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SuanLab

정보에 대한 조건부기대

관측 정보의 원자별 평균으로 조건부기대를 구성합니다.

99 / MEASURE THEORY LAB
먼저 알아두면 좋아요 · 연결된 선수 절의 사건·함수·적분·극한·기대값
확률측도·푸시포워드와 기대값 →조건부확률·독립성과 Bayes →
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먼저 그림으로 이해하기

한 번에 한 단계씩 살펴보세요.

관측 정보의 원자별 평균으로 조건부기대를 구성합니다.

X=(0,2,1,3); G atoms={0,1} {2,3}; chosen conditional version is 0 on null atoms

033.150
가로: 표본점 · 파랑: X · 주황: 선택한 E[X|G] 버전
ωP({ω})G atomXE[X|G] chosen
00.1001.333
10.2021.333
20.3112.143
30.4132.143

E[X] = 1.9

고정 기준 예제의 그림과 수치입니다. 각 단계에서 같은 그림의 의미를 차례로 살펴보세요. 고정된 기준 예제이며 아래 실험의 설정과 독립적입니다.
1 / 4

정보

정보 안에서 일정한 함수를 찾습니다.

G atoms={0,1},{2,3}

실험에서 확인하기 →
이 단원 목차

조건 사건 대신 정보 전체에 조건 걸기

조건부기대 E[X|G]는 관측 정보 G로 표현할 수 있는 확률변수입니다. 하나의 숫자가 아니라 표본점마다 값을 갖습니다. 적분가능한 X와 부분 σ-대수 G를 가정합니다. 정의는 G-가측성과 모든 G 사건에서의 적분 보존입니다. 관측하지 못하는 원자 내부를 구분하는 값을 내면 정보 G만 사용하는 예측이 아닙니다.

Y=E[X∣G]:Y is G-measurable,∫AY dP=∫AX dP ∀A∈G.Y=E[X\mid\mathcal G]:\quad Y\text{ is }\mathcal G\text{-measurable},\quad\int_A Y\,dP=\int_A X\,dP\ \forall A\in\mathcal G.

유한 원자에서 직접 구성하기

기준 X=(0,2,1,3), P=(0.1,0.2,0.3,0.4)이고 정보 원자는 {0,1}, {2,3}입니다. 각 원자 안에서는 상수여야 하므로 원자의 가중평균을 택합니다. 첫 값은 (0·0.1+2·0.2)/0.3=4/3이고 둘째는 (1·0.3+3·0.4)/0.7=15/7입니다. 각 원자에서 적분이 보존되므로 그 합집합인 모든 G 사건에서도 보존됩니다.

Y(ω)=∑i∈ApiXiP(A)(ω∈A, P(A)>0).Y(\omega)=\frac{\sum_{i\in A}p_iX_i}{P(A)}\quad(\omega\in A,\ P(A)>0).

기대의 tower와 정보 해상도

전체 공간을 사건으로 넣으면 E[E[X|G]]=E[X]=1.9입니다. 모든 정보를 주면 조건부기대는 원래 X가 되고, 자명한 정보만 주면 전체 평균이라는 상수가 됩니다. 더 작은 정보 H가 G 안에 포함되면 G로 평균낸 뒤 H로 다시 평균낸 결과는 처음부터 H로 평균낸 것과 같습니다. 일반 공간의 존재 정리는 Radon–Nikodym 정리로 연결되며 유일성은 거의 확실한 의미입니다.

H⊆G  ⟹  E[E[X∣G]∣H]=E[X∣H].\mathcal H\subseteq\mathcal G\implies E[E[X\mid\mathcal G]\mid\mathcal H]=E[X\mid\mathcal H].

영 원자와 최소제곱 해석

원자의 확률이 0이면 비율은 정의되지 않지만 그 원자 위 어떤 상수 버전을 택해도 적분 보존에는 영향이 없습니다. 실습은 명시적으로 0을 택합니다. 이것이 영 사건의 초등 조건부확률을 0으로 정의한다는 뜻은 아닙니다. X가 L2이면 조건부기대는 G로 예측할 수 있는 변수들 중 제곱오차를 최소화합니다. 가중 잔차가 모든 원자에서 적분 0이 되는 직교성을 확인하면 이 해석을 볼 수 있습니다.

E[(X−Z)2]=E[(X−Y)2]+E[(Y−Z)2](Y=E[X∣G], Z∈L2(G)).E[(X-Z)^2]=E[(X-Y)^2]+E[(Y-Z)^2]\quad(Y=E[X\mid\mathcal G],\ Z\in L^2(\mathcal G)).

확인 문제와 해설

  1. 전체 평균은 보존되나요? 예. G에 Ω가 포함됩니다.
  2. 영 원자의 선택값은 유일한가요? 아니요. 조건부기대의 버전은 영집합에서 달라도 됩니다.
  3. 정보가 늘면 최적 제곱오차가 증가하나요? 아니요. 이전 예측도 새 정보에서 허용됩니다.

추가 읽기: Durrett, Probability: Theory and Examples; Tao, An Introduction to Measure Theory.

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설명할 수 있나요?

실험 설정과 무관한 기준 예제를 묻습니다. 답을 고르고 설명을 확인해보세요.

1. 조건부기대의 유일성은?
2. tower 성질에서 필요한 정보 관계는?

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