Gaussian 빔 집속과 광선·파동의 한계

폭이 없는 초점 대신 유한한 장을 따라가기

기하광학의 광선 묶음은 한 점에서 교차할 수 있습니다. 그러나 실제 빔에는 횡방향 장 분포와 유한한 파장이 있습니다. 전파를 예측하려면 분포의 각 부분에서 온 기여가 어떻게 간섭하는지 계산해야 합니다. 얇은 렌즈는 위상을 바꾸어 빛을 모으지만, 일반적으로 폭이 0인 점을 만들거나 최소 폭의 위치를 광선 초점과 정확히 같게 만들지는 않습니다.

이 단원에서는 축대칭 Gaussian 장을 자유 공간, 이상적 얇은 렌즈, 다시 자유 공간으로 전파합니다. 해석적으로 계산한 결과를 실제 Fresnel 적분과 대조하고 앞 단원의 광선 행렬과 연결합니다. 기하학적 모델에서 AI를 위한 미분 가능한 파동 시뮬레이션으로 넘어가는 구체적 예제입니다.

가정은 하나의 균일한 매질에서 전파하는 이상적 결맞은 스칼라 빔입니다. Gaussian은 횡방향 무한 공간에 걸쳐 있지만 제곱장의 전체 적분은 유한합니다. 실제 유한 동공이 빔을 자르면 답이 바뀔 수 있습니다. 현재 식에 개구·수차·편광 벡터 보정·교정된 검출기를 암묵적으로 포함했다고 보지 않습니다.

장·반송파·차원을 먼저 선언하기

전파 관례는 $\exp[i(kz-\omega t)]$이며 $k=2\pi/\lambda$입니다. $\lambda$는 배경 매질 안의 파장입니다. 입력 허리에서의 복소 포락선은

$$U_0(x,y)=A_0\exp\left[-\frac{x^2+y^2}{w_0^2}\right], \qquad r^2=x^2+y^2$$

로 둡니다. $A_0\geq0$은 상대 장 진폭입니다. $w_0$는 진폭이 중심값의 $1/e$, 강도가 중심값의 $1/e^2$가 되는 반경입니다. 강도 반치 반경·지름·일차원 표준편차와는 다릅니다. 실제 측정값과 비교할 때 이 관례 차이를 먼저 환산해야 합니다.

횡방향은 두 차원입니다. 그림에서 축을 지나는 선 하나만 그리더라도 그 선적분이 전체 이차원 빔 적분이 되지는 않습니다. 일차원 Gaussian의 전파 계수와 이차원 계수는 지수와 Gouy 위상도 다릅니다. 보기 좋은 단면 그림에 맞춰 모델 차원을 바꾸면 정규화가 틀릴 수 있습니다.

보존할 적분량의 단위 확인하기

상대 강도는 $|U|^2$입니다. 입력의 전체 적분은

$$\mathcal N=\int_{\mathbb R^2}|U_0|^2\,dx\,dy =2\pi A_0^2\int_0^\infty r e^{-2r^2/w_0^2}\,dr =\frac{\pi A_0^2w_0^2}{2}$$

입니다. 상대 장을 무차원으로 두고 좌표를 m로 쓰면 단위는 m²입니다. 이를 바로 W 단위의 광학 전력이라고 부르면 안 됩니다. 실제 전기장 위상자로부터 복사조도를 계산하려면 매질 임피던스·장 교정·실수장의 주기 평균 계수가 필요합니다. 여기서는 그 교정을 만들어내지 않고 제곱장 적분을 보존합니다.

양의 강도를 가진 Gaussian에서 반경 $R$ 안의 정규화 비율은 $1-\exp(-2R^2/w^2)$입니다. $R=w$이면 약 0.864665입니다. 진폭이 0이면 분자·분모가 모두 0이므로 이 조건부 비율은 미정입니다. 기준 모드의 폭은 여전히 계산할 수 있지만, 그것이 실제로 빔이 존재한다는 뜻은 아닙니다.

Fresnel 적분으로 실제 전파를 검산하기

반송파를 분리한 상태에서 $z>0$의 근축 전파는

$$U_z(x,y)=\frac1{i\lambda z}\iint U_0(\xi,\eta) \exp\left[\frac{ik}{2z}\big((x-\xi)^2+(y-\eta)^2\big)\right]d\xi\,d\eta$$

입니다. 양의 이차 위상은 앞에서 정한 반송파 관례와 연결됩니다. $z=0$에서는 적분식의 분모에 0을 넣지 말고 항등 변환을 사용합니다. 전체 단색장은 추가로 $\exp(ikz)$를 포함하지만 여기서는 종방향 반송파와 포락선을 구분합니다.

분리 가능한 Gaussian에서는 두 일차원 Fresnel 적분의 곱이 이차원 장을 만듭니다. 따라서 제품의 해석 전파 함수를 불러오지 않고도 직접 수치 적분으로 복소장 값을 확인할 수 있습니다. 다만 진동 적분의 오차와 무한 꼬리를 다뤄야 합니다. 기준 계산은 렌즈에서의 폭으로 무차원화하고 유한한 적분 범위와 허용 오차를 기록합니다. 수치 적분을 오차 없는 정답이라고 표현하지 않습니다.

복소 Gaussian 계수의 변환 유도하기

포락선을 $U=p\exp(-ar^2)$로 쓰고 $\operatorname{Re}a>0$으로 둡니다. 처음에는 $a_0=1/w_0^2$, $p_0=A_0$입니다. Fresnel 적분에서 완전제곱을 만들면

$$a'=\frac{a}{1+2iza/k},\qquad p'=\frac{p}{1+2iza/k}$$

를 얻습니다. 이 진폭 계수는 횡방향 두 차원의 결과입니다. 한 차원만 전파하면 제곱근 계수가 필요합니다. 한 축의 계수를 쓰면서 축대칭 면적 적분을 하면 $\mathcal N$ 보존이 깨집니다.

양의 얇은 렌즈는 포락선에 $\exp[-ikr^2/(2f)]$를 곱합니다. 따라서

$$a^+=a^-+\frac{ik}{2f},\qquad p^+=p^-$$

입니다. 위상만 바꾸는 이상적 렌즈를 지나는 순간 강도와 폭은 연속입니다. 바뀌는 것은 파면의 곡률입니다. 축 중심에서는 이차 렌즈 위상이 0이므로 축 위 포락선 위상도 연속입니다.

자유 공간의 폭·곡률·Gouy 위상

Rayleigh 길이는 $z_R=\pi w_0^2/\lambda=kw_0^2/2$입니다. 입력 허리 뒤의 자유 전파는

$$U_z(r)=\frac{A_0}{1+iz/z_R} \exp\left[-\frac{r^2}{w_0^2(1+iz/z_R)}\right]$$

이며 다음 관계가 나옵니다.

$$w(z)=w_0\sqrt{1+(z/z_R)^2},\qquad \frac1{R(z)}=\frac{z}{z^2+z_R^2}.$$

허리에서 역곡률은 0입니다. 이때 곡률 반경 자체에는 유한한 값이 없으므로 0을 대신 넣지 않습니다. 곡률 반경이 0인 파면과 무한한 반경의 평평한 파면은 전혀 다릅니다.

축 중심 진폭 크기는 $A_0w_0/w(z)$이고, 반송파를 제외한 위상은 $-\arctan(z/z_R)$입니다. 이 부호와 크기는 선언한 관례의 축대칭 Gouy 위상입니다. 횡방향 위상은 $+kr^2/(2R)$로 허리 뒤의 퍼지는 파면과 맞습니다. 다른 자료의 식을 비교할 때 시간 부호·전파 부호·복소 매개변수 정의를 함께 변환해야 합니다.

q의 허수부 부호를 고정하기

횡방향 지수를 $\exp[ikr^2/(2q)]$로 표현하면

$$q_0=-iz_R,\qquad \frac1q=\frac1R+i\frac{2}{kw^2},\qquad a=-\frac{ik}{2q}$$

입니다. 따라서 유한 폭의 물리적 Gaussian은 $\operatorname{Im}q<0$이고, 역수의 허수부는 양수입니다. 장의 관례를 유지하면서 q 부호만 바꾸면 횡방향으로 감쇠하는 장이 지수적으로 커지는 장으로 바뀝니다.

자유 전파에서는 $q'=q+z$, 렌즈에서는 $1/q^+=1/q^- -1/f$입니다. 앞 단원과 같은 광선 행렬에 대해

$$q'=\frac{Aq+B}{Cq+D}$$

가 성립합니다. 좌표 순서는 높이 다음 각도입니다. 이 식은 Gaussian 모양을 변환하지만 복소 진폭 계수까지 대신하지 않습니다. q만 저장하면 장 정규화와 간섭 비교에 필요한 전체 위상을 잃습니다.

광선 초점에서 유한 폭 변환이 발산하지 않는 이유

실수 행렬의 행렬식이 1이면

$$\operatorname{Im}q'=\frac{\operatorname{Im}q}{|Cq+D|^2}$$

입니다. 음의 허수부가 유지됩니다. $C\neq0$이면 분모를 이루는 복소수의 허수부 $C\operatorname{Im}q$가 0이 아니고, $C=0$이면 행렬식 조건 때문에 $D\neq0$입니다. 따라서 유한한 물리적 q의 분모는 0이 될 수 없습니다.

이 항등식은 수치적으로도 유용합니다. 복소 나눗셈의 허수부에서 비슷한 두 큰 항을 빼면 강한 집속 근처의 정밀도를 잃을 수 있습니다. 원래 입력을 보존하면서 행렬식 항등식으로 허수부를 계산하면 그 상쇄를 줄일 수 있습니다. 잘못된 q를 임의로 원하는 반평면에 투영해서 유효하게 만들지는 않습니다.

이 결론은 유한 Gaussian과 이상적 실수 근축 행렬에 관한 것입니다. 모든 점원천·무한 평면파의 이상화가 모든 caustic에서 유한한 장을 갖는다는 증명은 아닙니다. 큰 발산각에서도 근축 근사가 정확하다는 뜻도 아닙니다.

양의 렌즈 위에 허리를 놓고 집속하기

원래 허리를 렌즈에 두고 $f>0$이라 합시다. 렌즈 직후에는

$$q_L=\frac{-iz_R}{1+iz_R/f}$$

입니다. 이후 q를 $z-z_* -iz_{R*}$로 쓰면 새 허리 위치와 폭은

$$z_* = \frac{f z_R^2}{z_R^2+f^2},\qquad z_{R*}=\frac{z_R f^2}{z_R^2+f^2},\qquad w_*^2=\frac{w_0^2 f^2}{z_R^2+f^2}$$

입니다. 최소 폭의 위치는 일반적으로 기하 초점보다 앞입니다. $z_R\gg f$일 때에만 $z_*\approx f$, $w_*\approx\lambda f/(\pi w_0)$라는 익숙한 근사가 잘 맞습니다.

반대로 $z_R\ll f$이면 입력 빔이 렌즈 길이 척도에서 이미 빠르게 퍼집니다. 약한 렌즈는 허리를 조금 뒤로 옮기고 반경을 약간 줄입니다. 모든 양의 렌즈가 넓고 거의 평행한 빔을 받는다고 가정하면 이 영역을 설명하지 못합니다.

같은 파장과 렌즈에서 두 입력 비교하기

$\lambda=500$ nm, $f=20$ mm, $A_0=1$로 두고 입력 허리를 렌즈에 놓습니다. 입력 반경만 바꿉니다.

입력 반경	Rayleigh 길이	새 허리 좌표	최소 반경	$z=f$의 반경
40 µm	10.0531 mm	4.03400 mm	35.7391 µm	79.5775 µm
120 µm	90.4779 mm	19.0683 mm	25.9006 µm	26.5258 µm

좁은 입력은 긴 구간에서 평행하게 유지되는 빔이 아닙니다. 최소 폭이 20 mm보다 훨씬 앞에 있습니다. 더 넓은 입력은 기하 초점에 가까운 위치에서 더 작은 최소 반경을 만듭니다. 입력 폭이 더 크더라도 회절 발산이 작아져 더 작은 초점을 만들 수 있습니다.

40 µm 준비의 $\mathcal N$은 상대 장 정규화에서 $2.513274\times10^{-9}$ m²입니다. 새 허리에서 축 중심 상대 강도는 약 1.252662로 커지지만 전체 적분량은 그대로입니다. 중심이 밝아지는 것은 횡면적 안에서 분포가 재배치된 결과이며 총량이 생성된 것이 아닙니다.

렌즈 앞 허리와 음의 렌즈

입력 허리가 렌즈보다 거리 $u\geq0$만큼 앞에 있으면 $q_-=u-iz_R$이고 $q_L=q_-/(1-q_-/f)$입니다. 이후 실제 전파 거리 $z\geq0$에서는 $q=q_L+z$입니다. 렌즈 기준 허리 좌표는 $z_*=-\operatorname{Re}q_L$, 새 Rayleigh 길이는 $-\operatorname{Im}q_L$입니다.

새 허리는 렌즈 뒤·렌즈면·음의 역연장 위치에 있을 수 있습니다. 음의 위치는 출력 장을 자유 공간에서 수학적으로 거슬러 연장했을 때의 Gaussian 허리입니다. 현재 실험이 음의 물리 거리로 전파한다는 뜻은 아닙니다. 실제 출력 관측면은 계속 $z\geq0$입니다.

40 µm 허리를 $f=-20$ mm 렌즈에 놓으면 역연장 허리는 $-4.03400$ mm에 있고 반경은 35.7391 µm입니다. 실제 출력 빔은 앞으로 가며 계속 넓어집니다. 음의 좌표를 실제 출력이 나중에 도착할 초점이라고 설명하면 물리적 의미가 반대가 됩니다.

같은 준비 안에서 기하와 회절 기여 나누기

입력 허리와 실수 행렬식 1의 행렬에 대해 출력 폭은

$$w^2=(Aw_0)^2+\left(B\frac{\lambda}{\pi w_0}\right)^2$$

입니다. 첫 항은 입력면에서 평행하게 준비한 기하 광선의 반경 제곱입니다. 둘째 항은 결맞은 Gaussian의 유한한 각도 폭을 보존합니다. 서로 다른 두 실험을 빼거나 동공 필터를 적용한 결과가 아니라 같은 빔의 수학적 분해입니다.

허리가 렌즈에 있는 기하 초점에서는 $A=0$, $B=f$입니다. 기하 기여는 사라져도 $w(f)=\lambda|f|/(\pi w_0)>0$입니다. 입력 120 µm에서는 26.5258 µm입니다. 표처럼 실제 최소 폭은 그 평면보다 약간 앞에 있습니다.

부호 있는 기하 광선 좌표 $Aw_0$는 0을 지나 반전할 수 있지만 물리적 폭은 음수가 아닙니다. 그림은 기하 좌표의 부호와 Gaussian의 양·음 포락선 경계를 구별해야 합니다. 초점 뒤에 음의 빔 폭이 생기는 것으로 그리면 안 됩니다.

이차 모멘트·보존·짧은 파장 극한

정규화한 이차원 강도의 한 횡좌표 분산은 $w_0^2/4$입니다. 허리에서 Gaussian 각 스펙트럼의 각도 분산은 $[\lambda/(\pi w_0)]^2/4$입니다.

$$\Sigma_0=\operatorname{diag}\left(\frac{w_0^2}{4}, \frac{\lambda^2}{4\pi^2w_0^2}\right),\qquad \Sigma=M\Sigma_0M^T$$

로 두면 $\Sigma_{xx}=w^2/4$, $\det\Sigma=[\lambda/(4\pi)]^2$입니다. 위치를 좁히면 각도 분산과 위치·각도 상관이 함께 변합니다. 이 결과는 선언한 근축 좌표의 이상적 결맞은 Gaussian에 대한 것으로, 모든 실험 빔을 인증하거나 양자 측정 모델을 가정한 것은 아닙니다.

공분산의 상관이 매우 강하면 $\Sigma_{xx}\Sigma_{\theta\theta}$에서 $\Sigma_{x\theta}^2$를 빼는 부동소수점 계산이 작은 행렬식을 잃을 수 있습니다. 모델은 인자 $M\operatorname{diag}(w_0/2,\lambda/(2\pi w_0))$도 보존하고, 직접 계산한 행렬식·이론값 대비 잔차·상쇄 비율을 따로 제공합니다. 원래 모멘트를 임의로 고치거나 이론적 보존값을 직접 수치 측정한 결과처럼 표시하지 않습니다. 극단적인 입력은 물리적으로도 근축 범위 밖일 수 있으므로 두 한계를 함께 확인해야 합니다.

입력 폭과 행렬을 고정한 채 파장을 줄이면 회절 기여가 작아집니다. $A\neq0$인 평면에서는 폭이 $|A|w_0$에 접근합니다. 기하 초점에서는 잔여 폭이 파장에 따라 줄지만 유한한 파장마다 양수입니다. 극한을 논할 때 준비와 관측면 중 무엇을 고정했는지 반드시 밝혀야 합니다.

위상과 근사의 진단값 읽기

0이 아닌 복소장의 위상은 $2\pi$를 법으로 접혀 표시됩니다. 분기 경계의 점프가 실제 장의 불연속은 아닙니다. 전파 분모의 argument를 누적하면 연속적인 Gouy 진행량을 얻고, 축 중심 포락선에는 그 음의 위상이 들어갑니다. 진폭 0에서는 관측 위상이 미정이며, 기준 모드의 곡률 계산과 구별해야 합니다.

먼 거리의 Gaussian 발산 척도는 $\lambda/(\pi w_*)$이고, 렌즈 입사 반경에서 이차 위상의 기울기 척도는 $w_L/|f|$입니다. 편안한 근축 해석을 위해 둘 다 작아야 합니다. 다만 하나의 임계값이 정확한 오차 보증은 아닙니다. 개구·종방향 성분·요구 정확도도 영향을 줍니다. 극단적인 조합을 몰래 다른 빔으로 잘라 바꾸지 말고 진단값을 명시해야 합니다.

그림의 물리 축과 종·횡 확대 배율을 표시하고, 중심 강도와 전체 적분량을 함께 비교합니다. 관측면을 바꿀 때 입력 준비는 유지합니다. 직접 Fresnel 적분, q 변환, 폭 분해, 적분 보존은 서로 다른 측면을 검사합니다. 같은 식을 복제한 두 함수의 일치는 이보다 약한 근거입니다.

해설 문제와 AI 연구 연결

1. 폭 관례 환산하기

$r=w_0$에서 진폭은 $A_0/e$, 강도는 $A_0^2/e^2$입니다. 강도 반치 반경은 $w_0\sqrt{\ln2/2}$입니다. 측정 장치가 지름이나 반치폭을 보고했다면 먼저 환산해야 합니다. 일정한 관례 오차를 물리 실패나 신경망의 보정 능력으로 착각하지 마세요.

2. 허리의 위상과 곡률 확인하기

렌즈도 전파도 없는 입력 허리에서는 q가 음의 순허수, 역곡률은 0, 진폭 계수는 $A_0$입니다. $A_0>0$이면 포락선 위상은 0입니다. 유한 곡률 반경은 없고, $A_0=0$이면 장의 위상도 미정입니다. 기준 식의 숫자와 실제 관측 가능한 양을 구분해 보세요.

3. 언제 기하 초점을 써도 되는지 판단하기

표의 $z_*/f$는 약 0.2017과 0.9534입니다. 조건은 파장을 nm로 썼다는 사실이 아니라 Rayleigh 길이가 초점 거리보다 충분히 큰지입니다. 실제 응용이 허용하는 상대 위치 오차를 먼저 정한 뒤 $z_*$를 $f$로 바꿀 수 있는지 판단하세요.

4. 고정된 평면에서 파장 효과 예측하기

허리가 렌즈에 있고 관측면을 $z=f$로 고정하면, $w_0,f$가 같은 상태에서 파장을 두 배로 할 때 출력 반경도 두 배입니다. 그러나 $z_R$가 바뀌므로 최소 허리의 좌표도 달라집니다. 고정 평면의 비례식을 서로 다른 최적 허리 평면 비교에 그대로 적용해서는 안 됩니다.

5. 중심 강도 증가와 적분 보존 설명하기

40 µm 준비의 새 중심 강도는 $A_0^2(w_0/w_*)^2\approx1.252662$입니다. 여기에 $\pi w_*^2/2$를 곱하면 원래 $\mathcal N$입니다. 올바른 보존 검사는 이 면적 적분입니다. 축 중심의 두 표본만 비교하면 이득이나 손실이 생긴 것으로 오해할 수 있습니다.

6. 미분 가능한 광학 벤치마크 설계하기

파장·입력 폭·렌즈 위치에서 복소장 표본이나 교정한 강도를 예측하는 순방향 과제를 만들 수 있습니다. 같은 구현에서 생성한 q 정답만 비교하지 말고, 별도 물리 매개변수의 직접 적분을 검증에 사용하세요. 영장·음의 렌즈·정확한 기하 초점·큰 기울기 진단도 포함합니다. 강도만 관측했다면 매개변수의 식별 불가능성을 먼저 조사해야 합니다. 유한 동공·잡음·수차는 명시적으로 확장하고 독립 검증해야 합니다.

자료와 다음 범위

MIT 6.974 강의 노트는 근축 Gaussian과 ABCD 전파를 설명합니다. 자료의 위상자와 q 관례는 여기의 양의 Fresnel 위상과 일관되게 변환해야 합니다. TU Delft의 Geometrical Optics는 기하학적 대응과 가정을 다룹니다. 예제는 서로 다른 부호를 섞지 않고 선언한 관례와 독립 적분으로 확인합니다.

다음 Fourier optics 주제에서는 스펙트럼 전달·동공·공간주파수 필터링을 별도로 전개합니다. 벡터 집속·비Gaussian 전파·실측 빔 품질·유한 개구·교정된 전력은 추가 연구 범위입니다. 이상적 Gaussian 예제의 검증은 그 확장을 위한 기반이며 광학 교육과정 전체의 완료 근거가 아닙니다.