국소 Hamiltonian으로 만드는 spin 사슬

1. 작은 자유도를 결합하면 무엇이 어려워지는가

앞 단원에서는 주어진 행렬의 에너지와 변분 상태를 비교했다. 이제 행렬 자체가 어디서 오는지 묻자. 한 spin-1/2는 두 복소 진폭으로 표현되지만, 여러 spin을 결합하면 각 위치의 두 진폭을 따로 나열하는 것만으로는 일반 상태를 나타낼 수 없다. 서로 다른 위치의 관측 결과 사이에 결맞은 상관이 들어갈 수 있기 때문이다. 다체계의 어려움은 작은 부품의 개수보다 가능한 공동 상태의 수에서 시작된다.

방 안의 전등 스위치를 생각하면 비트 문자열의 개수는 쉽게 이해된다. 스위치가 네 개이면 켜짐/꺼짐 배열이16개다. 양자 상태에서는 그 배열 하나를 고르는 데 그치지 않고16개의 배열에 복소 진폭을 부여한다. 이 비유는 기저의 개수를 설명하지만, spin이 실제로 작은 고전 전등이라는 뜻은 아니다. X와 Y 측정은 Z 비트와 다른 기저를 사용하며 상대 위상이 관측에 영향을 준다.

이 장은 공간 → 기저와 국소 연산 → 상호작용 → 에너지·잔차 → 상관·대칭 → 검증 순서로 진행한다. 복소 내적, tensor product, Pauli 행렬과 에너지 분산을 선수 지식으로 사용한다. 계산 예제는 최대 네 spin으로 손계산과 전체 행렬을 대조하지만 이론의 입자 수를 네 개로 제한하지 않는다. 작은 계를 정확히 이해한 뒤 표현을 압축하는 MPS로 넘어갈 것이다.

2. Tensor product와 기저 순서를 먼저 고정한다

위치 i의 공간을 H_i=C²라 하고 Z의 고유상태를 |0〉,|1〉로 정하자. 여기서0/1은 각각 Z 고유값+1/−1을 뜻한다. 전체 공간은 국소 공간의 tensor product다. 서로 다른 위치의 상태를 결합한 곱 상태는 전체 상태의 특별한 경우다.

$$\mathcal H=\bigotimes_{i=0}^{n-1}\mathbb C^2,\qquad \dim\mathcal H=2^n,\qquad |b_0\cdots b_{n-1}\rangle=|b_0\rangle\otimes\cdots\otimes|b_{n-1}\rangle.$$

이 장에서는 b₀를 최상위 비트로 사용한다. 두 spin의 좌표 순서는 |00〉,|01〉,|10〉,|11〉이다. 세 spin에서 |101〉은 정수 색인5에 놓인다. 어떤 라이브러리는 반대 endian 순서를 사용하므로, 계산 결과를 비교하기 전에 같은 상태 이름이 같은 좌표를 가리키는지 확인해야 한다. 기저 순서를 바꾸는 것은 가능하지만 상태와 모든 연산자를 함께 바꿔야 한다.

일반 상태의 진폭 수는2ⁿ이지만, 곱 상태는 각 위치의 두 진폭으로 생성할 수 있다. 예를 들어 (a|0〉+b|1〉)⊗(c|0〉+d|1〉)의 네 진폭은 ac,ad,bc,bd다. 임의의 네 복소수는 항상 이런 곱으로 분해되지 않는다. 두-site 계수 행렬의 rank가1인지 살피면 이 차이가 보인다. 뒤의 Schmidt 단원은 이 관찰을 모든 cut에 일반화한다.

3. 국소 연산자를 전체 공간에 놓는다

위치 i에서만 X를 작용시키려면 나머지 위치에는 identity를 둔다. 아래첨자는 연산자가 놓인 물리 위치이며 행렬 원소의 색인이 아니다. 예를 들어 두 spin에서 X₀=X⊗I, X₁=I⊗X다. 서로 다른 위치의 연산자는 교환하지만 같은 위치의 X와 Z는 교환하지 않는다.

$$X=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad Y=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix},\quad Z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},\qquad \sigma_i^a=I^{\otimes i}\otimes\sigma^a\otimes I^{\otimes(n-i-1)}.$$

X는 해당 비트를 뒤집는다. Z는 비트1에−1의 위상을 곱한다. Y는 뒤집기와 위상을 함께 수행한다. 특히 Y|0〉=i|1〉, Y|1〉=−i|0〉이다. 이 두 부호를 모두 확인해야 복소 상태의 관측 방향이 맞는다. 행렬 곱에서는 오른쪽 연산자가 먼저 작용한다.

입력 기저	X₀의 출력	Y₁의 출력	Z₀Z₁의 출력
|00〉	|10〉	i|01〉	|00〉
|01〉	|11〉	−i|00〉	−|01〉
|10〉	|00〉	i|11〉	−|10〉
|11〉	|01〉	−i|10〉	|11〉

이 표의 각 열이 큰 행렬의 한 작용 규칙을 설명한다. 두 위치의 Pauli 곱은 각 기저 벡터를 다른 하나의 기저 벡터로 옮기고1,−1,i,−i 중 하나를 곱한다. 모든2ⁿ×2ⁿ 원소를 저장하기 전에 이 희소한 작용을 사용할 수 있다. 다만 전체 상태의2ⁿ개 진폭을 모두 출력하는 비용까지 없어진 것은 아니다.

물리적 각운동량은 S^a=ℏσ^a/2다. 따라서 J_S S₀·S₁와 J_σ(X₀X₁+Y₀Y₁+Z₀Z₁)는 J_σ=J_Sℏ²/4일 때 같은 Hamiltonian이다. σ의 고유값±1을 S_z의 고유값±ℏ/2와 섞으면 에너지에서4배의 차이가 생긴다. 이 장의 Hamiltonian 계수는 Pauli convention의 에너지 단위다.

4. 그래프와 물리 결합은 같은 정보가 아니다

국소 field와 두 위치의 상호작용을 결합하면 다음 유한 Hamiltonian을 얻는다. c는 에너지 원점, h는 국소 field 계수, J는 결합 계수다. 모든 계수는 실수이며 에너지 단위를 갖는다. a,b는 X,Y,Z 중 하나다.

$$H=cI+\sum_{i,a}h_i^a\sigma_i^a+ \sum_{(i,j)\in E}\sum_{a,b\in\{X,Y,Z\}}J_{ij}^{ab}\sigma_i^a\sigma_j^b.$$

E는 중복 없는 무방향 위치 쌍의 집합이며 각 쌍을 i<j로 적는다. 쌍이 무방향이라는 사실이 XᵢYⱼ와 YᵢXⱼ를 같은 항으로 만들지는 않는다. 축은 각각 어느 위치에 놓이는지 정해져 있다. 서로 다른 위치의 Pauli 연산자가 교환하므로 모든 아홉 축 조합은 실수 계수에서 Hermitian이다. 이는 일반적인2-body 모형이지 가능한 모든 many-body 행렬을 뜻하지 않는다.

네 위치를 줄 위에 그렸다고 하자. 열린 사슬의 변은01·12·23이고, 고리는03을 추가한다. 사용자 지정 그래프는02처럼 줄에서 떨어진 위치도 연결할 수 있다. 그래프는 허용되는 항을 정하며, 계수가0이면 그 변의 실제 상호작용은 없다. 반대로 현재 상태에서 상관이 나타나는 쌍이 반드시 직접 결합된 쌍일 필요도 없다.

두 위치의 고리는 이 장의 규칙에서 변01 하나다. 어떤 식의 주기 합은 두 위치에서01과10을 각각 세어 같은 결합을 두 번 더한다. 그런 convention을 쓰려면 계수를 합한 사실을 명시해야 한다. 동일한 J를 입력하고 서로 다른 에너지를 얻었을 때 먼저 확인할 것은 물리 법칙보다 변의 중복과 계수 정의다.

5. 두-spin Ising 모형을 행렬로 읽는다

가장 간단한 상호작용 H=−JZ₀Z₁에서 J>0이라 하자. 같은 방향의 Z 비트가 낮은 에너지를 갖는 강자성 부호다. Z가 대각이므로 계산 기저 자체가 에너지 고유기저가 된다.

$$H=-JZ_0Z_1=\operatorname{diag}(-J,J,J,-J),\qquad \mathcal G=\operatorname{span}\{|00\rangle,|11\rangle\},\qquad \Delta=2J.$$

기저 상태	Z₀Z₁	에너지	속하는 공간
|00〉	+1	−J	바닥 공간
|01〉	−1	+J	들뜬 공간
|10〉	−1	+J	들뜬 공간
|11〉	+1	−J	바닥 공간

바닥 공간이2차원이므로 |00〉만을 정답이라고 해서는 안 된다. |11〉과 두 벡터의 어떤 정규화 중첩도 바닥 상태다. gap은 다음 서로 다른 에너지까지의 차이2J다. 축퇴한 두 바닥 벡터 사이의 에너지 차이0을 여기서의 gap으로 사용하지 않는다.

J의 부호를 뒤집으면 반대 방향이 유리해진다. 상수 cI를 더하면 모든 에너지가 c만큼 이동하지만 고유공간과 gap은 같다. H=0처럼 모든 에너지가 같으면 전체 공간이 바닥 공간이고 다음 서로 다른 준위는 없다. 이때 양의 gap 공식을 억지로 적용하지 않는다.

6. 비대각 결합은 확률만으로 계산할 수 없다

이번에는 H=J(X₀X₁+Y₀Y₁)를 보자. X₀X₁은 두 비트를 뒤집는다. Y₀Y₁도 뒤집지만 입력에 따라 상대 부호가 달라진다. |00〉와 |11〉에 대한 두 작용은 상쇄되고, |01〉와 |10〉 사이에서는 더해진다.

$$(X_0X_1+Y_0Y_1)|01\rangle=2|10\rangle,\qquad (X_0X_1+Y_0Y_1)|00\rangle=0,\qquad E_{\psi_\pm}=\pm2J,\quad |\psi_\pm\rangle=\frac{|01\rangle\pm|10\rangle}{\sqrt2}.$$

두 상태의 Z 기저 확률은 같지만 에너지는 다르다. 비대각 Hamiltonian이 상대 위상과 부호를 읽기 때문이다. 평균 에너지를 계산할 때 진폭을 확률로 바꾸고 위상을 버리면 이 차이를 재현할 수 없다. 대각 Ising 예제에서 확률만으로 충분했던 것은 그 Hamiltonian의 특별한 성질이다.

Heisenberg 결합 H=J(X₀X₁+Y₀Y₁+Z₀Z₁)에서는 반대칭 singlet ψ₋의 에너지가−3J, 세 triplet의 에너지가+J다. 직접4×4 행렬로도 풀 수 있고 전체 spin의 제곱을 이용할 수도 있다. 각운동량의 Pauli/ℏ convention을 확인한 후 비교해야 한다. 이 해석적 작은 예제의 스펙트럼을 안다는 사실이 일반 비대각 사슬의 바닥 해를 계산했다는 뜻은 아니다.

7. 평균 에너지와 분산은 서로 다른 질문에 답한다

비영 원시 벡터 z를 사용하면 같은 물리 상태를 편한 정수 좌표로 유지할 수 있다. 먼저 N을 계산하고 모든 기대값을 그 값으로 나눈다. 에너지를 단순한 z†Hz로 쓰면 상태 대표의 크기에 따라 답이 달라진다.

$$N=z^\dagger z>0,\qquad E=\frac{z^\dagger Hz}{N},\qquad r=(H-E)z,\qquad \operatorname{Var}(H)=\frac{\|r\|^2}{N} =\frac{z^\dagger H^2z}{N}-E^2.$$

E는 에너지 단위, 분산은 에너지 제곱 단위다. 잔차가0이면 z는 고유상태지만 그것이 바닥 고유상태인지 알려면 다른 에너지에 대한 정보가 더 필요하다. 두-spin Ising의 |01〉은 정확한 들뜬 고유상태여서 분산0이지만 바닥 확률은0이다. 영분산을 최적화 성공과 동일시하는 오류를 경계하자.

항별 기대값을 더하면 E가 되고, r의 제곱 노름과 이차 모멘트로 구한 분산이 일치해야 한다. z†r=0도 확인할 수 있다. 이런 독립 계정은 예쁜 에너지 숫자 하나보다 강한 점검이다. 아주 작은 양의 분산도0으로 반올림해 분류하지 않는다. 에너지 원점 이동은 분산을 바꾸지 않고 H를 실수 b배 하면 분산은 b²배가 된다.

8. GHZ와 횡장은 평균에 안 보이는 작용을 드러낸다

네 spin의 GHZ 상태는 모든 비트가0인 배열과 모두1인 배열의 결맞은 중첩이다. 열린 강자성 Ising 사슬에 횡장 X를 더하자. 아래 식에서는 J=1과 횡장 계수1/2를 에너지 단위로 선택했다.

$$|g\rangle=\frac{|0000\rangle+|1111\rangle}{\sqrt2},\qquad H=-Z_0Z_1-Z_1Z_2-Z_2Z_3-\frac12\sum_{i=0}^3X_i.$$

각 ZZ 항은 g에−1을 곱한다. Xᵢ는 한 비트만 뒤집어 GHZ가 놓인 두 기저 방향 밖으로 보낸다. 그러므로 각 X의 평균은0이고 전체 평균 에너지는−3이다. 평균만 보면 횡장이 없는 것처럼 보이지만, 실제 H의 작용에는 다른 방향이 생겼다.

$$H|g\rangle=-3|g\rangle-\frac12\sum_iX_i|g\rangle,\qquad \langle H\rangle=-3,\qquad \operatorname{Var}(H)=1.$$

네 벡터 Xᵢg는 서로 직교하고 각각 노름1이므로 잔차 제곱은4×(1/2)²=1이다. g는 이 횡장 Hamiltonian의 고유상태가 아니다. 횡장 계수를0으로 되돌리면 분산은0이고, 대각 사슬의 바닥 공간에 속한다. 같은 준비 상태가 어떤 Hamiltonian에서는 바닥 상태이고 다른 Hamiltonian에서는 고유상태조차 아닐 수 있다.

이 계산은 주어진 상태에 대한 한 번의 작용이다. 횡장을 입력했다고 시간이 흐르거나 상태가 자동으로 변한 것은 아니다. 실제 시간 진화에는 U(t)=exp(−iHt/ℏ)와 시간·단위가 필요하다. 그래프나 field를 바꾸는 조작과 물리적 시간의 흐름을 구별해야 한다.

9. 국소 혼합성과 연결 상관을 해석한다

전체가 순수한 상태여도 한 위치만 관측하면 나머지 자유도를 trace해야 한다. 국소 density는2×2 Hermitian 행렬이며 Bloch 좌표로 표현할 수 있다. GHZ에서는 각 위치의0/1 확률이1/2이고 다른 위치를 지운 뒤에는 그 사이 coherence가 남지 않는다.

$$\rho_i=\frac12\left(I+x_iX+y_iY+z_iZ\right),\qquad (\rho_i)_{01}=\frac{x_i-iy_i}{2},\qquad \operatorname{Tr}\rho_i^2=\frac{1+x_i^2+y_i^2+z_i^2}{2}.$$

따라서 GHZ의 모든 국소 Bloch 벡터는0이고 purity는1/2다. 반대로 전체가 곱 상태이면 각 국소 상태는 순수하다. 전체 상태가 순수하다는 전제 아래 국소 혼합성은 그 위치와 나머지 사이의 얽힘을 드러낸다. 전체가 혼합 상태일 때는 국소 purity만으로 같은 결론을 내릴 수 없다.

두 위치의 연결 상관은 각각의 평균으로 설명되지 않는 공동 관측 부분이다. 직접 결합이 없는 쌍도 계산할 수 있다.

$$C_{ij}^{ab}=\langle\sigma_i^a\sigma_j^b\rangle -\langle\sigma_i^a\rangle\langle\sigma_j^b\rangle,\qquad i\ne j.$$

GHZ에서 Zᵢ 평균은0, ZᵢZⱼ 평균은1이므로 연결 ZZ는1이다. 그러나 |0000〉와 |1111〉를 각각 확률1/2로 섞은 고전적 혼합 상태도 같은 Z 통계를 갖는다. 두 상태는 전체 X₀X₁X₂X₃ 기대가 각각1과0이라 구별된다. 연결 ZZ 하나를 얽힘의 양이나 인과 방향으로 해석해서는 안 된다. 반대로 H에 상호작용이 있다는 이유만으로 현재 입력한 곱 상태가 자동으로 얽힌 것도 아니다.

10. 보존 법칙과 현재 상태의 sharpness를 구별한다

관측량 A가 시간에 명시적으로 의존하지 않을 때 [H,A]=0이면 닫힌 계의 Hamiltonian 진화에서 기대값이 모든 상태에 대해 보존된다. 현재 상태에서 Var(A)=0이라는 말은 한 시점에 측정 결과가 확정된다는 뜻이다. 이 두 사실은 서로를 대신하지 못한다.

$$M=\sum_iZ_i,\qquad P=\prod_iZ_i,\qquad [H,A]=0\quad\not\Longleftrightarrow\quad \operatorname{Var}_\psi(A)=0.$$

Hamiltonian / 준비 상태	전체 M의 보존	현재 M가 확정적인가
X₀ / |00〉	아니오	예, M=2
X₀X₁+Y₀Y₁ / |00〉	예	예, M=2
Z₀Z₁ / (|00〉+|11〉)/sqrt(2)	예	아니오, 값±2

X₀X₁ 하나는 M와 교환하지 않지만 YY 항과의 합에서는 비보존 부분이 상쇄된다. 실제로 [M,XX]=2i(YX+XY), [M,YY]=−2i(YX+XY)다. 개별 항의 보존 flag를 단순히 합쳐 전체 H의 보존 여부를 정하면 이런 상쇄를 놓친다. 전체 교환자를 직접 계산해야 한다.

XX는 두 Z 비트를 동시에 뒤집으므로 P와는 교환한다. X₀는 한 비트만 뒤집어 P와도 교환하지 않는다. 횡장 Ising 사슬에서는 모든 spin을 X로 뒤집는 Q=∏Xᵢ가 보존된다. ZZ의 두 Z가 함께 부호를 바꾸고 X field는 Q와 교환하기 때문이다. 이 Q는 여기서 검사한 P=∏Zᵢ와 다르다. M와 P가 보존되지 않는다고 대칭이 전혀 없다고 결론내려서는 안 된다.

여기의 spin Z parity는 fermion 통계나 superselection 가정 자체가 아니다. 다음 Fock 단원은 그 연결에 필요한 추가 구조를 설명한다.

11. 삼각형의 좌절은 서로 양립하지 않는 요구다

세 위치의 반강자성 Ising 삼각형 H=Z₀Z₁+Z₁Z₂+Z₀Z₂를 보자. 각 변은 반대 비트일 때 에너지−1을 원한다. 0과1을 교대로 배치해 세 변 모두를 만족시키려 해도 마지막 변이 남는다. 이것이 이 작은 고전 대각 예제에서의 좌절이다.

$$H_\triangle=Z_0Z_1+Z_1Z_2+Z_0Z_2,\qquad E=-1\ \text{with multiplicity }6,\qquad E=3\ \text{with multiplicity }2.$$

모두 같은 두 배열000·111은 세 변에서+1을 받아 에너지3이다. 나머지 여섯 배열은 두 변에서−1, 한 변에서+1이므로−1이다. 개별 항의 최솟값을 더한−3은 전체에서 달성되지 않는다. 국소적으로 선호하는 조건을 나열하는 것과 그것들이 공동으로 가능한지 확인하는 것은 다르다.

이 예제는 그래프 제약·조합 최적화와 연결되는 직관을 준다. 하지만 네 이하 spin의 열거만으로 큰 최적화 문제의 복잡도나 양자 알고리즘의 우위를 증명하지는 않는다. 비가환 항을 넣은 양자 좌절에는 단순 비트 만족 문제를 넘어선 논점도 생긴다. 먼저 이 대각 삼각형을 정확히 이해하고 더 넓은 주장을 구별하자.

12. 스펙트럼 인증과 계산 범위를 확인한다

대각 Hamiltonian이면 모든 계산 기저 에너지를 열거해 축퇴한 같은 에너지를 묶을 수 있다. 이때 바닥 공간 확률은 바닥 기저 전체의 확률 합이다. 알려진 양의 gap은 평균 에너지의 초과분을 바닥 공간 밖 확률의 상한으로 바꾼다.

$$p_0=\langle\psi|\Pi_0|\psi\rangle,\qquad 1-p_0\le\frac{E-E_0}{\Delta},\qquad \Delta>0.$$

비율이1을 넘으면 확률 상한으로는1을 사용할 수 있지만 원래 비율도 남겨야 정보의 의미를 알 수 있다. 상수 H는 gap이 없고 모든 상태가 바닥 공간에 속한다. 일반 비대각 H에서는 이 작은 실험이 스펙트럼을 계산하지 않으므로 바닥 판정은 알 수 없음이다. false와 구별한다. XX+YY나 singlet의 손계산은 원리의 예이지 모든 비대각 입력의 solver를 제공한다는 주장이 아니다.

실험은1…4 site, 국소 XYZ와 두-site의 모든 아홉 축, 열린 사슬·중복 없는 고리·사용자 지정 쌍을 다룬다. 일반3-body 항·무한 계·바닥 최적화·시간 진화를 대신하지 않는다. 영 입력은 상태가 아니므로 거부하며 복소 진폭과 작은 양의 분산을 유지한다. 정확 유리수와 정규화 성분의 구간을 표시용 점 좌표와 구별하면, 그림이 매끄럽다는 이유만으로 계산의 유효성을 판단하는 실수를 피할 수 있다.

AI 연구에서는 상태 가족의 표현력, 최적화 성능, 물리 관측의 정확성을 따로 평가해야 한다. 신경망 상태가 낮은 에너지를 얻었다면 어떤 H·그래프·단위에서, 어떤 비교 하한과 분산·상관·크기 분석을 사용했는지 제시하자. symmetry를 구조에 넣는 것과 한 상태의 측정값이 확정적인 것은 다르다. 다음 MPS 내용은 같은 물리 상태를 더 작은 tensor로 표현할 수 있는 조건과 표현 좌표의 자유도를 설명한다.

13. 예측하고 풀어 보는 여섯 문제

1. 기저와 위상. 두 spin의 원시 상태 z=|00〉+i|01〉에 X₀를 작용시켜라. 정규화 뒤 두 번째 spin의 Y 평균은 얼마인가?

해설. X₀z=|10〉+i|11〉이다. 원래 상태의 N=2이고 첫 spin은 |0〉, 두 번째는 (|0〉+i|1〉)/sqrt(2)다. 두 번째 density의01 원소는−i/2이므로 Y=+1이다. 전체 위상을 지우는 것과 상대 위상 i를 지우는 것은 다르다.

2. 원시 정규화. H=−Z₀Z₁, z=2|00〉+2i|01〉의 N·E·Var(H)·바닥 공간 확률을 계산하라.

해설. N=8이다. 두 점유 확률은 각각1/2이고 에너지는−1,+1이므로 E=0이다. H²=I여서 분산은1이다. 바닥 공간은00·11이므로 그 확률은1/2이다. 정규화하지 않은 분자를 그대로 평균이라고 쓰면 상태 대표의 크기에 의존하는 잘못된 답이 나온다.

3. 횡장 GHZ. 8절에서−(1/2)ΣXᵢ를−hΣXᵢ로 바꾸면 평균과 분산은 어떻게 되는가? h=0과 h≠0을 구별하라.

해설. X 평균이0이므로 E=−3이다. 서로 직교한 네 Xᵢg 상태의 각 잔차 계수가−h이므로 분산은4h²다. h=0에서는 원래 GHZ가 대각 사슬의 바닥 고유상태다. h≠0에서는 분산이 양수여서 고유상태가 아니다. h는 횡장의 에너지 계수다.

4. 항의 합과 보존. 두 spin에서 XX, YY, XX+YY 중 어떤 것이 M=Z₀+Z₁와 교환하는가? 현재 |00〉의 M 분산이0이라는 사실만으로 답할 수 있는가?

해설. XX와 YY의 교환자는 각각2i(YX+XY),−2i(YX+XY)로 비영이다. 합에서는 상쇄되어0이다. |00〉가 M 고유상태인 사실은 준비 상태에 대한 설명이며, 전체 공간의 연산자 교환자를 결정하지 못한다.

5. 좌절과 축퇴. 삼각형의 바닥 에너지·축퇴도·gap을 구하라. 세 변의 최솟값을 더한−3이 실제 바닥값이 아닌 이유도 설명하라.

해설. 세 비트를 모두 반대로 이웃하게 만들 수 없어 적어도 한 변은+1이다. 나머지 여섯 배열의 에너지는−1, 모두 같은 두 배열은3이다. 따라서 바닥 에너지는−1, 축퇴도6, 다음 다른 에너지까지 gap은4다. 항별 최적 조건들이 공동으로 양립하지 않는다.

6. 상관만으로 얽힘을 말할 수 있는가? 순수 GHZ와00…0·11…1의 균등 혼합에서 연결 ZZ와 전체 X 곱을 비교하라. 실험이 순수 입력만 받는다면 혼합 상태 비교를 어떻게 해석해야 하는가?

해설. 둘 다 국소 Z 평균0·공동 ZZ=1이므로 연결 ZZ=1이다. 전체 X 곱은 순수 GHZ의 두 진폭을 교환해 기대1을 주지만, 혼합 상태의 대각 성분에서는0이다. 따라서 ZZ만으로 두 상태나 얽힘을 판정하지 못한다. 혼합 상태는 여기서 분석적으로 비교한 별도 모형이지 순수 상태 계산기에 다른 진폭으로 넣은 상태가 아니다.

14. 설명할 수 있어야 다음 표현으로 넘어갈 수 있다

계산 후에는 기저 순서·Pauli/물리 spin 계수·그래프의 변과 실제 비영 결합을 먼저 말해 보자. 이어 현재 상태의 평균 에너지·분산·국소 purity·연결 상관과 H의 보존량을 구별해 설명하자. 일반 비대각 입력에서 계산하지 않은 바닥 에너지나 gap을 결론에 넣지 않는 것도 이해의 일부다.

큰 상태 공간을 다루는 다음 선택은 서로 다른 의미를 갖는다. 동일 입자의 통계는 Fock 연산자와 부호 구조를 요구한다. 표현의 압축은 MPS와 Schmidt 가중치의 분포를 요구한다. 새로운 AI 연구에서는 물리 모형, 상태 표현, 수치 알고리즘과 검증 근거를 함께 설계해야 한다. 지금의 작은 사슬은 이 구별을 손으로 확인할 수 있는 출발점이며 전체 다체 연구의 완료를 뜻하지 않는다.

추가 학습에는 MIT 8.05의 tensor product·각운동량 강의와 Sandvik의 quantum spin 계산 강의를 참고하자. 큰 계의 exact diagonalization·Monte Carlo·유한 크기 scaling은 각각 가정과 추가 검증이 필요한 다음 연구 주제다.