연속 방정식과 면을 통과하는 전류

경계 하나의 통과량보다 안에 남는 양을 본다

대전된 운반자 구름이 고정된 관측 구간을 지나간다고 생각합시다. 오른쪽 경계를 보면 그 면을 통과하는 양을 알 수 있습니다. 그러나 구간 안에 얼마나 쌓이는지는 알 수 없습니다. 왼쪽 경계로도 전하가 들어오기 때문입니다. 보존 법칙은 두 면의 흐름과 그 사이에 저장된 양을 연결합니다.

이 단원은 움직이는 밀도에서 그 관계를 만듭니다. 전하는 부호를 가집니다. 음전하 구름은 오른쪽으로 움직이면서도 관습적인 전류는 왼쪽을 향할 수 있습니다. 음전하가 영역을 떠나면 저장된 전하는 더 음수가 되는 대신 0 쪽으로 증가합니다.

전하·밀도·전류 밀도·전류를 분리한다

물리량	의미	SI 단위
$Q$	부호 있는 전하	C
$\rho$	부피당 전하	C/m³
$\lambda=A\rho$	흐름의 길이당 전하	C/m
$\mathbf J$	단위 면적당 부호 있는 전하 흐름	A/m²
$I$	방향을 정한 면을 통과하는 전하 흐름	A = C/s

한 점의 밀도는 구간 전체의 전하가 아닙니다. 부피 전류 밀도 J는 벡터이고, 방향을 정한 면을 통과하는 전류 I는 부호 있는 스칼라입니다. 얇은 시트의 표면 전류 밀도 K는 이와 다른 접선 벡터이며 단위는 A/m입니다. 면적분 I의 단위 A와 구분해야 합니다. 전류도 전하 밀도도 반드시 양수일 필요가 없습니다.

하나의 수송 준비를 선언한다

일정한 속도 $v$로 $x$ 방향으로 이동하는 Gaussian 구름을 지정합니다. 폭 $\sigma>0$와 단면적 $A>0$는 시간에 따라 일정하고 옆면 흐름은 없습니다. 전체의 부호 있는 전하는 $Q_0$, 초기 중심은 $x_0$입니다.

$$x_c(t)=x_0+vt,\qquad \rho(x,t)=\frac{Q_0}{A\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left[-\frac{(x-x_c(t))^2}{2\sigma^2}\right].$$

$A\rho$를 실수축 전체에 적분하면 $Q_0$입니다. 정규화한 Gaussian 모양은 비음수지만 음의 $Q_0$를 곱하면 전하 밀도는 음수입니다. 전하 밀도 자체가 확률 밀도인 것은 아닙니다.

화면의 공간 구간은 보기 창입니다. 구름을 물리적으로 자르거나 그 안의 전하를 다시 정규화하는 경계가 아닙니다. $\sigma$를 조작하면 다른 준비를 선택하며, 한 준비 안에서는 폭이 시간에 따라 일정합니다. 광학 단원의 퍼지는 Gaussian 파동 묶음과 다릅니다.

이동은 지정한 것이며 전기·자기력에서 유도하지 않습니다. 구성 법칙, 구동력의 원천, 자기 일관된 전자기장은 계산하지 않습니다. 전하 보존은 물리적 전자기 모델의 필요조건이지만 충분조건은 아닙니다.

운반자 이동에서 전류 밀도 벡터로

하나의 공통 운반 속도를 가지는 이 준비에서는

$$\mathbf J(x,t)=\rho(x,t)v\,\widehat{\mathbf x}.$$

양전하가 오른쪽으로 이동하면 $J_x$는 양수입니다. 음전하가 오른쪽으로 이동하면 $J_x$는 음수입니다. 전하 부호나 속도 중 하나만 반전하면 전류가 반전하고, 둘 다 반전하면 전류는 유지됩니다.

여러 운반자 종이 있을 때는 더 일반적으로

$$\rho=\sum_s\rho_s,\qquad \mathbf J=\sum_s\rho_s\mathbf v_s.$$

$\mathbf J=\rho\mathbf v$를 만족하는 하나의 공통 속도가 항상 존재하는 것은 아닙니다. 예를 들어 $\rho_+=\rho_0$가 $+v$로, $\rho_-=-\rho_0$가 $-v$로 움직이면 순밀도는 0이지만 $J_x=2\rho_0v$입니다. 국소 전하 중성에서 “전류 없음”을 결론 내리지 마세요. 이 단원의 조작 모델은 단일 공통 속도인 경우입니다.

면의 법선이 보고 부호를 정한다

전류 밀도가 면 전체에서 균일하다고 가정한 평평한 면 조각의 넓이를 $A_s$, 선택한 단위 법선을 $\mathbf n$이라 하면

$$I=\int_S\mathbf J\cdot\mathbf n\,dA =A_s\mathbf J\cdot\mathbf n.$$

$\mathbf J=J_x\widehat{\mathbf x}$이고 법선이 $+x$와 이루는 각이 $\theta$이면 $I=A_sJ_x\cos\theta$입니다. 법선 반전은 운반자 이동을 바꾸지 않고 보고하는 전류의 부호만 바꿉니다. 면과 접하는 방향의 전류는 그 면을 통과하지 않습니다.

면 조각의 넓이 $A_s$와 흐름의 단면적 $A$는 역할이 다릅니다. 제어 구간의 전체 양끝 면에서는 $A_s=A$이고 바깥 법선은 왼쪽에서 $-\widehat{\mathbf x}$, 오른쪽에서 $+\widehat{\mathbf x}$로 정해집니다. 별도로 회전한 측정 면이 이 양끝 면의 법선을 바꾸는 것은 아닙니다. 회전한 면의 계산기는 관측점의 전류 밀도를 그 면 전체에 균일하게 적용합니다. 공간적으로 변하는 Gaussian을 임의로 기울어진 유한 면 전체에서 정확하게 적분한 결과는 아닙니다.

고정된 제어 구간의 수지를 유도한다

고정 경계를 $a<b$라 합시다. 저장 전하와 바깥으로 향한 전류는

$$Q_{[a,b]}(t)=A\int_a^b\rho(x,t)\,dx,\qquad I_{a,\mathrm{out}}=-AJ_x(a,t),\qquad I_{b,\mathrm{out}}=AJ_x(b,t).$$

양의 바깥 흐름은 안의 양전하를 줄이므로

$$\frac{dQ_{[a,b]}}{dt} =-\left(I_{a,\mathrm{out}}+I_{b,\mathrm{out}}\right) =A\left[J_x(a,t)-J_x(b,t)\right].$$

왼쪽과 오른쪽 기여는 반대 부호로 들어갑니다. 전류의 절댓값끼리 빼면 음전하나 역방향 이동에서 실패합니다. 전 과정에서 부호 있는 전하를 사용합니다.

국소 연속 방정식을 얻는다

전하 적분을 수지에 대입하고 미적분학의 기본정리를 사용하면

$$A\int_a^b\left(\partial_t\rho+\partial_xJ_x\right)dx=0.$$

충분히 매끄러운 장에 대해 임의의 고정 구간에서 성립하면

$$\partial_t\rho+\partial_xJ_x=0.$$

Gaussian이 모양을 유지하며 이동하므로 $\partial_t\rho=-v\partial_x\rho$, $\partial_xJ_x=v\partial_x\rho$가 상쇄됩니다. 삼차원에서는 두 번째 항이 $\nabla\cdot\mathbf J$입니다. 보존되지 않는 운반자 한 종만 모델링한다면 해당 종의 생성·소멸 항이 필요할 수 있습니다. 이는 전체 전기전하의 보존과 구분해야 할 수지입니다.

Gaussian의 저장 전하를 계산한다

표준 정규 CDF를 $\Phi$, 밀도를 $\phi$라 하고 $z_a=(a-x_c)/\sigma$, $z_b=(b-x_c)/\sigma$라 두면

$$Q_{[a,b]}=Q_0\left[\Phi(z_b)-\Phi(z_a)\right],\qquad \frac{dQ_{[a,b]}}{dt}=\frac{Q_0v}{\sigma}\left[\phi(z_a)-\phi(z_b)\right].$$

단면적은 저장 전하와 전체 끝면 전류에서 소거되지만 $\rho$와 $J_x$에서는 소거되지 않습니다. 총전하가 일정할 때 단면적이 작아지면 밀도의 크기가 커집니다. 일차원 축소 모델에서 자주 생기는 단위 오류를 이 구분으로 찾을 수 있습니다.

계산 예제: 순간 증가는 전체 구간의 감소와 양립한다

$Q_0=1$ C, $\sigma=1$ m, $x_0=0$, $v=1$ m/s, $A=2$ m²와 고정 구간 $[-0.5,0.8]$ m를 사용합니다. $t=0$에서

$$Q_{[a,b]}(0)=\Phi(0.8)-\Phi(-0.5)\approx0.479607063\ \mathrm C.$$

양의 $x$ 방향 경계 전류는 $AJ_x(a,0)\approx0.352065327$ A, $AJ_x(b,0)\approx0.289691553$ A입니다. 초기 순유입은 약 $+0.062373774$ C/s이므로 전하는 처음에 증가합니다.

$t=1$ s의 저장 전하는 약 $0.353933089$ C이고 처음부터의 변화는 $-0.125673973$ C입니다. 모순이 아닙니다. 순간 순유입이 그동안 달라집니다. 중심이 구간 중점에 도착하는 $t=0.15$ s에서는 두 경계 전류가 같고 저장 전하가 최대가 됩니다.

초기 순유입에 1초를 곱하면 틀린 답이 나옵니다. 유한 시간의 올바른 관계는

$$Q_{[a,b]}(t_1)-Q_{[a,b]}(t_0) =\int_{t_0}^{t_1}A\left[J_x(a,t)-J_x(b,t)\right]dt.$$

수치는 선언한 수송 예제입니다. 이 1 C 구름이 외력 없이 실현 가능한 물질계라는 주장은 아닙니다.

같은 예제를 음전하로 반복한다

$Q_0$만 $-1$ C로 바꾸면 밀도·전류 밀도·저장 전하·모든 부호 있는 전류가 반전됩니다. 초기 전하는 약 $-0.479607063$ C, 초기 미분은 $-0.062373774$ C/s입니다. 그 순간에는 떠나는 것보다 더 많은 음전하가 들어옵니다.

1초 전체에서는 전하가 $+0.125673973$ C만큼 변하여 덜 음수가 됩니다. “전하가 증가한다”는 것은 부호 있는 수치의 비교입니다. 운반자 수나 전하 절댓값이 증가한다는 말과 같지 않으므로 비교하는 물리량을 명시해야 합니다.

움직이는 경계에는 상대 흐름이 필요하다

구현한 제어 구간의 경계는 고정되어 있습니다. 끝점이 속도 $u_a,u_b$로 움직이면 적분 경계의 변화가 추가되어

$$\frac{dQ}{dt} =A\left[(J_x-\rho u_a)\big|_a-(J_x-\rho u_b)\big|_b\right].$$

모양이 일정한 구름과 함께 움직이는 창에서는 $u_a=u_b=v$이므로 상대 흐름이 모두 0이고 저장 전하가 일정합니다. 실험실 전류 $J_x$는 여전히 0이 아닐 수 있습니다. 카메라로 구름을 따라가는 관측과 실험실의 고정 구간 관측은 다릅니다.

수치 계산: 1에 가까운 수의 차보다 작은 구간을 보존한다

CDF 식은 유용한 해석적 기준이지만 양의 꼬리에서 가까운 두 값을 빼면 작은 질량을 잃을 수 있습니다. 표준편차 단위의 구간 $8$에서 $8+10^{-10}$ 사이의 비율은 약 $5.0522715\times10^{-25}$입니다. 그러나 1에 가까운 두 CDF 값의 차는 부동소수점에서 0이 될 수 있습니다.

구현은 원래 구간에 대해 정규화된 Gaussian 밀도를 직접 적분합니다. 양의 Gauss-Legendre 가중치와 표준편차 한 단위 이하의 패널을 사용하며 표준화 전의 물리적 구간 폭을 유지합니다. 보기 창의 질량을 1로 다시 맞추거나 꼬리를 조용히 자르지 않습니다.

16차와 8차 구적의 차이는 진단값이지 엄밀한 오차 상계는 아닙니다. 매우 먼 곳의 양의 Gaussian 질량은 배정밀도에서도 underflow할 수 있습니다. 이때 정확히 비었다는0 대신 사용 불가 값을 반환하고 수치 underflow로 구분합니다. 총전하0인 준비는 별개의 물리적 영입력입니다.

점의 밀도·전류·구간 전하·보존 잔차는 각각 계산 가능 상태를 가집니다. 밀도가 표현 가능해도 아주 작은 비영 속도를 곱한 전류는 표현되지 않을 수 있습니다. 반대로 속도가 정확히0이면 먼 꼬리의 밀도가 사용 불가여도 전류는0입니다. 정규화 계수와 Gaussian 지수를 로그 공간에서 함께 계산하여, 지수 함수만 먼저 언더플로했다는 이유로 표현 가능한 밀도까지 잃지 않도록 합니다.

사용 불가 값은 곡선의 공백이나 대시로 표시하며, 알 수 없는 전류 방향을 영전류 화살표로 그리지 않습니다. 구간 전하나 표본 흐름이 사용 불가이면0을 대신 넣어 보존을 인증하지 않습니다. 이 보수적인 계산은 다른 연산 순서라면 복구할 수 있는 식도 사용 불가로 남길 수 있습니다. 정확한 영시간이나 정지한 구름의 전하 변화와 순유입 적분은 여전히0입니다. 두 구적 값이 모두 사용 불가라는 사실도 구적 차이0의 근거가 아닙니다.

법선에 투영한 비영 전류 밀도나 매우 작은 면을 통과하는 비영 전류도 수치 범위 아래로 사라질 수 있습니다. 면 계산기는 이를 정확한0으로 표시하지 않고 미정으로 유지합니다. 면적을 정확히0으로 지정했을 때의 영전류와 구분하며, 공간·시간 적분의 진단과도 별도입니다.

국소 잔차도 해석해야 합니다. 서로 반대인 해석 미분을 같은 식에서 만들면 합은 구성상 0입니다. 독립 유한 차분과 별도로 적분한 경계 흐름을 함께 비교해야 합니다. 동일한 공식을 양변에 쓴 0은 독립 검증이 아닙니다.

AI와 연구에 연결하기

전류 예측기는 밀도 진화와 제어 구간의 전하를 함께 검사해야 합니다. 학습에 사용하지 않은 구간에서 국소 잔차와 적분 전하 변화를 모두 평가하세요. 운반자 부호·속도 반전·단면적 변화·관측 창 이동을 서로 다른 대조 실험으로 다룹니다.

모델을 비교할 때 구간의 기하, 물리적 밀도 단위, 미분 관례를 고정합니다. 화면마다 밀도를 따로 정규화하면 보존 문제 자체가 바뀔 수 있습니다. 연속 방정식을 만족해도 힘 법칙, 구성 법칙, Maxwell 방정식, 실제 관측을 위반할 수 있습니다. 실제로 평가한 식과 관측을 명확히 보고해야 합니다.

풀이가 있는 연습

연습 1 — 오른쪽으로 움직이는 음전하

$\rho=-2$ C/m³, $v=0.3$ m/s입니다. 면적 $0.5$ m², 법선 $+x$인 면의 $J_x$와 $I$를 구하세요.

풀이. $J_x=-0.6$ A/m², $I=-0.3$ A입니다. 전류는 운반자의 속도와 반대 방향입니다. 법선을 반전하면 이동을 바꾸지 않고 $+0.3$ A로 보고합니다.

연습 2 — 한쪽 경계만 보면 안 되는 이유

양전하 흐름의 $AJ_x(a)=0.4$ A, $AJ_x(b)=0.1$ A입니다. 저장 전하의 미분은 얼마인가요?

풀이. $0.4-0.1=0.3$ C/s입니다. 바깥 전류는 왼쪽 $-0.4$ A, 오른쪽 $+0.1$ A이므로 그 합의 음수를 취해도 같습니다.

연습 3 — 단면적을 바꾸면

$Q_0,\sigma,x_0,v$와 구간을 유지하며 $A$만 절반으로 줄이면 어떤 관측량이 달라지나요?

풀이. $\rho$와 $J_x$는 두 배가 되고 $A\rho$, 전체 끝면 전류, 구간 전하는 유지됩니다. 외부 저장소가 밀도를 고정하는 비교가 아니라 구름의 총전하를 고정한 비교입니다.

연습 4 — 밀도 0인데 전류가 있다

서로 다른 두 운반자의 순전하 밀도는 0인데 전류는 0이 아닐 수 있나요?

풀이. 가능합니다. 같은 크기의 양·음전하 밀도가 반대로 움직이면 밀도는 상쇄되고 전류는 보강됩니다. 순밀도만으로 전류를 추론하기 전에 종별 전류를 더해야 합니다. 단일 속도 준비는 이 경우를 포함하지 않습니다.

연습 5 — 유한 시간 변화의 부호

계산 예제의 초기 순유입은 양수입니다. 다음 1초의 전하 변화도 양수여야 하나요?

풀이. 아닙니다. 순유입은 이후 반전합니다. 초기 값이 양수여도 시간 적분은 약 $-0.125673973$ C입니다. 초기 미분은 유한 구간의 평균이 아닙니다.

연습 6 — 너무 적은 것을 증명하는 완벽한 잔차

같은 식에서 $\partial_t\rho=-v\partial_x\rho$, $\partial_xJ_x=v\partial_x\rho$를 구성했습니다. 합이 0이면 완전한 전자기 해를 확인한 것인가요?

풀이. 부과한 해석적 항등식을 확인한 것입니다. 독립 수치 미분, 저장 전하 적분, 경계 흐름을 대조해야 합니다. 그것들도 해당 수송 수지를 검사할 뿐 힘·구성 법칙·전자기장을 제공하지는 않습니다.

출처와 재현 가능한 검사

Haus·Melcher §1.4는 얇은 층을 따라 흐르는 표면 전류 밀도 K가 접선 벡터이며 단위가 A/m임을 설명합니다. 면을 통과하는 전류 I와 구분하는 근거입니다.

MIT 8.02T Current and Resistance §6.1–6.1.1에서 방향 있는 전류와 운반자 전류의 정의를 확인할 수 있습니다. 고정 구간 연속 방정식, Gaussian 준비, 이동 창 비교와 수치 예제는 위에서 직접 유도했습니다.

learning-charge-current-fields.ts가 지정한 모델을 계산합니다. 독립 SciPy CDF와 공간·시간 적분으로 전하 부호·역방향 흐름·정지 구름·단면적 변화를 비교하고 5점 유한 차분으로 국소 미분을 확인합니다. 좁은 꼬리 기준은 큰 절대 허용오차로 작은 비영 값을 0과 같다고 처리하지 않고 상대 정확도를 검사합니다.