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두 측도를 같은 기준으로 비교하기
Q가 P에 절대연속이라는 것은 모든 P-영 사건이 Q에서도 영 사건이라는 뜻입니다. 기호는 Q≪P이며 방향이 중요합니다. 두 확률측도에서 이 조건이 성립하면 비음수 가측함수 w를 통해 Q의 적분을 P의 가중 적분으로 쓸 수 있습니다. 그 함수가 Radon–Nikodym 도함수 dQ/dP입니다. 미분의 이름이 붙지만 기본 의미는 측도 사이의 국소적인 질량 비율입니다.
유한 공간에서는 질량의 비율
기준 P=(1/2,1/2,0,0), Q=(1/4,3/4,0,0)입니다. 첫 두 점의 비율은 1/2과 3/2입니다. 뒤 두 점에는 0/0을 계산하지 않고 표에서 —로 표시합니다. 전체 도함수의 버전을 만들 때는 그 점들에서 0을 선택합니다. P-거의 모든 곳의 유일성만 있으므로 다른 비음수 값을 선택해도 같은 Q를 만듭니다. 선택한 버전의 P 적분은 1입니다.
기대값의 측도 변경
φ(ω)=ω로 두면 기준 Q 기대값은 0.75입니다. P 아래에서 wφ의 기대를 계산해도 0.75입니다. 모든 점이 양의 P 질량을 갖는 모드는 두 계산 모두 1.5를 줍니다. 이 공식은 비음수 함수나 필요한 적분가능성을 만족하는 부호 함수에 적용합니다. 일반 σ-유한 측도에도 적절한 Radon–Nikodym 정리가 있지만, 실습은 유한 확률측도를 사용합니다.
지지집합이 없으면 비율로 복구할 수 없다
실패 모드는 Q가 점 2에 질량 1/4을 주지만 P는 0을 줍니다. P에 대한 어떤 가중 적분도 그 점에 새 질량을 만들 수 없으므로 전체 RN 도함수가 없습니다. 표는 P가 양수인 점의 후보 비율만 보여주고 도함수 적분·변경 기대값은 정의하지 않습니다. 중요도 샘플링에서는 이 지지 조건을 먼저 확인해야 합니다. 조건이 성립하더라도 일반 모형의 추정량 분산이 유한하거나 작다는 보장은 별도로 필요합니다.
확인 문제와 해설
- P-영점의 도함수 값은? 버전에 따라 달라질 수 있습니다.
- 일부 점에서 비율을 계산할 수 있으면 전체 도함수가 있나요? 아니요. 절대연속 조건이 필요합니다.
- 연속 밀도 p,q를 같은 기준으로 쓸 때 비율은? p>0인 곳에서 q/p이며 지지 조건을 확인해야 합니다.
추가 읽기: Durrett, Probability: Theory and Examples; Tao, An Introduction to Measure Theory.
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