 위상을 관측할 수 있는가?

해설: 장과 노름은0이다. 설정 매개변수 $x_0+v_gt$는 남지만 영 일차 모멘트를 영 노름으로 나눈 값은 중심을 정의하지 않는다. 관측 중심·위상·국소 마루 속도는 미정이다. 편의상0을 넣으면 실제 측정된 중심이나 위상으로 오해하게 된다.

문제 6 — 봉우리에서 인과 전면으로

Gaussian 봉우리가 $x=v_gt$에 도달한 것을 최초 신호 도달의 측정으로 볼 수 있는가?

해설: 볼 수 없다. Gaussian은 초기부터 모든 위치에 꼬리가 있다. 최초 도달을 논하려면 이전에 없던 변화나 원천의 전환을 정하고 그에 맞는 물리 전파 모델을 사용해야 한다. 이미 준비된 봉우리의 이동만으로 인과 영역이나 정보 전달의 상한을 정할 수 없다.

자료와 재현 가능한 검증

MIT 8.03SC 강의13은 분산과 맥놀이의 도입을, Harvard Matthew Schwartz 강의11은 Fourier 묶음과 분산 전개를 다룬다. 여기의 관례·정규화 계수·국소 위상 계산·예제는 선택한 모델에서 직접 유도했다.

src/lib/learning-dispersion.ts의 gaussianDispersivePacket이 장과 진단량을 계산한다. 독립 Python 생성기는 초기 Fourier 스펙트럼과 실공간 모멘트를 적분하며, TypeScript 검사는 실제 모델을 그 기준값·극한·포락선 방정식과 비교한다. 모델 검사만으로 홈페이지 등록·화면 검토까지 완료했다고 주장하지 않는다.