위치 센서의 상태 관측 가능성과 오프셋 계열

센서 곡선이 실제 상태를 항상 정하지는 않는다

카메라는 두 시각의 수레 위치를 기록하고 다른 장치는 속도를 계속 기록한다고 합시다. 어떤 관측으로 초기 위치와 속도를 알 수 있을까요? 답은 숫자의 개수뿐 아니라 무엇을 측정하며 센서가 어떻게 보정되었는지에 달려 있습니다.

이 단원은 알려진 1차원 등속 운동에서 관측과 양립하는 초기 상태 전체를 구합니다. 이어서 일정한 위치 센서 오프셋을 미지수로 추가하여, 아무리 많은 시각에서 위치를 기록해도 남는 모호성을 설명합니다.

상태는 연속적인 실수 값입니다. 유한한 후보 목록, 최소 노름 추정값 하나나 그럴듯한 센서 곡선이 전체 관측 동치 계열을 대신하지 않습니다.

운동 법칙과 센서 규칙을 정한다

실제 위치의 시간 변화는 다음과 같습니다.

$$x(t)=x_0+v_0t.$$

x0는 실험실 초기 위치 m, v0는 속도 m/s, t는 시간 s입니다. 운동 법칙은 알고 있으며 여기서는 새로운 힘 법칙보다 상태를 복원합니다.

위치 센서는 z(t)=x(t)+b를 보고할 수 있습니다. b는 m 단위의 일정한 오프셋입니다. 보정된 센서는 알려진 b를 빼면 되고, 보정되지 않은 센서는 b도 미지수입니다. 속도 센서는 v0를 알려 주지만 절대 위치를 직접 측정하지 않습니다.

b가 알려졌는지 미지인지가 관측 모형의 일부입니다. 프로그램에서 b를 0으로 설정하는 것과 실제 장치의 오프셋을 독립적으로 보정한 것은 다릅니다.

서로 다른 두 시각의 보정 위치

알려진 오프셋을 뺀 위치 관측을 y1, y2라 하면 다음과 같습니다.

$$\begin{pmatrix}1&t_1\\1&t_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_0\\v_0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}.$$

행렬식은 t2−t1입니다. 시각이 서로 다르면 다음처럼 유일하게 복원합니다.

$$v_0=\frac{y_2-y_1}{t_2-t_1},\qquad x_0=y_1-v_0t_1.$$

실제 값이 x0=1m, v0=2m/s, b=1m라고 합시다. 0s와 1s의 원시 관측은 2m와 4m입니다. 알려진 오프셋 1m를 빼면 1m와 3m이고 속도 2m/s와 초기 위치 1m를 얻습니다.

유일성은 선언한 잡음 없는 모형에 대한 것입니다. 두 시각이 매우 가까우면 작은 위치 오차가 속도 추정에 크게 반영될 수 있습니다. 정확한 유일성과 수치 민감도는 다릅니다.

같은 시각을 반복하면 상태 계열이 남는다

두 시각이 모두 tstar이면 x0+tstar v0=ystar 한 식을 반복합니다. 가능한 전체 상태는 다음과 같습니다.

$$(x_0,v_0)=(y_\star,0)+\lambda(-t_\star,1),\qquad\lambda\in\mathbb R.$$

이 물리 성분 표현에서 λ는 속도 단위입니다. 인터페이스에서는 상태를 명시적으로 무차원화하고 무차원 계열 매개변수를 사용할 수도 있습니다.

tstar=1s에서 보정 위치가 3m이면 (x0,v0)=(1m,2m/s)와 (3m,0m/s)가 모두 맞습니다. 이후 위치는 서로 다릅니다. 같은 시각을 반복하는 관측은 서로 다른 두 시각의 관측과 같지 않습니다.

그림에서는 관측 시각과 후보 궤적을 함께 표시해야 합니다. 측정한 한 순간의 일치를 그린 시간 구간 전체의 일치로 해석하면 안 됩니다.

속도만 알면 초기 위치는 남는다

속도만 측정하면 관측 식은 y=v0입니다. 초기 위치가 어떤 실수이든 같은 속도 곡선을 만들 수 있습니다.

속도를 완벽하게 계속 측정해도 적분 상수 x0가 정해지는 것은 아닙니다. 속도를 적분하면 초기 위치에 대한 상대 변위를 얻으며 초기 위치 자체를 새로 측정한 것은 아닙니다.

이 상태 계열은 위치 방향 하나가 자유롭습니다. 프로그램이 x0=0을 대표로 골라도 관측이 그 위치를 인증한 것은 아닙니다. 독립적인 위치 기준이나 알려진 초기 위치가 추가 정보를 줄 수 있습니다.

미지 위치 오프셋을 상태에 추가한다

b가 미지이면 확장 상태를 (x0,v0,b)로 씁니다. 두 위치 관측의 행렬은 다음과 같습니다.

$$\begin{pmatrix}1&t_1&1\\1&t_2&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_0\\v_0\\b\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}z_1\\z_2\end{pmatrix}.$$

첫째와 셋째 열이 같습니다. 시각이 다르면 rank는 2지만 미지 상태의 차원은 3입니다. 속도 v0와 합 x0+b는 정해져도 초기 위치와 오프셋은 따로 정해지지 않습니다.

임의의 실수 변위 δ에 대해 다음 변환이 모든 시각의 센서 곡선을 그대로 둡니다.

$$x_0\mapsto x_0-\delta,\qquad b\mapsto b+\delta.$$

호환되는 위치 척도로 무차원화하면 영공간 방향은 (−1,0,1)입니다. 시각을 더 추가해도 같은 두 열의 종속 관계가 유지됩니다. 위치 관측을 늘리는 것만으로 이 모호성을 제거할 수 없습니다.

서로 다른 실제 궤적과 같은 센서 곡선

실제 값이 x0=1m, v0=2m/s, b=1m이면 센서는 z(t)=2+2t를 보고합니다. 후보 x0=2m, v0=2m/s, b=0도 모든 시각에서 같은 센서 출력을 만듭니다.

실험실의 실제 위치는 1m 차이 나지만 센서 오프셋이 보상합니다. 센서 그림은 겹치고 실제 위치 그림은 분리됩니다. 두 그림을 모두 보여 주는 이유입니다.

주어진 단위에서 전체 계열은 (x0,v0,b)=(2−δ,2,δ)이며 δ는 임의의 실수 변위입니다. 실제 값은 그중 하나일 뿐 원시 센서 곡선이 유일하게 드러내는 값은 아닙니다.

오프셋도 미지인데 같은 위치 시각만 반복하면 rank는 1이고 자유 방향은 두 개입니다. 하나는 위치와 오프셋을 교환하고, 다른 하나는 관측 순간의 위치를 유지하면서 초기 위치와 속도를 교환합니다. 하나의 방향만 움직이는 애니메이션을 전체 2차원 해 계열이라고 부르지 않아야 합니다.

독립적인 보정으로 오프셋 모호성을 없앤다

b를 독립적으로 측정하면 행 (0,0,1)을 추가할 수 있습니다. 서로 다른 두 위치 시각과 합친 3×3 행렬의 행렬식은 t2−t1이므로 확장 상태 전체를 복원합니다.

독립적이라는 조건이 중요합니다. 기존 계열에서 편리한 답을 골라 얻은 b는 새로운 보정 관측이 아닙니다. 기존 위치 곡선에 없던 정보를 추가해야 합니다.

보정이 모든 시간 설계 문제를 해결하지는 않습니다. 위치 시각이 같으면 오프셋 방향은 제거되지만 초기 위치·속도 계열은 남습니다. 확장 행렬은 rank 3이 아니라 2입니다. 센서 기준의 미지와 관측 시각의 부족은 다른 문제이며 하나를 해결해도 다른 하나가 자동으로 사라지지 않습니다.

특정 해와 영공간으로 전체 상태를 표현한다

일관된 선형 관측 식 A z=y의 모든 해는 다음과 같습니다.

$$z=z_{\mathrm p}+N\lambda.$$

zp는 특정 해이고 N의 열들은 A의 영공간 기저입니다. A N=0이므로 같은 관측으로 돌아갑니다. 모든 영공간 방향을 포함하는 기저를 사용하면 이 표현은 가능한 상태 전체를 나타냅니다.

유리수 행 소거는 자유 변수를 0으로 놓은 특정 해와 남은 모든 방향을 반환할 수 있습니다. 그 특정 해가 실제 상태와 같을 필요는 없습니다. 데이터가 정당화한 특별한 추정값이 아니라 전체 계열을 표현하는 기준점입니다.

한 성분이 유일하게 정해지려면 모든 영공간 방향에서 해당 성분이 0이어야 합니다. 따라서 속도만 정해지고 초기 위치와 오프셋은 각각 미지인 경우를 정확히 구분할 수 있습니다. 하나의 성공·실패 표시로 합치면 부분적으로 얻은 정보를 잃습니다.

상태의 단위를 맞춰 기하를 그린다

위치, 속도와 오프셋은 모두 같은 단위가 아닙니다. 양의 기준 길이 L과 시간 T를 정해 상태 (x0/L,v0 T/L,b/L), 시간 t/T를 사용합니다.

실습은 L=1m, T=1s를 명시합니다. 정규화한 위치 행은 (1,t/T,1)이고 계열 조절 값은 무차원 영벡터의 무차원 계수입니다. 유한 슬라이더가 보여 주는 것은 무한 실수 계열의 일부이며 전체는 대수식으로 설명합니다.

실제 위치 그림은 m, 속도 센서 그림은 m/s입니다. 측정 규칙에 따라 축과 설명이 바뀌어야 합니다. 모두 관측이라는 이유로 단위 없는 같은 축에 섞지 않습니다. 알려진 위치 오프셋을 뺀 관측 식과 원시 센서 곡선도 구분하여 읽습니다.

정보의 모호성과 좌표 선택을 구분한다

여기서는 실험실 좌표를 고정했습니다. 서로 다른 실험실 위치가 같은 출력을 만드는 것은 센서 오프셋이 미지이기 때문입니다. 관측 모형 아래의 정보 모호성입니다.

이는 같은 실제 상태와 문맥을 일관되게 변환하는 관측자 좌표 변경과 구분해야 합니다. 변환이라는 관점은 연결되지만, 편리한 표현 하나를 골랐다고 보정되지 않은 센서가 특정 절대 위치를 인증한 것은 아닙니다.

학습한 표현이 센서 출력을 잘 복원해도 실제로는 동치류만 알아낸 것일 수 있습니다. 장애물이나 장치에 대한 절대 위치가 필요한 후속 과제라면 독립적인 기준이 더 필요할 수 있습니다. 필요한 정보는 재구성 오차뿐 아니라 실제 예측·제어 과제에 달려 있습니다.

연습문제와 해설

1. 문제: 보정 위치가 0s에서 1m, 1s에서 3m이면? 해설: v0=2m/s, x0=1m입니다.
2. 문제: 두 관측이 모두 1s의 3m이면 초기 상태가 유일한가요? 해설: 아닙니다. 정한 SI 단위에서 x0+v0=3이라는 직선 전체가 남습니다.
3. 문제: 완벽한 속도 곡선이 2m/s이면 x0도 아나요? 해설: 아닙니다. 어떤 초기 위치도 같은 속도 곡선을 만듭니다.
4. 문제: (x0,v0,b)=(1,2,1)과 (2,2,0)의 센서 곡선은? 해설: 둘 다 z(t)=2+2t이며 실제 위치는 다릅니다.
5. 문제: 위치 시각을 더 추가하면 일정한 미지 오프셋이 사라지나요? 해설: 아닙니다. 초기 위치와 오프셋의 열은 모든 시각에서 같습니다.
6. 문제: 독립적인 오프셋 보정이면 반복한 같은 위치 시각에서도 전체 복원이 되나요? 해설: 아닙니다. 초기 위치와 속도를 구분하는 서로 다른 시각 정보도 필요합니다.

참고 자료

Stanford EE263, Observability and State Estimation은 선형 관측 사상과 관측 불가능한 영공간의 배경을 설명합니다. 등속 운동의 표본 행렬, 전체 아핀 계열과 오프셋·보정 예제는 여기의 측정 모형에서 직접 유도했습니다.