강체 막대의 접촉 속도와 충격량

충돌 여부는 접촉점에서 판단한다

강체는 질량 중심이 이동하면서 동시에 회전합니다. 따라서 가장 낮은 끝점의 속도는 질량 중심 속도와 다를 수 있습니다. 질량 중심이 올라간다고 모든 점이 바닥에서 멀어지는 것은 아닙니다. 충격량을 적용할지 결정하려면 실제 접촉점의 법선 속도를 먼저 계산해야 합니다.

이 단원은 균일한 가는 막대가 고정 수평 바닥과 만나는 한 번의 순간 충돌을 다룹니다. 강체의 호환 속도, 선충격량, 각충격량과 에너지 손실을 연결합니다. 이후 비행이나 영 법선 속도에서의 지속 접촉은 아직 풀지 않습니다.

초기 접촉점이 하나인 기하를 고정한다

질량 중심 C를 (0, h), 아래 끝점 O를 (a, 0), 위 끝점을 (−a, 2h)에 둡니다. a≥0, h>0, m>0이며 균일 막대의 길이와 관성모멘트는

$$\ell=2\sqrt{a^2+h^2}, \qquad I=\frac{m(a^2+h^2)}3$$

입니다. 아래 끝점만 바닥에 닿고 나머지 선분은 바닥 위에 있습니다. a나 h를 바꾸면 선언한 막대의 기하와 관성도 바뀝니다. 두 모서리가 동시에 닿는 수평 직사각형에는 다른 접촉 모델이 필요합니다.

순간 충돌 사상은 속도가 뛰는 동안 위치와 방향을 고정합니다. 충돌 전 중심 속도는 (Vx, Vy), 각속도 ω는 반시계 방향이 양수입니다. 바닥 법선은 n=(0, 1), 중심에서 접촉점까지의 벡터는 r=(a, −h)입니다. 접선 충격량은 없고, 중력 같은 유한한 힘은 이상적인 영 지속시간에서 유한 충격량을 만들지 않습니다.

강체 운동과 호환되는 접촉점 속도

평면 강체 운동학으로

$$v_O=V+\omega\, \hat z\times r =(V_x+h\omega, \;V_y+a\omega)$$

입니다. 충돌 전 법선 성분을 c⁻=Vy⁻+aω⁻로 둡니다. c⁻<0이면 접근하는 접촉이므로 양의 법선 충격량을 적용합니다. c⁻≥0이면 이 사상은 충격량을 적용하지 않습니다. 양수는 분리 속도이고 0은 접근하지 않는 경계입니다.

영 법선 속도에서도 이후 동역학에는 접촉 지지력이 필요할 수 있습니다. 충돌 법칙이 비활성이라는 사실만으로 그 힘이나 정적 평형을 판정하지 않습니다.

선충격량과 각충격량을 함께 쓴다

위쪽 법선 충격량을 jn이라 하고 단위는 N s입니다.

$$V_x^+=V_x^-, \qquad V_y^+=V_y^-+\frac{j_n}{m},$$ $$\omega^+=\omega^-+\frac{a j_n}{I}.$$

레버암 a를 곱하면 각충격량이 됩니다. 바닥은 막대의 외부이므로 막대의 벡터 운동량과 질량 중심에 대한 회전 각운동량은 일반적으로 바뀝니다. 이는 외부 충격량에 대한 물리적 반응입니다.

무마찰 조건은 질량 중심의 접선 운동량이 보존된다는 뜻입니다. 회전이 달라지면 끝점 접선 속도 Vx+hω는 변할 수 있습니다. 접선 충격량 0과 끝점 접선 속도 일정은 같은 조건이 아닙니다.

반발계수는 접촉점 법선 속도에 적용한다

접근하는 접촉에서 e∈[0, 1]을 고르고

$$c^+=-e c^-$$

를 요구합니다. 충격량 식을 대입하면

$$c^+=c^-+Wj_n, \qquad W=\frac1m+\frac{a^2}{I}>0,$$ $$j_n=-\frac{(1+e)c^-}{W}$$

입니다. W의 단위는 1/kg이며 역수는 이 접촉에서 보이는 유효 법선 질량입니다. 법선 충격량이 병진과 회전을 함께 만들기 때문에 전체 질량과 다를 수 있습니다.

일반적인 막대에 Vy⁺=−eVy⁻를 적용하면 안 됩니다. 여기서 그 간단한 관계는 a=0처럼 법선 충격량의 회전 결합이 없을 때 성립합니다. 현재 법칙이 제한하는 것은 끝점 법선 속도입니다.

에너지 변화를 직접 유도한다

전체 운동에너지는

$$K=\frac12m(V_x^2+V_y^2)+\frac12I\omega^2$$

입니다. 속도 점프를 대입하면 활성 충돌에서

$$K^+-K^-=j_nc^-+\frac12Wj_n^2 =-\frac{(1-e^2)(c^-)^2}{2W}$$

를 얻습니다. e=1이면 에너지가 병진과 회전 사이에서 재분배되며 합은 보존됩니다. e<1이면 음수가 아닌 손실이 생깁니다. 비활성 분기에서는 속도와 에너지가 모두 그대로입니다.

이 손실은 선언한 반발 사상의 에너지 예산입니다. 온도, 변형의 시간 이력, 내부 손실 기구 사이의 분배까지 예측하지 않습니다. 그런 질문에는 추가 구성 모델이 필요합니다.

보존되는 각운동량의 기준점을 찾는다

고정된 충돌 위치 O에 대한 중심 상대 위치는 C−O=(−a, h)입니다.

$$L_O=I\omega+(C-O)\times mV =I\omega-a mV_y-hmV_x.$$

충격량은 O를 지나므로 O에 대한 충격 토크는 0이고 LO⁺=LO⁻가 정확하게 성립합니다. 질량 중심의 회전 각운동량은 달라도 이 전체 각운동량은 일정합니다. 궤도 항을 빼고 Iω만 검사하면 다른 양을 검사하는 셈입니다.

이는 고정 충돌점에서의 순간 관계입니다. 이후 접촉점이 움직이거나 기준점이 가속하면 미분과 수송 항을 다시 검토해야 합니다.

탄성·비탄성 경계를 주의 깊게 읽는다

탄성 충돌이어도 질량 중심이 위로 튀어야 하는 것은 아닙니다. 회전이 끝점을 위로 열면서 중심 Vy⁺는 여전히 음수일 수 있습니다. 보장되는 것은 접촉점의 출구 법선 속도와 전체 운동에너지 보존입니다.

e=0에서는 c⁺=0입니다. 접선 병진, 각속도와 양의 에너지가 남을 수 있습니다. 법선 속도 하나가 0이라는 조건은 모든 속도가 사라진다는 뜻이 아닙니다. 이후 지지·분리 여부는 지속 접촉 모델의 문제입니다.

수직 막대 a=0은 관성 mh²/3이 양수지만 법선 충격량이 중심을 지나므로 각속도가 바뀌지 않습니다. 이때 입자와 같은 수직 반발 관계를 회복합니다.

접촉 Jacobian으로 일반화한다

일반화 속도를 ν=(Vx, Vy, ω), 접촉 Jacobian을 J=(0, 1, a), 질량행렬을 M=diag(m, m, I)로 두면

$$c=J\nu, \qquad M(\nu^+-\nu^-)=J^\mathsf Tj_n, \qquad W=JM^{-1}J^\mathsf T$$

입니다. 이 식은 유효 접촉 질량의 구조를 보여 줍니다. 현재는 스칼라 법선 접촉 하나와 양의 질량행렬이어서 법선 풀이가 명확합니다. 마찰이나 여러 동시 접촉, 탄성 표면을 더하면 문제를 닫는 법칙도 달라집니다. 접선 법칙을 임의로 덧붙이기 전에 일관성과 에너지 성질을 따로 검토해야 합니다.

기하와 전후 비교를 읽는 방법

이상적인 충돌 전후에서 막대의 위치와 방향은 같습니다. 속도만 바뀌므로 그림을 나중 시각의 궤도로 해석하지 않습니다. 속도 화살표는 m/s, 충격량은 N s이며 각속도와 각운동량도 별도 단위를 사용합니다.

제어값에서 관성·충격량·속도·에너지는 정확한 유리수이고 길이는 수치 제곱근입니다. 반발 잔차는 접근 분기에서만 정의합니다. 비활성 충돌을 반발식의 실패로 표시하지 않습니다.

예제와 해설이 있는 연습문제

1. 상승하는 중심과 접근 끝점. m=a=h=1, V=(0, 1/2), ω=−1, e=1/2입니다. 해설: I=2/3, c⁻=−1/2, jn=3/10입니다. 충돌 후 Vy=4/5, ω=−11/20, c⁺=1/4이며 손실은 3/80입니다. 중심이 올라가도 끝점은 충돌합니다.

2. 탄성 에너지 재분배. m=a=h=1, V=(1, −1), ω=0, e=1입니다. 해설: W=5/2, jn=4/5, Vy⁺=−1/5, ω⁺=6/5, c⁺=1입니다. 중심은 내려가지만 접촉은 열립니다. 전후 K는 1로 같고 병진·회전 사이 분배가 달라집니다.

3. 법선 속도의 비탄성 정지. 앞 예제에서 e=0으로 두세요. 해설: jn=2/5, Vy⁺=−3/5, ω⁺=3/5입니다. 끝점 법선 속도는 0이어도 K⁺=4/5와 Vx=1이 남습니다. 손실은 1/5이고 이후 지속 접촉은 아직 풀지 않았습니다.

4. 정확한 접근 경계. a=1, Vy=−1, ω=1입니다. 해설: c⁻=0이므로 허용되는 모든 e에서 jn=0입니다. 질량 중심은 내려가지만 끝점 법선 속도는 0입니다. 이후의 지지력은 연속 접촉 계산에서 구해야 합니다.

5. 수직 극한. m=4, a=0, h=3, Vy=−2, ω=2, e=1입니다. 해설: I=12, W=1/4, jn=16이며 Vy⁺=2, ω⁺=2입니다. 레버암이 0이므로 법선 충격량의 회전 토크가 없습니다.

6. 끝점 접선 속도. 두 번째 탄성 예제로 돌아가세요. 해설: 접선 충격량 0이므로 Vx=1은 유지됩니다. 그러나 끝점 접선 속도는 hω 때문에 1에서 11/5로 바뀝니다. 바닥 접촉점에 대한 각운동량은 회전·궤도 항이 보상되어 0을 유지합니다.

연구 연결과 원자료

학습한 시뮬레이터가 중심 속도만으로 충돌을 분류하면 잘못된 분기를 고를 수 있습니다. 다른 기준점의 각운동량을 보존시키거나 반발계수를 다른 속도에 적용하거나 e=0에서 모든 운동을 지우는 오류도 구분해야 합니다. 접촉 운동학·충격량·에너지·올바른 기준점의 각운동량을 따로 평가하세요.

일반적인 질량행렬과 접촉 Jacobian 구조는 MIT Underactuated Robotics의 접촉·충돌 설명을 참고하세요. 단일 막대 기하·무마찰 법칙·정확 제어값과 위 예제는 이 단원에서 별도로 선언한 실험입니다. 다음 단원은 명시적인 접선 마찰 법칙으로 바퀴의 연속 구름·미끄럼을 풉니다.