이중 진자의 일반화 좌표와 질량 행렬

점 좌표 네 개와 배치 자유도 두 개

고정된 축에 질량 없는 강체 막대 두 개를 연결하고 끝에 점질량을 놓은 평면 이중 진자를 생각합시다. 두 질점의 x, y를 기록하면 숫자가 네 개지만 독립적인 배치 좌표가 네 개는 아닙니다. 막대 길이 두 개가 고정되어 두 개의 독립 구속이 생깁니다.

두 각도로 배치를 표현하고 이를 실제 질점 속도·운동에너지·외력의 일과 연결합니다. 절대각과 상대각 표현을 바꾸어도 물리 상태는 유지해야 합니다. 계산 대상은 한 순간의 배치와 허용 속도, 무차원 배치 변화입니다. 실제 시간에 따른 이중 진자의 운동이나 구속 반력을 적분·계산한 것은 아닙니다.

공식을 가져오기 전에 각도 약속부터 정하기

질량 m1, m2와 길이 l1, l2는 양수입니다. 두 절대각 a, b를 모두 아래쪽 수직선에서 잽니다.

$$\boldsymbol p_1=l_1\begin{pmatrix}\sin a\\-\cos a\end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol p_2=\boldsymbol p_1+l_2\begin{pmatrix}\sin b\\-\cos b\end{pmatrix}.$$

b는 첫 막대와 이루는 상대각이 아닙니다. 상대각으로 유도한 공식을 그대로 넣으면 다른 운동을 계산할 수 있습니다. 양의 길이에서는 이 각도 표현의 국소 미분이 정칙이지만, 각도에 한 바퀴를 더하면 같은 배치가 반복되는 전역 문제는 남습니다.

네 성분의 주변 좌표를 z=(p1x, p1y, p2x, p2y)라 둡니다. 구속은 h1=|p1|²−l1², h2=|p2−p1|²−l2²입니다. 실제 배치 사상은 두 식을 만족합니다. 막대가 나란해졌다는 이유로 구속 하나를 임의로 제거하지 않습니다.

배치 사상을 미분해 속도를 구하기

q=(a, b)에 대한 Jacobian은 다음과 같습니다.

$$J=\begin{pmatrix} l_1\cos a&0\\l_1\sin a&0\\ l_1\cos a&l_2\cos b\\l_1\sin a&l_2\sin b \end{pmatrix}, \qquad\dot z=J\dot q.$$

첫 각속도는 두 질점을 함께 움직이고 둘째 각속도는 첫 질점에 대한 둘째 질점의 운동을 더합니다. 끝점 속도에는 두 막대의 기여가 합쳐집니다. 끝점이 순간 정지했다고 두 각속도가 모두 0인 것은 아닙니다.

길이가 모두 1이고 a=b=0, 절대각속도가 (1, −1)rad/s이면 v1=(1, 0)m/s이지만 v2=(1, 0)+(−1, 0)=0입니다. 이는 그 순간의 상쇄입니다. 이후 실제 운동에서도 끝점이 계속 고정된다고 주장하지 않습니다.

구속의 접공간과 허용 속도

C=∂h/∂z라 두고 h(z(q))=0을 미분하면 다음 항등식을 얻습니다.

$$CJ=0, \qquad C\dot z=0.$$

길이가 양수이면 C의 두 행은 독립입니다. 둘째 행에는 둘째 질점 성분에 대한 영이 아닌 항이 있고 첫째 행은 첫 질점만 제한하기 때문입니다. 주변 차원 4에서 구속의 랭크 2를 빼면 배치 자유도는 2입니다. J의 두 열이 허용 속도 공간을 생성합니다.

이 독립성은 해석적 구조로 설명해야 합니다. 길이 잔차, CJ와 Cv의 수치 값이 작다는 사실은 부동소수점 계산의 일관성 검사이며 독립성 증명 자체를 대신하지 않습니다.

질점 운동에너지를 각도 좌표로 당겨 오기

W=diag(m1, m1, m2, m2)로 두면 직접적인 질점 운동에너지는 다음과 같습니다.

$$K=\frac12\dot z^TW\dot z =\frac12\dot q^TM_{\rm abs}\dot q, \qquad M_{\rm abs}=J^TWJ,$$ $$M_{\rm abs}=\begin{pmatrix} (m_1+m_2)l_1^2&m_2l_1l_2\cos(a-b)\\ m_2l_1l_2\cos(a-b)&m_2l_2^2 \end{pmatrix}.$$

교차항은 둘째 질점의 한 속도에 두 막대의 기여가 합쳐지기 때문에 생깁니다. 추가 질량이나 선택적으로 버려도 되는 보정이 아닙니다. 질량·길이가 모두 1이고 두 막대가 아래로 나란하면 Mabs=[[2, 1], [1, 1]]입니다.

각속도 (1, −1)에서 대각 항의 에너지는 1.5J, 결합 항은 −1J이며 합은 0.5J입니다. 움직이는 첫 질점과 정지한 둘째 질점의 운동에너지 합과 같습니다. 전개한 항 하나가 음수여도 실제 총 운동에너지는 음수가 아닙니다.

질량 행렬이 양의 정부호인 이유

영이 아닌 각속도 방향 ξ에 대해 다음을 사용합니다.

$$\xi^TM_{\rm abs}\xi=(J\xi)^TW(J\xi)>0.$$

질량이 양수여서 W가 양의 정부호이고, 길이가 양수여서 J의 두 열이 독립입니다. 행렬식으로도 확인할 수 있습니다.

$$\det M_{\rm abs}=m_2l_1^2l_2^2\left[m_1+m_2\sin^2(a-b)\right]>0.$$

첫 질량이 양수이면 막대가 나란해져도 행렬이 특이해지지 않습니다. 영 질량·영 길이는 가정을 바꾸거나 물리적 모형의 자유도를 바꿀 수 있으므로 입력에서 거부합니다. 해석적인 양의 정부호 조건과 삼각함수·행렬식·고유값의 수치 평가를 구분하세요.

상대각으로 바꿔도 물리 상태 유지하기

u1=a, u2=b−a로 놓으면 다음 관계를 얻습니다.

$$q=Au, \qquad A=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}, \qquad \dot q=A\dot u, \qquad M_{\rm rel}=A^TM_{\rm abs}A.$$

앞의 나란한 단위 진자에서 상대각속도는 (1, −2)이고 Mrel=[[5, 2], [2, 1]]입니다. 에너지는 여전히 0.5J입니다. 좌표 약속만 바꾸면서 각속도의 두 숫자를 (1, −1)로 유지하면 물리적 속도 자체를 바꾸게 됩니다.

각도 표시를 한 바퀴 범위로 접더라도 각속도에는 나머지 연산을 적용하지 않습니다. a=π, b=−π인 표현에서 상대각이 −2π일 수 있으며, 각속도 차이가 −4rad/s이면 그대로 사용합니다. 위치 좌표의 주기성과 속도 값의 주기성은 같은 주장이 아닙니다.

행렬 고유값은 좌표 불변 에너지가 아니다

단위 질량·길이에서 a=0, b=π/2이면 Mabs=diag(2, 1)입니다. 같은 물리 상태를 상대각으로 쓰면 Mrel=[[3, 1], [1, 1]]입니다. 고유값 목록은 각각 (1, 2), (2−√2, 2+√2)로 다릅니다.

좌표를 바꾸면 기저와 좌표의 유클리드 노름이 바뀝니다. 올바르게 변환한 같은 물리 속도의 스칼라 운동에너지가 유지되는 것이지, 행렬의 모든 성분과 고유값이 유지되는 것은 아닙니다. 학습한 좌표에서 조건수가 개선되었다고 말할 때도 좌표 척도와 물리적 오차의 뜻을 함께 제시해야 합니다.

외력을 가상 일로 변환하기

중력 가속도 g=10m/s²와 직교 좌표의 일정한 끝점 외력 (Fx, Fy)를 사용합니다.

$$f=(0, -m_1g, F_x, F_y-m_2g)^T, \qquad Q_{\rm abs}=J^Tf, \qquad Q_{\rm rel}=A^TQ_{\rm abs}.$$

절대각에서 중력의 일반화 힘은 [−(m1+m2)gl1 sin a, −m2gl2 sin b]입니다. 각도 변화와 곱해서 일을 만드는 양입니다. 이를 상대 관절의 모터 토크와 자동으로 동일시하면 안 됩니다.

일률은 f·ż=Qabs·q̇=Qrel·u̇로 일치합니다. 나란한 단위 진자와 각속도 (1, −1)에 끝점 힘 (3, 0)N을 더하면 Qabs=(3, 3), Qrel=(6, 3)입니다. 두 경우의 일률은 모두 0입니다. 끝점이 순간 정지하며 일반화 힘과 각속도의 내적에서 기여가 상쇄되기 때문입니다.

접선 위의 유한 걸음과 정확한 배치

고정된 시각의 δz=Jδq는 구속에 접합니다. 유한한 ε에 대해 z+εJδq와 정확한 z(q+εδq)는 일반적으로 다릅니다. 뒤의 사상만 막대 길이 구속을 자동으로 만족합니다.

나란한 단위 막대에서 δq=(1, −1), ε=0.5이면 선형 근사의 점들은 (0.5, −1), (0, −2)입니다. h1=h2=0.25m²가 되어 길이 구속을 벗어납니다. 일차 구속 변화가 0이어도 이차 항이 남습니다. 정확한 배치 사상에서는 두 길이가 수치 반올림을 제외하고 유지됩니다.

가상 일 f·δz도 일차량입니다. 외력이 주변 직교 좌표에서 상수이므로 실제 유한 배치 변화와 내적하면 그 탐색 경로의 유한 일을 계산할 수 있습니다. 일차 수직 변화가 0이면 가상 중력 일이 0이어도 유한 일은 0이 아닐 수 있습니다. ε는 시간이 아니며 이 인위적인 배치 변화 경로에서 에너지가 보존되어야 하는 것은 아닙니다.

지금 푼 것과 아직 풀지 않은 것

현재 계산은 기하, 허용 순간 속도, 질량 행렬, 퍼텐셜과 적용한 힘의 일을 제공합니다. 이상적인 구속 반력은 허용 가상 변위에 일을 하지 않지만 반력의 크기는 계산하지 않았습니다. ε를 움직여 실제 미래 궤적을 선택한 것도 아닙니다.

특히 M(q)q̈=Q만으로 일반적인 비선형 이중 진자 운동방정식이 완성되지 않습니다. 속도에 의존하는 기하 항과 힘의 약속을 함께 유도해야 합니다. 다음 Lagrange 방정식 주제에서 이를 연결합니다. AI 동역학에서는 유효한 배치 디코더, 양의 운동에너지 계량, 올바른 힘의 변환을 확인한 뒤 시간 전이의 정확성을 별도로 검증해야 합니다.

해설이 있는 연습 문제

1. 배치 자유도 세기. 왜 질점 좌표 네 개가 독립 좌표 네 개가 아닌가요? 해설: 두 양의 길이 구속이 독립입니다. C의 랭크는 2이고 J의 독립 열이 두 개이므로 두 각도로 국소 배치를 기술합니다.

2. 움직이는 각도와 정지한 끝점. 길이 1, a=b=0, 각속도 (1, −1)로 두세요. 해설: v1=(1, 0), v2=(1, 0)+(−1, 0)=0입니다. 질량도 모두 1이면 직접 계산한 운동에너지는 0.5J입니다. 두 각속도가 모두 0일 필요가 없습니다.

3. 상대각 약속 확인. 앞 예제를 u=(a, b−a)로 바꾸세요. 해설: 상대각속도는 (1, −2), Mrel=[[5, 2], [2, 1]]입니다. K=(5−8+4)/2=0.5J입니다. 절대각의 숫자를 그대로 대입하면 다른 속도를 계산합니다.

4. 영이 아닌 힘 성분과 영 일률. 끝점에 (3, 0)N을 가하세요. 해설: Qabs=(3, 3), Qrel=(6, 3)입니다. 각각 (1, −1), (1, −2)와 내적하면 모두 0이며 정지 끝점의 외력 일률과 같습니다. 힘 성분 하나를 곧바로 일률 하나로 읽지 않습니다.

5. 다른 고유값과 같은 운동에너지. 단위 질량·길이, a=0, b=π/2, 각속도 (1, 1)로 두세요. 해설: v1=(1, 0), v2=(1, 1)이므로 K=1.5J입니다. 두 좌표의 고유값은 (1, 2)와 (2−√2, 2+√2)로 다르지만 속도를 함께 변환하면 같은 스칼라 K를 얻습니다.

6. 일차 구속과 유한 길이. 나란한 단위 막대에서 δq=(1, −1), ε=0.5로 두세요. 해설: 접선 근사는 h1=h2=0.25입니다. 정확한 배치는 (sin(0.5), −cos(0.5)), (0, −2cos(0.5))이므로 두 길이를 만족합니다. 일차 구속 변화 0만으로 유한한 배치의 구속 만족을 결론 내리지 못합니다.

참고 자료와 심화 순서

MIT 강의 13은 일반화 좌표·힘을, 강의 14는 가상 일을 다룹니다. Tedrake의 다물체 역학 교재는 둘째 상대 관절각을 사용합니다. 이 단원의 절대각 예제는 그 약속을 명시적으로 변환합니다. 실제 Lagrange 동역학, 구속 반력 복원, 비홀로노믹 구속과 구조 보존 적분은 후속 주제입니다.