본문으로 건너뛰기
SuanLab

확률질량·밀도·누적분포

한 점의 확률과 단위 길이당 밀도를 구분하고 CDF의 점프를 읽습니다.

86 / PROBABILITY LAB
먼저 알아두면 좋아요 · 연결된 선수 절의 사건·분포·기대값·선형대수·미분
확률분포와 표본 →
단원 목록 (103) · 확률질량·밀도·누적분포
이해하는 속도로 읽으세요.개념도이론실험확인 문제
BUILD YOUR INTUITION

먼저 그림으로 이해하기

한 번에 한 단계씩 살펴보세요.

한 점의 확률과 단위 길이당 밀도를 구분하고 CDF의 점프를 읽습니다.

X~Uniform[0,0.5]; density endpoints included by convention; plot: CDF

-1410
가로: x · 세로: F(x) · 빈 원: 제외 값 · 채운 원: 점프 뒤 값
query xCDFpoint massdensity
0.250.502

F(x)=P(X≤x) = 0.5

고정 기준 예제의 그림과 수치입니다. 각 단계에서 같은 그림의 의미를 차례로 살펴보세요. 고정된 기준 예제이며 아래 실험의 설정과 독립적입니다.
1 / 4

질량

한 점에 배정된 확률입니다.

P(X=x)

실험에서 확인하기 →
이 단원 목차

확률변수는 결과를 수로 보낸다

확률변수 X는 표본 결과를 수로 보내는 가측 함수입니다. 분포는 그 수가 어떤 집합에 속할 확률을 기록합니다. 이산 분포는 한 점에 양의 확률을 줄 수 있지만, 밀도를 갖는 연속 분포에서는 한 점의 확률은 0입니다. 실습은 성공확률 1/4의 Bernoulli와 [0,w]의 균등분포를 비교합니다. 폭 조절기는 균등 모드에만 적용됩니다.

FX(x)=P(X≤x),pX(x)=P(X=x)for a discrete law.F_X(x)=P(X\le x),\qquad p_X(x)=P(X=x)\quad\text{for a discrete law}.

밀도는 확률 자체가 아니다

균등분포의 밀도는 구간 안에서 1/w입니다. w=0.5이면 밀도는 2로 1보다 큽니다. 단위 길이당 확률이므로 구간 폭을 곱하거나 적분해야 확률이 됩니다. 기준 x=0.25까지 쌓인 면적은 2·0.25=0.5지만 한 점의 확률은 0입니다. 연속 밀도를 우도에 사용할 때도 밀도값이 1보다 크다는 이유로 오류라고 판단하지 마세요.

P(a<X≤b)=∫abfX(t) dt,∫RfX(t) dt=1.P(a<X\le b)=\int_a^bf_X(t)\,dt,\qquad\int_{\mathbb R}f_X(t)\,dt=1.

CDF는 두 경우를 함께 표현한다

누적분포는 단조 비감소·우연속이고 양 끝 극한은 0과 1입니다. Bernoulli에서는 0에서 0.75로, 1에서 1로 점프합니다. 그림의 빈 원은 해당 구간에서 제외되는 끝값, 채운 원은 실제 CDF 값입니다. 점프 크기가 그 점의 질량입니다. 반면 균등분포의 CDF는 지지집합에서 연속적인 직선입니다. 표의 질량과 밀도 열을 구분해서 읽으세요.

P(X=x)=FX(x)−FX(x−).P(X=x)=F_X(x)-F_X(x^-).

미분 공식의 조건

절대연속인 분포에서는 CDF의 도함수가 거의 모든 점에서 밀도입니다. 모든 연속 CDF가 밀도를 갖는 것은 아니며 특이연속 분포도 존재합니다. 혼합 분포는 점프와 연속 부분을 함께 가질 수 있습니다. 실습의 두 예제만으로 모든 분포를 이산 또는 밀도 분포로 양분하지 마세요. 균등 밀도의 경계값은 포함하는 규약을 택했지만 유한 개 점의 값을 바꿔도 적분 확률은 같습니다.

FX(x)=∫−∞xfX(t) dtfor absolutely continuous laws.F_X(x)=\int_{-\infty}^xf_X(t)\,dt\quad\text{for absolutely continuous laws}.

확인 문제와 해설

  1. Uniform[0,0.5]에서 P(X=0.25)는? 0입니다.
  2. Bernoulli(1/4)에서 F(1)−F(1−)는? 0.25입니다.
  3. 지지집합보다 큰 x의 CDF는? 1입니다.

추가 읽기: Pishro-Nik, Introduction to Probability, Statistics, and Random Processes.

CHECK YOUR UNDERSTANDING

설명할 수 있나요?

실험 설정과 무관한 기준 예제를 묻습니다. 답을 고르고 설명을 확인해보세요.

1. 밀도가 2이면 잘못된 확률모형인가요?
2. CDF의 점프 크기가 뜻하는 것은?

선택한 답과 학습 표시는 이 브라우저에 저장됩니다. 다시 풀거나 표시를 해제할 수 있습니다.