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좌표를 바꾸면 배율도 확인해야 합니다
여기서 에너지는 표본 크기 제곱의 합입니다. 수학적 노름이며 자동으로 joule 단위의 물리 에너지가 되는 것은 아닙니다. Parseval 관계는 정규화를 맞추면 Fourier 좌표에서도 같은 노름을 읽을 수 있다는 뜻입니다.
정변환에 배율이 없고 역변환에서 N으로 나누는 관례에서는 다음과 같습니다.
오른쪽을 전개하면 교차항에 Σₖexp(2πik(n−m)/N)이 등장합니다. n=m이면 N이고 그 외에는 0이므로 1/N이 정확히 상쇄됩니다. 확률적 근사나 긴 관측 시간의 극한이 아니라 유한 합의 정확한 항등식입니다.
여덟 표본 cosine으로 검산하기
N=8, 한 주기, DC offset 0이면 시간 에너지는 4입니다. raw DFT의 비영 계수 두 개는 각각 4이므로 raw spectrum 에너지는 16+16=32입니다. 이를 8로 나누어야 4가 됩니다. 배율 없이 합만 비교하면 에너지가 여덟 배 증가했다고 잘못 판단합니다.
unitary 모드에서는 U=X/√N으로 둡니다. 두 계수 크기는 √2이고 제곱합은 바로 4입니다.
정규화가 바뀌어도 입력 에너지는 바뀌지 않습니다. 수치 표는 표시된 spectrum의 raw 에너지, 필요한 제수, 올바르게 정규화한 합을 따로 보여줍니다.
같은 index의 점끼리 같다는 뜻이 아닙니다
파란 stem은 시간 index n의 x[n]²이고 주황 stem은 주파수 bin k의 정규화 에너지 기여입니다. 같은 index 범위에 그리는 것은 표시 편의입니다. 정리는 두 합계를 같게 만들며 점별 값을 같게 만들지 않습니다. 시간 표본 1과 주파수 bin 1은 서로 다른 좌표입니다.
입력은 cos(2πcn/N)+d입니다. 한 완전 주기에서는 cosine의 합이 0이므로 d=1을 더하면 에너지는 N만큼 늘어납니다. N=8이면 4+8=12입니다. 주기 수가 일반적인 분수일 때는 교차항이 0이 아닐 수 있으므로 실제 표본 제곱합으로 계산해야 합니다.
직접 풀기와 연구에서의 사용
c=0, d=−1이면 입력 전체가 0이므로 양쪽 에너지도 0입니다. 이어 c=1.25에서 leakage가 생겨도 Parseval이 유지되는지 확인하세요. 봉우리가 정수 bin에 놓여야만 성립하는 정리가 아닙니다.
AI의 spectral loss는 N의 배율이나 주파수 가중치에 따라 달라집니다. real FFT는 생략한 켤레 bin의 기여도 처리해야 합니다. 영상 공간 손실과 Fourier 공간 손실을 비교하기 전에 변환 관례·평균 또는 합의 reduction·가중치를 모두 적으세요. 비슷한 API라도 최적화 배율이 같다고 보장하지 않습니다.
추가 읽기: Julius O. Smith III, Spectral Audio Signal Processing.
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