Ergodicity·Mixing·시간 평균

세 명제를 하나로 줄이지 않는다

정상 법칙은 전이에 대해 불변입니다. Mixing은 주변 분포가 불변 법칙으로 수렴하는 성질입니다. Ergodic 시간 평균은 궤적을 따라 평균하는 성질입니다. 관련은 있어도 한 단어로 합치면 중요한 경계 사례를 놓칩니다.

두 상태 chain에서 파랑은 실제 state1 주변 확률, 주황은 유일할 때의 정상 확률입니다. 표본 평균·그 정확한 기대값·유한 창 분산은 별도로 표시합니다.

두 번째 고유값과 주변 감쇠

a+b>0이면 pi1=a/(a+b)이고 다음입니다.

두 번째 고유값 절댓값이 1보다 작으면 이 모형의 분포가 수렴합니다. Reducible chain도 유일한 attracting closed class를 가질 수 있어 기약성과 이 수렴 flag는 같지 않습니다. a=b=0이면 모든 초기 법칙이 정상이라 유일성이 없습니다.

주기적 반례도 시간 평균은 좋을 수 있다

a=b=1에서는 결정론적으로 교대하여 고정 초기 상태의 주변 분포는 mixing하지 않습니다. 그러나 짝수 길이 창의 평균은 정확히 1/2입니다. 기약·주기 chain도 시간 평균 법칙을 가질 수 있으므로 ergodicity 용어의 관례를 명시하세요.

a=b=0에서는 한 경로가 처음 선택한 상태에 영원히 남습니다. 시간 평균은 0 또는 1이지 p0 자체가 아닙니다. 실현 간 분산은 창 길이와 무관하게 p0(1-p0)입니다.

상쇄 없이 유한 창 분산 계산

조건부 기대가 기울기 lambda=1-a-b의 affine 식입니다. Centered 전이는 martingale innovation을 주며 조건부 분산은 현재 상태로 결정됩니다. 평균을 초기 centered 상태와 직교 innovation으로 전개하면 다음처럼 비음수 합입니다.

가중치는 유한 등비 합을 표본 수로 나눈 것입니다. 주기 경계에서 가까운 이차 moment를 빼는 상쇄를 피합니다. Burn-in이 모든 관측을 없애면 평균·분산을 0으로 만들지 않고 비워 둡니다.

직접 풀기: 두 수렴 실패 비교

a=b=1,p0=1,index0..19의 평균·분산은 1/2와 0이지만 마지막 주변 분포는 pi와 다릅니다. a=b=0,p0=0.3에서는 모든 비어 있지 않은 창의 평균 분산이 0.21입니다. 얼어 있는 한 궤적을 더 길게 보아도 초기 class 불확실성이 사라지지 않는 이유를 설명하세요.

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