Embedding·Immersion과 Cusp 반례

국소 Rank와 전역 형상은 다른 질문입니다

매끄러운 사상이 immersion이려면 모든 원공간 점에서 미분이 단사여야 합니다. 1차원 원공간에서는 도함수 벡터가 어디서도 0이 아니라는 뜻입니다. embedding은 여기에 원공간과 상 사이의 위상동형 조건도 요구합니다. 국소 미분과 전역 위상을 함께 봐야 합니다.

앞의 두 예제는 θ=π(u+1), u∈[−1,1]의 양 끝을 붙인 원 S¹을 원공간으로 씁니다. 마지막 예제는 실수 전체를 원공간으로 하되 [−1,1]만 그립니다. 원의 매개화 끝점이 반복되는 것을 S¹ 사상의 비단사성으로 잘못 읽지 않도록 원공간을 명시합니다.

원은 Embedding입니다

f(θ)=(cosθ,sinθ)의 θ에 대한 속력은 1이고 u에 대한 속력은 π입니다. 미분 rank는 항상 1입니다. 원공간 S¹에서 일대일 연속이며, compact 원공간과 Hausdorff 목표를 이용하면 상에 대한 위상동형임을 알 수 있습니다.

파랑은 상, 주황은 질의점과 정규화한 비영 접방향입니다. 접선분의 고정 길이는 미분 속력을 나타내지 않으므로 속력은 수치로 읽습니다.

Immersion도 자기 교차할 수 있습니다

figure-eight는 f(θ)=(sinθ,sin2θ)입니다. θ=0과 π가 같은 원점으로 가므로 단사가 아닙니다. 하지만 다음 도함수는 어디서도 0이 아닙니다.

cosθ=0이면 cos2θ=−1이기 때문입니다. 따라서 모든 점에서 immersion이지만 embedding은 아닙니다. 교차하는 두 가지는 서로 다른 원공간 점과 접방향입니다. 상의 교차점에 하나의 접공간을 억지로 주면 이 원공간 정보를 잃습니다.

단사여도 Immersion이 아닐 수 있습니다

cusp c(u)=(u²,u³)는 두 번째 성분의 연속 세제곱근으로 u를 유일하게 복구하므로 실수 전체에서도 상에 대한 위상동형입니다. 그러나 다음과 같습니다.

원점에서 rank가 떨어지므로 이 매개화는 위상적 embedding이지만 smooth embedding은 아닙니다. 실험은 영도함수를 정규화해 가짜 방향을 만들지 않고 그 점에서 접선분을 생략합니다.

직접 풀기와 풀이

cusp에서 u=0과 0.5를 비교하세요. 국소 rank는 0에서 1이 되지만 전역 smooth-embedding 표시는 계속 거짓입니다. 모든 점의 조건은 원점 하나에서 반박됩니다. figure-eight의 θ=0,π에 해당하는 u=−1,0도 비교하세요. 위치는 같고 도함수는 다릅니다.

표현 학습과의 연결

학습한 latent map은 rank를 잃거나, 다른 입력을 같은 점에 보내거나, 이웃 위상을 왜곡할 수 있습니다. 서로 다른 실패 모드입니다. 표본 재구성만으로 모집단 다양체 전체의 smooth embedding을 인증하지 못합니다. 저차원 그림을 보존된 기하로 읽기 전에 미분 조건·원공간의 동일시·전역 단사성 가정을 확인하세요.

추가 읽기: John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds.