스펙트럼 정리의 적용 조건

고유값을 구하는 것과 고유기저를 얻는 것은 다르다

유한 차원에서도 모든 행렬이 고유벡터 기저를 갖지는 않습니다. 실수 유클리드 내적에서는 수반이 전치이고, 실수 대칭 A=Aᵀ이면 실수 고유값과 직교 고유기저가 존재합니다. 복소 공간에서는 수반이 켤레전치이며 normal 조건 AA=AA가 unitary 대각화의 필요충분조건입니다.

세 행렬로 가정의 역할을 확인하기

실습의 대칭 모형은 A=[[a,c],[c,b]]입니다. 고유값은 (a+b)/2 ± √(((a−b)/2)²+c²)입니다. a=2,b=1,c=.5이면 약 2.207과 .793이며 직교 고유기저로 재구성한 오차는 반올림 수준입니다.

Jordan 모형은 c≠0에서 고유값 a가 두 번 나오지만 고유공간은 1차원이라 대각화되지 않습니다. 회전 생성자 R은 normal이지만 c≠0이면 고유값이 ±ic여서 실수 직교 대각화는 없습니다. 복소 공간에서는 unitary 대각화가 가능합니다. c=0이면 두 반례 모두 퇴화해 실수 대각화가 가능합니다.

그림과 수치를 읽는 법

파랑은 단위 원에 A를 적용한 곡선, 주황은 기준 원입니다. 두 축의 단위 픽셀 길이를 맞춰 형태를 비교합니다. 점은 각각 Ae1와 e1을 표시하므로 영행렬의 상도 원점의 점으로 보입니다. 이 그림만으로 normality를 판정하지 말고 교환자 AᵀA−AAᵀ의 Frobenius 노름을 함께 읽으세요. 실수 직교 분해가 없는 경우 재구성 오차는 —이며 잘못된 분해의 작은 오차를 꾸며내지 않습니다. a,b는 대칭 모형에서 두 대각값이며 Jordan에서는 a만, 회전에서는 c만 사용합니다.

무한 차원에서는 정의역과 스펙트럼 유형도 필요하다

Hilbert 공간의 compact 자기수반 연산자는 kernel의 기저까지 포함해 직교 고유기저로 분해됩니다. 영이 아닌 고유값은 유한 중복도를 가지며 무한히 많다면 0으로만 축적합니다. 하지만 모든 bounded 자기수반 연산자가 고유벡터 기저를 갖는 것은 아닙니다.

L2[0,1]의 곱셈 연산자 Mf(x)=x f(x)는 bounded 자기수반이고 스펙트럼은 [0,1]입니다. 고유방정식 (x−λ)f(x)=0은 거의 모든 곳에서 f=0을 강제하므로 비영 고유함수가 없습니다. 일반 스펙트럼 정리는 projection-valued measure를 사용합니다. Unbounded 사상은 대칭이라는 형식적 계산만으로 자기수반이 되지 않으며 정의역과 수반의 정의역도 비교해야 합니다.

확인 문제와 해설

1. 고유값이 모두 실수면 직교 대각화인가요? 아니요. Jordan 모형이 반례입니다.
2. 회전 생성자가 실수 대각화되지 않으면 nonnormal인가요? 아니요. 복소 고유값을 갖는 normal 행렬입니다.
3. 유한 절단의 고유값이 많아지면 연속 스펙트럼의 고유벡터가 생기나요? 아니요. 이산 근사와 원래 연산자의 스펙트럼을 구분해야 합니다.

추가 읽기: MIT 18.102, Functional Analysis.