모듈과 환 위의 선형사상

벡터공간에서 모듈로

벡터공간은 체의 스칼라가 가법군에 작용하는 구조입니다. 스칼라를 일반적인 단위원 있는 환으로 바꾸면 모듈을 얻습니다. 덧셈과 스칼라 분배법칙은 유지되지만 비영 스칼라의 역원이 보장되지 않습니다. 실습은 R=Z/nZ 위의 자유 모듈 R²를 사용합니다. 원소는 두 잉여류의 순서쌍이며 n²개입니다. 모든 모듈이 자유 모듈이라는 뜻은 아닙니다.

환 위 선형사상의 실제 계산

T(x,y)=(ax,by)는 R-선형사상입니다. 표에서 n²개 입력과 출력을 모두 확인할 수 있습니다. 기준 n=6,a=2,b=3에서는 2x=0의 해가 x=0,3이고 3y=0의 해가 y=0,2,4입니다. 따라서 영으로 가는 순서쌍은 2·3=6개입니다. 계수가 0이 아니라는 이유만으로 소거하거나 나누지 마세요.

차원과 원소 수를 구분하기

계수체가 F5이면 같은 대각 계수 2와 3이 모두 단원이라 가역이고 핵은 영벡터 하나입니다. 이때 핵의 차원은 0입니다. 영 사상은 핵이 전체 F5²이므로 원소는 25개, 차원은 2입니다. 합성수 법의 경우에도 핵과 상의 개수는 셀 수 있지만 체 위 벡터공간 차원이라고 부를 수는 없습니다. 해당 차원 항목은 정의하지 않습니다.

어떤 선형대수 직관이 남는가

모듈 준동형의 핵과 상은 부분모듈이며 몫 구조를 생각할 수 있습니다. 그러나 일반 환에서는 모든 부분모듈에 벡터공간처럼 보완공간이나 기저가 존재하지 않습니다. 자유 모듈 R²의 표를 일반 모듈의 완전한 분류로 읽지 마세요. 대수적 부호나 이산 구조의 학습을 다룰 때 스칼라 영역을 명시해야 같은 행렬 기호가 다른 계산을 뜻하는 혼동을 피할 수 있습니다.

정수환 Z 위의 모듈 Z/2Z는 자유가 아닌 구체적인 예입니다. 비영 원소 u에 2를 곱하면 0입니다. 반면 정수 위 자유 모듈의 비영 벡터는 2배 해도 0이 되지 않습니다. 따라서 이 모듈에는 자유 기저를 줄 수 없습니다.

확인 문제와 해설

1. Z6에서 2·3은? 0이므로 비영 입력이 사라집니다.
2. 기준 상의 크기는? 36/6=6입니다.
3. F5² 영 사상의 핵 차원은? 2이며 원소 수는 25입니다.

추가 읽기: Judson, Abstract Algebra: Theory and Applications.

Etingof et al., Introduction to Representation Theory.