정상분포 속의 순환 흐름

수위가 일정해도 물은 순환할 수 있다

물탱크 세 개를 삼각형으로 연결했다고 생각해봅시다. 물이 삼각형을 따라 계속 돌더라도 각 탱크에 들어오는 양과 나가는 양이 같으면 수위는 일정합니다. 각 탱크의 유입과 유출이 같다는 조건과, 각 관에서 양방향 흐름이 같다는 조건은 다릅니다. 확률에서도 분포는 일정하지만 정상 상태의 전이에는 방향을 가진 순환이 남을 수 있습니다.

이 구별은 목표 분포에서 표본을 얻으려는 AI 알고리즘에도 중요합니다. 목표 분포를 보존하는지, 상세평형을 만족하는지, 특정 초기화에서 목표에 도달하는지는 서로 다른 질문입니다. 이 단원에서는 세 상태로 이루어진 완전한 예를 계산합니다. 움직이는 화살표가 그럴듯해 보인다는 이유로 평형이나 수렴을 판단하지 않고, 각각을 식과 수치로 확인해봅니다.

유한 조건부확률, 행렬 곱과 기댓값을 알고 있으면 시작할 수 있습니다. 정상성·가역성·유한 체인 수렴의 일반적인 정의는 Levin–Peres 교재의 1.5–1.6절과 4.3절에서 확인할 수 있습니다. 아래의 정수 준비, 계산 예와 초등적인 유도는 이 단원을 위해 정한 유한 모형에 관한 내용입니다.

화살표를 그리기 전에 준비를 정하자

상태에는 0, 1, 2라는 이름을 붙입니다. 시계 방향은 0→1→2→0이고, 반시계 방향은 그 반대입니다. 매 이산 단계에서 현재 상태가 정해지면 더 이전의 이력과 무관하게 같은 전이 규칙을 사용합니다. 따라서 시간에 따라 전이 규칙이 바뀌지 않는 동질 Markov 체인입니다.

시계 방향 이동, 반시계 방향 이동, 제자리에 머무름에 음이 아닌 정수 가중치 f, b, s를 줍니다. 가중치의 합은 양수여야 합니다. 정규화하면 세 선택의 확률이 됩니다.

$$D=f+b+s>0,\qquad p=\frac fD,\quad q=\frac bD,\quad r=\frac sD,\qquad p+q+r=1.$$

가중치는 0부터 1,000,000까지의 정수입니다. 셋 모두에 같은 양의 정수를 곱해도 허용 범위 안에 있는 한 전이 확률은 같습니다. 그렇다고 움직임이 빨라지지는 않습니다. 한 번의 전이는 여전히 하나의 이산 단계입니다. 연속 시간 과정에서 전이율 전체를 키워 시간 척도를 바꾸는 일과 구별해야 합니다.

초기 분포는 별도의 세 가중치를 정규화해서 만듭니다. 초기 가중치는 같거나 모두 양수일 필요는 없지만 합은 양수여야 합니다. 초기 가중치가 0이면 초기 시점에 그 상태를 점유하지 않는다는 뜻입니다. 그 상태를 모형에서 삭제하거나 나중에 도달하는 일을 금지하는 것이 아닙니다. 실습에서 살펴보는 범위는 0부터 512번의 전이이며, 이 계산 범위 자체가 일반적인 혼합 시간의 보장은 아닙니다.

기호	의미	단위와 관례
f, b, s	정규화 전의 전이 가중치	정확한 음이 아닌 정수
p, q, r	시계·반시계·머무름 확률	무차원
μ(t)	t번 전이한 뒤의 분포	합이 1인 행벡터
π	지정한 정상 참조 분포	여기서는 균일분포
t	전이 횟수	이산 횟수이며 물리적 초가 아님

행은 출발, 열은 도착으로 고정하자

행렬의 원소 Pij는 현재 상태가 i일 때 다음 상태가 j일 확률입니다. 각 행은 한 출발 상태에서 가능한 도착지를 설명합니다. 이름 붙인 방향에 맞추면 전이 행렬은 다음과 같습니다.

$$P=\begin{pmatrix}r&p&q\\q&r&p\\p&q&r\end{pmatrix},\qquad P_{ij}=\Pr(X_{t+1}=j\mid X_t=i).$$

예를 들어 P01=p이고 P10=q입니다. 이 둘을 바꾸면 시계 방향 조절값의 의미가 뒤집힙니다. 각 행의 합이 1인 이유는 다음 단계의 세 선택이 서로 배타적이면서 모든 가능성을 포함하기 때문입니다. 대각 원소는 빠뜨린 전이가 아니라 유효한 머무름 확률입니다.

개념 그림은 0 → 1 → 2 → 0으로 생각하면 됩니다. 표시한 화살표마다 p를, 그 역방향 화살표마다 q를, 각 정점의 자기 고리에 r을 붙입니다. 시계 방향 화살표 셋은 이름이 다른 상태 사이의 서로 다른 전이입니다. 하나의 상태를 세 번 복제해서 그 확률을 합쳐야 하는 그림이 아닙니다. 그림과 표를 함께 읽을 때에도 출발 행과 도착 열을 먼저 확인하세요.

분포의 변화와 표본 경로를 구별하자

분포는 다음에 일어날 수 있는 모든 상태를 동시에 계산합니다. 행벡터 관례에서는 다음과 같이 갱신합니다.

$$\mu(t+1)=\mu(t)P,\qquad \mu_j(t+1)=r\mu_j(t)+p\mu_{j-1}(t)+q\mu_{j+1}(t),$$

상태의 첨자는 3을 법으로 계산합니다. 두 번째 식은 도착 상태 j의 유입 장부입니다. j에 그대로 머무르거나, j−1에서 시계 방향으로 오거나, j+1에서 반시계 방향으로 올 수 있습니다. 이 장부는 행렬 곱에서 방향을 잘못 읽지 않았는지 확인하는 방법이기도 합니다.

f=2,b=1,s=1로 두면 p=1/2이고 q=r=1/4입니다. 처음에는 상태 0에 확률을 모두 둡시다. 순서대로 계산한 분포는 다음과 같습니다.

t	상태 0의 확률	상태 1의 확률	상태 2의 확률
0	1	0	0
1	1/4	1/2	1/4
2	5/16	5/16	6/16
3	22/64	21/64	21/64

초기 준비가 완화되는 동안 가장 큰 성분의 위치가 달라집니다. 각 행의 합은 1입니다. 이 행들은 정확한 확률분포이지, 네 번이나 열여섯 번의 무작위 시행에서 얻은 빈도가 아닙니다. 한 표본 경로는 각 시점에 상태 하나만 점유합니다. 이러한 확률을 경험적으로 추정하려면 같은 초기 조건에서 독립적으로 시작한 여러 경로가 필요합니다.

균일한 정상 참조를 직접 유도하자

정상분포는 πP=π를 만족합니다. 이 특정 행렬은 열의 합도 각각 1이므로 균일 행벡터가 정상분포가 됩니다.

$$\pi=\left(\frac13,\frac13,\frac13\right),\qquad (\pi P)_j=\frac13\sum_iP_{ij}=\frac13.$$

이 계산은 p와 q가 달라도 불변성이 성립함을 보입니다. 아직 정상 참조가 유일한지, 임의의 초기 분포가 그 참조에 도달하는지는 말하지 않았습니다. 정상 방정식을 푸는 일과 초기값 문제의 장기 거동을 푸는 일을 나누어 생각해야 합니다.

이 모형에서는 유일성도 직접 증명할 수 있습니다. 정상분포의 성분 xj는 다음 식을 만족해야 합니다.

$$(p+q)x_j=px_{j-1}+qx_{j+1}.$$

p+q>0이라고 하고 가장 큰 성분을 고릅시다. 위 식은 그 최댓값이 이동 가중치가 양수인 이웃들의 볼록평균임을 뜻합니다. 최댓값과 같은 평균을 만들려면 기여하는 이웃도 그 최댓값이어야 합니다. 가능한 이동 방향 하나를 따라 세 상태의 고리를 돌면 모든 상태에 도달하므로 세 성분은 같습니다. 정규화하면 각각 1/3입니다.

반면 p=q=0이면 p+q로 나누어서는 안 됩니다. 이때 r=1이고 P는 항등행렬이라 모든 초기 분포가 정상분포입니다. 균일 π를 참조로 사용할 수는 있지만, 그것을 선택했다고 해서 유일한 평형을 증명한 것은 아닙니다. 경계에서는 앞의 유도에서 사용한 양수 조건이 실제로 남아 있는지 확인해야 합니다.

한 방향 흐름과 순전류를 따로 계산하자

정상 준비에서 Fij를 상태 i에 있다가 j로 이동하는 결합확률로 정의합니다. Jij는 두 방향 흐름의 차이입니다.

$$F_{ij}=\pi_iP_{ij},\qquad J_{ij}=F_{ij}-F_{ji},\qquad J_{ji}=-J_{ij},\quad J_{ii}=0.$$

편향된 예에서 0→1의 시계 방향 흐름은 1/6이고 역방향 흐름은 1/12입니다. 따라서 순전류는 1/12입니다. 큰 쪽의 흐름 자체를 전류라고 부르면 반대 방향의 통행을 빠뜨립니다. 머무름에도 r/3=1/12의 흐름이 있지만, 자기 자신과 비교한 반대칭 전류는 0입니다.

순전류 행렬 전체는 다음과 같습니다.

$$J=\frac{p-q}{3}\begin{pmatrix}0&1&-1\\-1&0&1\\1&-1&0\end{pmatrix}.$$

각 정점에서 대각을 제외한 총 유출은 (p+q)/3이고 총 유입도 같습니다. 지금 예에서는 둘 다 1/4입니다. 따라서 각 상태의 확률은 일정하지만 모든 시계 방향 모서리에 양의 순전류가 존재합니다. 처음의 물탱크 비유가 확률 계산으로 구체화된 것입니다. 정상 수준, 양방향 통행량, 두 통행량의 차이를 각각 다른 숫자로 읽어야 합니다.

정상성은 정점의 조건이고 상세평형은 쌍의 조건이다

한 정점에서 나가는 부호 있는 순전류를 모두 더하면 국소 수지식이 됩니다.

$$\sum_jJ_{ij}=\pi_i\sum_jP_{ij}-\sum_j\pi_jP_{ji}=\pi_i-(\pi P)_i=0.$$

발산이 0이어도 고리를 따라 도는 순환은 가능합니다. 합이 0이라는 사실은 각 항이 모두 0이어야 한다는 뜻이 아닙니다. 상세평형은 더 강한 조건으로, 모든 상태 쌍에서 정상 상태의 왕복 흐름이 같아야 한다고 요구합니다.

$$\pi_iP_{ij}=\pi_jP_{ji}\ \text{for every }i,j\qquad\Longleftrightarrow\qquad p=q\ \text{in this model}.$$

상세평형을 상대 상태에 대해 합하면 정상성을 얻습니다. 그 역은 편향된 세 상태 예에서 성립하지 않습니다. 모든 정점의 수지는 맞지만 시계 방향 순전류는 양수입니다. 이 차이는 서로 다른 수치 허용 오차의 결과가 아니라, 조건 사이의 논리적 차이를 보이는 정확한 반례입니다.

p=q일 때도 전이는 계속 일어납니다. 상세평형은 비대각 확률이 모두 0이거나 모든 경로가 멈춰 있어야 한다는 조건이 아닙니다. 이름 붙인 각 상태 쌍에서 정상 통행량이 통계적으로 균형을 이룬다는 뜻입니다. 양방향 통행량이 크면서 순전류는 0인 체인도 가능합니다.

정상 체인의 시간 반전을 조심스럽게 정의하자

양의 정상 참조에서 준비한 체인의 통계적 시간 반전은 다음 전이 확률을 사용합니다.

$$P^{\mathrm{rev}}_{ij}=\frac{\pi_jP_{ji}}{\pi_i}=P_{ji}\qquad\text{for uniform }\pi.$$

여기서는 p와 q를 서로 바꾸면 됩니다. 같은 균일 정상분포를 유지하면서 모든 순전류의 방향을 뒤집습니다. 원래 행렬과 반전 행렬이 같은 경우는 정확히 p=q입니다. 이 정의는 정상 경로의 확률 법칙에 관한 것입니다. 운동량 변수를 포함하지 않은 현재 모형에서 물리적 속도 반전까지 설명하는 것은 아닙니다.

짧은 경로를 비교하면 차이가 더 잘 보입니다. 상태 0에서 시작했다는 조건 아래, 세 단계의 시계 방향 순회와 반시계 방향 순회의 확률은 다음과 같습니다.

$$\Pr(0\to1\to2\to0\mid X_0=0)=p^3,\qquad \Pr(0\to2\to1\to0\mid X_0=0)=q^3.$$

p=1/2,q=1/4이면 각각 1/8과 1/64입니다. 정상분포에서 초기화하면 두 경로의 확률에 똑같이 1/3이 곱해집니다. 한 시점에서 본 주변분포는 항상 균일해도 경로 확률의 비대칭에는 선호 방향이 드러납니다. 따라서 한 시점의 히스토그램만으로 시간적 조직의 차이를 모두 파악할 수는 없습니다.

정상 참조의 흐름과 현재 준비의 흐름을 구별하자

초기 분포가 정상이 아니면 그 준비에 해당하는 한 단계 흐름을 따로 계산해야 합니다. 선택한 시점 t에서는 다음과 같습니다.

$$F_{ij}(t)=\mu_i(t)P_{ij},\qquad \sum_j\bigl(F_{ij}(t)-F_{ji}(t)\bigr)=\mu_i(t)-\mu_i(t+1).$$

편향된 예의 t=0에서 상태 0,1,2의 순유출은 각각 3/4,−1/2,−1/4입니다. 상태 0은 확률을 잃고 나머지는 확률을 얻습니다. 음의 순유출은 순유입이 있다는 뜻이지, 음의 전이 확률이 있다는 뜻이 아닙니다.

반면 정상 참조의 순전류는 처음부터 각 정점의 발산이 0입니다. 두 장부는 모두 타당하지만 서로 다른 준비를 설명합니다. 따라서 화살표에 어느 분포를 곱했는지 그림에 명시해야 합니다. 아직 막대가 변하고 있는 분포 그림에 균일 참조의 흐름을 넣으면, 표시된 확률은 변하는데 수지는 이미 맞는 것처럼 잘못 보일 수 있습니다.

유일한 정상분포가 모든 초기화를 끌어당기지는 않는다

이동이 가능한 경우에는 다음과 같은 귀환 구조가 있습니다.

$$\text{return period}=\begin{cases}1,&r>0,\\1,&r=0,\ p>0,\ q>0,\\3,&r=0\text{ and exactly one of }p,q\text{ is positive}.\end{cases}$$

머무름 고리가 있으면 한 단계 만에 돌아올 수 있습니다. 머무름 없이 양방향 이동이 가능하면 두 단계와 세 단계 귀환이 모두 가능하므로 그 최대공약수는 1입니다. 결정적인 단방향 순환에서는 3의 배수 단계에서만 돌아옵니다. 주기는 상태 간 연결 구조의 성질이지, 애니메이션을 그릴 때 사용한 프레임 수가 아닙니다.

유한한 기약 경우에 주기가 1이면 모든 초기 분포에서 유일한 정상분포로 수렴합니다. 머무름 없는 단방향 경우에는 유일한 균일 정상분포가 있지만 주기가 3입니다. 상태 0에서 시작하면 0,1,2,0을 반복하며 분포가 수렴하지 않습니다. 같은 주기적 체인도 균일하게 초기화하면 처음부터 정상입니다.

항등 전이는 가약적입니다. 각 한 상태 통신류의 주기는 1이지만 비균일 준비는 영원히 비균일하게 남습니다. 필요한 통신 조건이 없으면 주기 1만으로는 충분하지 않습니다. 어떤 극한으로 수렴한다는 말과, 지정한 균일 참조로 수렴한다는 말도 구별하세요. 항등 전이의 분포는 처음 값으로 이미 수렴해 있지만, 그 값이 반드시 균일분포일 이유는 없습니다.

부호를 지우지 않으면서 분포 거리를 측정하자

총변동 거리는 두 분포가 얼마나 다른지 나타냅니다. 균일 참조에 대해서는 다음과 같습니다.

$$\|\mu(t)-\pi\|_{\mathrm{TV}}=\frac12\sum_{i=0}^{2}\left|\mu_i(t)-\frac13\right|.$$

상태 0의 점질량과 균일분포의 거리는 2/3입니다. 편향된 계산 예에서 t=1,2,3의 거리는 각각 1/6,1/24,1/96입니다. 결정적인 단방향 순환에서는 같은 초기화의 거리가 계속 2/3입니다. 항등 전이에서 초기 가중치가 (1,2,7)이면 거리는 11/30으로 남습니다.

각 성분의 부호 있는 편차는 부호를 바꾸거나 상태 사이를 이동할 수 있습니다. 총변동 거리는 절댓값을 취하며, 정상 참조와 같은 Markov 전이를 적용하면 증가하지 않습니다. 성분이 진동하는 것과 총변동 거리가 커지는 것을 혼동하지 마세요. 거리 0은 두 분포가 정확히 같다는 뜻이고, 아주 작은 비영 거리는 그와 다른 사실입니다.

혼합률을 추측하지 말고 상계를 유도하자

이 순환 행렬에서 두 출발 행 사이의 최대 총변동 거리는 간단해집니다.

$$\delta(P)=\max_{i,j}\frac12\sum_k|P_{ik}-P_{jk}|=\max(p,q,r)-\min(p,q,r).$$

예를 들어 첫째와 둘째 행의 거리는 |r−q|, |p−r|, |q−p|의 합의 절반입니다. 실수 세 개에서 이 합은 최댓값의 두 배에서 최솟값의 두 배를 뺀 것과 같습니다. 다른 서로 다른 행 쌍도 같은 결과를 줍니다. 따라서 세 전이 확률의 가장 큰 차이를 계산하면 행들이 얼마나 분리되어 있는지 알 수 있습니다.

이 계수가 왜 유용한지 살펴봅시다. 합이 0인 부호 있는 차이 d=μ−π의 총변동을 M이라고 합시다. M>0이면 양의 부분과 음의 부분을 각각 정규화해서 분포 a,b로 만들 수 있습니다. 그러면 다음 분해를 얻습니다.

$$d=M(a-b),\qquad dP=M\sum_{i,j}a_i b_j\bigl(P_{i\cdot}-P_{j\cdot}\bigr).$$

삼각부등식을 적용하면 오른쪽 총변동은 Mδ(P) 이하입니다. M=0이면 부등식은 바로 성립합니다. 이 논증을 반복하면 다음 상계를 얻습니다.

$$\|\mu(t)-\pi\|_{\mathrm{TV}}\leq\delta(P)^t\|\mu(0)-\pi\|_{\mathrm{TV}},\qquad \delta(P)^0:=1.$$

이는 모든 준비에서 등호가 성립한다는 주장이 아닙니다. 가중치 (7,2,5), 상태 0의 점질량에서는 δ=5/14입니다. 다음 분포는 (5/14,7/14,2/14)이고 거리는 4/21입니다. 상계는 5/21이므로 실제 거리보다 큽니다. p=q=r=1/3이면 δ=0이고 한 단계 뒤에 모든 초기화가 균일해집니다. δ=1인 경우에는 이 상계만으로 수축을 증명할 수 없으므로 실제 전이 구조를 확인해야 합니다.

표시된 확률이 같아도 정확한 차이는 보존하자

허용된 모수가 정수이므로 정규화와 유한 행렬 거듭제곱을 정확한 유리수로 계산할 수 있습니다. 분수는 부호 있는 분자와 양의 분모를 유지합니다. 유리수 경계의 양 끝이 같다는 것은 그 값을 인증하지만, 화면의 소수 표현에 무한히 많은 정확한 자릿수가 있다는 뜻은 아닙니다. 표시된 1/3은 반올림한 투영입니다.

f=s=L, b=L−1, L=1,000,000, D=3L−1인 예를 봅시다. R−를 반시계 방향 순열행렬이라고 하면, 전이 행렬은 모든 원소가 같은 기여에서 R−/D를 뺀 것입니다. 따라서 합이 0인 편차는 매 단계 회전하고 부호가 뒤집히며 D로 나누어집니다.

$$\mu(t)-\pi=\left(-\frac1D\right)^t\bigl(\mu(0)-\pi\bigr)R_-^t,\qquad \|\mu(t)-\pi\|_{\mathrm{TV}}=\frac{2}{3D^t}\quad\text{for }\mu(0)=(1,0,0).$$

t=64의 총변동은 양수이지만 일반적인 부동소수점 선형 표시의 비영 범위보다 작습니다. 정확한 편차가 0이 아닌데도 세 확률이 같은 반올림 값 1/3으로 보일 수 있습니다. 정확한 모형은 이 편차를 유지하고 표시 범위 밖임을 알려야 합니다. 막대가 같아 보인다는 이유로 정확한 정상 상태라고 판단해서는 안 됩니다.

선형 투영을 제공할 수 없을 때 크기의 자연로그는 유용한 근사 표시입니다. 다만 정확한 분수와 부호와는 별도의 정보입니다. 정확한 0에는 유한한 로그 크기가 없으며, 그림을 그리려고 작은 양의 상수를 대신 넣지 않습니다. 작은 부호 있는 전류도 마찬가지입니다. 방향은 색을 칠하는 임계값이 아니라 정확한 분자의 부호로 판단합니다.

가정을 유지한 채 AI 표본추출과 연결하자

MCMC 전이를 제안할 때는 흔히 그 불변분포가 목표와 일치하는지 확인합니다. 이 단원은 한 시점의 히스토그램만으로 경로를 이해하기에 부족하며, 목표 보존만으로 특정 초기화에서의 수렴을 보장할 수 없음을 보여줍니다. 다음 단원에서는 비대칭 제안을 보정해 목표를 보존하는 전이를 구성합니다.

상세평형은 유용한 구성 원리이지만 모든 올바른 표본추출 설계에 필수적인 것은 아닙니다. 순전류가 있다는 사실만으로 알고리즘의 통계적 효율을 평가할 수도 없습니다. 의도한 과제에 맞게 실제 분포 오차, 상태 간 통신 구조와 시간 척도를 비교해야 합니다. 고정된 세 상태 계산이 학습한 전이 규칙, 훈련 중에 바뀌는 과정, 임의의 언어모델 샘플러를 인증하지는 않습니다.

여기 화살표는 이산 전이 한 번당 확률을 나타냅니다. 열 흐름으로 해석하려면 에너지 모형, 저장고와 국소 상세평형 관계가 필요합니다. 경로 비대칭을 물리적 엔트로피 생산으로 해석할 때도 그에 맞는 물리적 가정이 필요합니다. 확률이 순환하는 그림만으로 이러한 결론을 얻을 수는 없습니다.

분포와 흐름을 실제 실험에서 비교하자

먼저 기본 예제의 순방향·역방향·체류 가중치 2,1,1과 초기 가중치 1,0,0을 유지하세요. 전이 횟수 N=3에서 현재 분포는 22/64,21/64,21/64입니다. 물통의 수위에 해당하는 것은 막대이고, 관 사이에 한 단계 동안 흐르는 물에 해당하는 것은 화살표입니다. 두 그림은 같은 양을 그리지 않습니다.

조작	확인할 관측	설명할 질문
‘전이 한 단계’를 누른다	같은 전이와 초기값에서 N만 1 증가하고 현재·다음 분포가 바뀐다	분포 전체를 계산한 결과와 한 입자의 무작위 경로는 어떻게 다른가?
‘정상 참조 흐름 보기’를 켜고 끈다	균일 참조에서는 순방향 1/6, 역방향 1/12의 흐름이 유지된다	수위가 일정해도 순전류 1/12가 남는 이유는 무엇인가?
‘한 방향·주기3’과 ‘한 방향·체류 추가’를 비교한다	귀환 주기, 현재 분포, 균일 참조까지의 거리	정상분포가 존재한다는 사실과 모든 초기값에서 수렴한다는 주장은 왜 다른가?

흐름 전환은 그림의 참조 준비만 바꾸며 입력한 N이나 초기 법칙을 바꾸지 않습니다. 기록 표의 다음 페이지도 요청 시점을 진행시키지 않습니다. 작은 화면에서는 그림 안을 가로로 이동하고, 화살표 두께 대신 흐름 표의 정확한 유리수를 비교하세요. 자동 전이는 고정된 전이와 초기 준비에서 N을 증가시킵니다. 화면 갱신 간격에 물리적 시간 단위를 부여하지 마세요.

먼저 예측하고 계산한 뒤 설명하자

1. 출발 행 읽기

가중치 (2,1,1)에서 상태 0으로 시작합니다. 다음 분포와 가운데 성분의 의미는 무엇인가요?

해설. 정규화하면 p=1/2,q=r=1/4입니다. 0번 행은 (1/4,1/2,1/4)입니다. 가운데 성분은 상태 1에 도착할 확률이며 상태 1에서 출발할 확률이 아닙니다. 세 성분의 합은 1입니다. 행과 열을 바꾸어 읽으면 시계·반시계 방향의 의미까지 바뀌므로 먼저 관례를 확인하세요.

2. 수위를 바꾸지 않는 순환 찾기

같은 가중치의 균일 참조에서 F01,F10,J01과 상태 0의 정상 순유출을 구하세요.

해설. F01=1/6,F10=1/12이므로 J01=1/12입니다. 다른 이웃으로 향하는 순전류가 −1/12이어서 상태 0에서 나가는 합은 0입니다. 대각을 제외한 유입과 유출은 각각 1/4입니다. 머무름은 흐름에 1/12을 기여하지만 반대칭 순전류에는 0을 기여합니다.

3. 정상분포의 가족 확인하기

f=b=0,s=1, 초기 가중치 (1,2,7)로 둡니다. 초기 분포는 정상인가요? 균일 π로 수렴하나요?

해설. P가 항등행렬이므로 (1/10,1/5,7/10)은 처음부터 정상입니다. 모든 분포가 정상입니다. 균일 참조와의 총변동은 11/30이고 그대로 남습니다. 이 준비에서 균일분포는 정상 참조일 뿐 유일한 끌개가 아닙니다. 초기 준비가 변하지 않는 사실과 지정한 참조를 향하는 사실을 구별해야 합니다.

4. 불변성과 수렴 나누기

p=1,q=r=0으로 두고 상태 0에서 시작합니다. t=8에서 분포는 어디에 있나요? 유일한 정상분포가 있다는 사실이 답을 바꾸나요?

해설. 8을 3으로 나눈 나머지가 2이므로 상태 2에 확률이 집중됩니다. 균일분포는 여전히 유일한 정상분포이지만 통신류의 주기가 3이라 점질량 초기화가 그 분포로 수렴하지 않습니다. 총변동은 계속 2/3입니다. 균일하게 초기화했다면 같은 전이에서도 분포가 처음부터 일정했을 것입니다.

5. 수축 상계가 정확한 값인지 검사하기

가중치 (7,2,5)와 상태 0의 점질량을 사용합니다. 실제 한 단계 총변동과 유도한 상계를 비교하세요.

해설. 다음 분포는 (5/14,7/14,2/14)이고 편차는 (1/42,7/42,−8/42)입니다. 따라서 총변동은 4/21입니다. 계수는 5/14, 초기 거리는 2/3이므로 상계는 5/21입니다. 부등식은 엄격합니다. 이 계수를 모든 준비에 대한 정확한 감쇠 인자로 해석하면 안 됩니다.

6. 같아 보이는 확률 표시 진단하기

f=s=1,000,000,b=999,999, 상태 0의 점질량과 t=64를 사용합니다. 모든 표시 확률이 1/3처럼 보이면 총변동을 0으로 바꿔도 될까요?

해설. 안 됩니다. D=2,999,999에서 정확한 총변동은 양수인 2/(3D^64)입니다. 선형 부동소수점 투영이 비영 표시 범위 밖에 있을 뿐입니다. 부호 있는 유리수 편차는 이 준비와 정확한 균일분포를 여전히 구별합니다. 그림의 막대가 겹쳐 보여도 정확한 분수로 비영 거리를 확인할 수 있습니다.

일반 체인과 연구 문제로 이어가기

이 삼각형은 정상이면 상세평형이라는 주장을 반박하는 완전한 유한 반례입니다. 불변 목표, 현재 준비, 정상해의 유일성, 주기성과 정량적인 오차도 나누어 살펴보았습니다. 이 구별은 이어지는 Hastings 보정과 두 상태 혼합 단원에서 다시 필요합니다.

이후에는 비균일 정상 참조, 제한된 지지집합의 전이, 일반적인 통신류, 정량적 혼합 추정, 연속 시간 생성자와 물리 모형의 국소 상세평형으로 나아갑니다. 숨은 상태, 거친 입자화, 시간에 따라 달라지는 학습 커널에는 추가 가정이 필요합니다. 이 유한 예는 그 질문을 정확히 던지는 도구이며, 일반 이론이나 연구 확장을 모두 해결한 것은 아닙니다.