체류시간과 방문·시간 점유

방문 횟수를 셀까, 시간을 잴까?

아래 실습은 독립 대조한 유한 모형을 비교합니다. 정확한 값·인증 구간·표시용 근사를 구별하며 읽으세요.

세 기계가 작업을0에서1,2,다시0으로 전달한다고 합시다. 한 바퀴를 완성할 때 각 기계를 한 번씩 방문합니다. 그래도 기계0이 다른 기계보다 작업을 훨씬 오래 보관할 수 있습니다. 인계 순간에만 작성한 로그에는 방문 횟수가 같게 나타납니다. 임의의 물리적 시각에 작업 위치를 확인하는 시계에는 점유가 다르게 나타납니다.

이 예제는 실제 점프 순간의 사슬과 연속시간 상태 법칙을 구별합니다. AI가 이벤트 로그로 학습할 때도 관찰을 기록하는 규칙이 추정 대상의 분포를 바꿀 수 있습니다. 다만 이는 수학적 예시이며 모든 실제 로그가 Markov 모형을 따른다는 주장은 아닙니다.

세 상태·시간에 무관한 비음수 상태별 이탈률·시계 방향 다음 상태·지수 체류시간·Markov 성질을 가정합니다. 행벡터 법칙과 초 단위 시간을 사용합니다. 에너지나 열저장고는 지정하지 않습니다. Levin–Peres2판20.1절의 전이율·체류시간 구성을 바탕으로, 이 고리의 점유와 흡수 결과를 직접 유도합니다.

다음 목적지와 대기 법칙을 함께 지정한다

상태 i의 이탈률은 r_i이며 단위는 s^−1입니다. r_i>0이면 체류시간 Hi는 지수 분포이고 다음 실제 상태는 i+1을3으로 나눈 나머지입니다. 평균1/r_i를 결정적인 지연 시간으로 해석하지 않습니다.

$$\Pr(H_i>t)=e^{-r_it},\qquad \mathbb E[H_i]=\frac1{r_i}\quad(r_i>0).$$

r_i=0이면 입자는 그 상태에서 나가지 않습니다. 체류시간은 무한입니다. 다음 실제 점프가 없으므로 다음 점프의 확률 행은 정의되지 않습니다. 확률1의 자기 점프를 끼워 넣으면 세는 대상이 달라집니다. 영원히 머무르는 것은 실제 점프를 무한히 하는 것이 아닙니다.

        Exp(r0)          Exp(r1)          Exp(r2)
    0 ------------> 1 ------------> 2 ------------> 0

    실제 방문: 한 바퀴를 완성하면 각 상태에 한 번씩 방문합니다.
    물리적 시간: 방문할 때마다 무작위 체류시간을 더합니다.

생성자는 전이율을 담습니다. 모든 전이율이 양수일 때 실제 점프 커널 J는 결정적인 다음 목적지를 담습니다. 단위와 역할이 다른 행렬입니다.

$$Q=\begin{pmatrix}-r_0&r_0&0\\0&-r_1&r_1\\r_2&0&-r_2\end{pmatrix},\qquad J=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix},\qquad \mu(t)=\mu_0e^{tQ}.$$

정상 흐름으로 시간 점유를 유도한다

먼저 모든 전이율이 엄밀히 양수라고 합시다. 정상 상태에서는 각 상태로 들어오는 확률과 나가는 확률이 같아야 합니다. 이 방향성 고리에서는 같은 정상 전류가 모든 변을 통과합니다.

$$\pi_0r_0=\pi_1r_1=\pi_2r_2=c,\qquad \pi_i=\frac{1/r_i}{\sum_{j=0}^{2}1/r_j},\qquad c=\frac1{\sum_{j=0}^{2}1/r_j}.$$

이는 전체 수지이며 쌍별 상세평형은 아닙니다. 역방향 전이율은 모두0이지만 시계 방향 정상 전류는 양수입니다. 균일 법칙은 J에 대해 정상이지만 일반적으로 Q에 대해서는 정상이 아닙니다.

전이율1,2,4에서 평균 체류시간은1,1/2,1/4초이고 합은7/4초입니다. 정규화한 시간 점유는(4/7,2/7,1/7)입니다. 방향성 변 전류는 초당4/7, 정상 상태에서 전체 실제 점프의 평균 전이율은 초당12/7입니다.

가장 느린 상태가 가장 큰 시간 지분을 차지합니다. 그 상태로 향하는 추가 힘이 생겼다는 뜻은 아닙니다. 한 바퀴마다 방문은 여전히 한 번입니다. 오래 머물기 때문에 보통의 물리적 시각에 관찰하면 거기 있을 가능성이 높습니다.

점프 빈도와 분포 수렴을 구별하며 유도한다

모든 전이율이 양수이면 실제 점프 상태의 순서는 결정적으로 순환합니다. 많은 바퀴를 완성하면 각 상태의 방문 비율은1/3으로 갑니다. 따라서 J의 정상 방문 법칙 nu는 균일합니다.

$$\nu_i=\frac13,\qquad \pi_i=\frac{\nu_i/r_i}{\sum_j\nu_j/r_j},\qquad \nu_i=\frac{\pi_i r_i}{\sum_j\pi_jr_j}.$$

가중은 양방향으로 이해할 수 있습니다. 방문 빈도를 시간 지분으로 바꾸려면 평균 체류시간을 곱하고 정규화합니다. 시간 지분을 출발 빈도로 바꾸려면 해당 상태의 이탈률을 곱하고 정규화합니다.

이 관계는 다루는 상태의 이탈률이 양수인 양의 재귀 과정을 전제합니다. 흡수 상태에1/r_i를 적용하면0으로 나누게 되고, 무한히 이어지는 점프열과 끝나는 점프열의 차이를 잃습니다.

정확히 k번 점프한 뒤의 분포는 수렴하지 않을 수 있습니다. 상태0에서 출발하면 주기3의 열입니다. 그래도 장기 경험적 방문 빈도는 균일할 수 있습니다. 반면 이 기약 유한 연속시간 법칙은 pi로 수렴합니다. 분포의 극한과 평균 횟수의 극한은 다른 명제입니다.

평평한 곡선을 해석하기 전에 초기값을 확인한다

전이율1,2,4에서 초기 법칙(4/7,2/7,1/7)은 물리적 시간에 대해 정상입니다. 상태 확률은 일정하지만 개별 입자는 계속 점프합니다. 정상 앙상블이 모든 입자의 정지를 뜻하지 않습니다.

균일하게 출발하면 점프 관찰에서 자연스러운 같은 무게를 주지만 연속시간 법칙은 정상이 아닙니다. 초기 미분은 초당(1,−1/3,−2/3)입니다. 빠른 상태2로부터 들어오는 출발을 받는 반면 느리게 나가는 상태0의 질량이 늘어납니다.

이 미분은 긴 모의실험을 기다리지 않고 mu0 Q로 확인하는 즉각적인 진단입니다. 반올림 해상도에서 그래프가 평평해 보이는 것으로 정확한 정상 조건을 대체하지 않습니다.

관찰 규칙	전이율1,2,4의 극한 무게	측정 대상
많은 실제 점프 순간	1:1:1	방문 횟수
긴 물리적 시간의 점유	4:2:1	체류 길이
정상 물리적 초기화	모든 시각에4:2:1	점프가 계속되는 앙상블 주변 법칙

극한에 앞서 하나의 흡수 상태를 처리한다

r0=0이고 r1,r2>0이면 상태0은 흡수 상태입니다. 다른 모든 상태는 시계 방향 경로를 따라 결국0에 도달합니다. 유일한 정상 법칙은0에 집중되며 모든 초기 법칙이 이곳으로 수렴합니다. 실제 점프열의 점프 횟수는 거의 확실히 유한합니다.

상태1에서 흡수되려면1에서 기다리고2에서 다시 기다려야 합니다. 평균 흡수시간은 두 평균 체류시간의 합입니다. 흡수 상태에서 출발하면 평균 흡수시간은 무한이 아니라0입니다. 이미 흡수되었기 때문입니다. 그 이후의 체류시간이 무한인 것과 다른 질문입니다.

$$\mathbb E_1[T_{\mathrm{abs}}]=\frac1{r_1}+\frac1{r_2},\qquad \mathbb E_2[T_{\mathrm{abs}}]=\frac1{r_2},\qquad \mathbb E_0[T_{\mathrm{abs}}]=0.$$

r1=2,r2=4이면 첫 평균은3/4초입니다. 무작위 길이에 대한 평균이지 모든 입자가0.75초에 도착한다는 말이 아닙니다.

여러 상태가 흡수하면 정상 가족을 유지한다

r0=r2=0,r1>0이면0과2가 모두 흡수 상태입니다. 상태1에서 출발하면 실제 점프 한 번 뒤에2로 갑니다. 상태0에서 출발하면0에 머뭅니다.0과2에 지지된 모든 확률 혼합은 정상입니다. 모든 초기값에 공통인 유일 정상 법칙은 없습니다.

초기 법칙(w0,w1,w2)에서 선택되는 장기 극한은(w0,0,w1+w2)입니다. 초기 무게2,3,5이면(0.2,0,0.8)입니다. 역전이율을 정규화한 결과가 아니라 초기 흡수 유역에 의존한 결과입니다.

일반적으로 영 이탈률이 있는 이 고리의 정상 법칙은 영 이탈률 상태들에 지지된 모든 확률 법칙입니다. 양의 전이율 상태는 시계 방향으로 처음 만나는 흡수 상태에 도달합니다. 모든 전이율이0이면 모든 초기 법칙이 정상이고 실제 점프는 없습니다.

양의 우세 시계는 흡수 상태에서도 허구 사건을 만들 수 있습니다. 그 사건으로 실제 출발을 만들어 내거나 정상 가족을 제거해서는 안 됩니다.

잠재 사건은 실제 방문이 아니라 계산 방법으로 사용한다

상수 시계 전이율 lambda를 max r_i 이상으로 고릅니다. 대각이 현재 상태에 의존하는 잠재 사건 커널 R을 정의합니다. 느린 상태는 제안된 이동을 더 많이 거절합니다.

$$R_{ii}=1-\frac{r_i}{\lambda},\qquad R_{i,i+1}=\frac{r_i}{\lambda},\qquad Q=\lambda(R-I).$$

R은 자기 사건을 포함합니다. 실제 점프만 기록하고 흡수 상태에서 행이 정의되지 않을 수도 있는 J와 다릅니다. Poisson 혼합 구성은 물리적 법칙에 대해 여전히 유효합니다. 절단 M에서는 부분 확률 벡터 v_M과 누락 Poisson 질량 tau_M을 얻습니다.

$$v_M=e^{-\lambda t}\sum_{k=0}^{M}\frac{(\lambda t)^k}{k!}\mu_0R^k,\qquad 0\le\mu_j(t)-(v_M)_j\le\tau_M,\qquad \tau_M=\Pr\{\operatorname{Poisson}(\lambda t)>M\}.$$

공유 계산은 정확한 유리수 조건부 벡터·방향성 지수 구간·양의 꼬리 급수를 사용합니다. 보존한 벡터를 몰래 정규화하지 않습니다. 작은 절단에서는 별도 정상성·흡수 논증으로 정확한 법칙을 알아도 성분 구간이 넓을 수 있습니다.

Q,t,mu0를 고정하고 lambda를 바꾸면 표현과 절단 비용이 달라질 뿐 물리적 법칙은 같습니다. 절단은 수치 좌표이고 물리적 시간은 다른 좌표입니다. 이 확률 계산에서 무작위 표본 경로를 만들지는 않습니다.

이탈률이 다르면 횟수 통계도 달라진다

모든 전이율이 양수인 정상 상태에서 단위 시간당 실제 출발의 평균은 시간 점유로 가중한 이탈률입니다. 이 고리에서는 평균 완전 순환시간으로3을 나눈 값입니다.

$$\bar r=\sum_i\pi_i r_i=\frac3{\sum_i1/r_i},\qquad \mathbb E_\pi[N_t]=t\bar r.$$

이 식은 정상 초기화에서의 기대값을 줍니다. Nt가 Poisson임을 증명하지 않습니다. 이탈률이 다르면 연속 점프 사이의 길이는 순환 순서에 따라 다른 지수 전이율을 가집니다. 한 바퀴 시간은 그 지수 변수들의 합이며 일반적으로 하나의 지수 변수가 아닙니다.

모든 이탈률이 같은 r이면 실제 점프 간격은 전이율 r의 독립 지수 변수이고 횟수는 Poisson(rt)입니다. 모든 전이율이0이면 퇴화한 영 횟수입니다. 이탈률이 다르면 모든 초기 상태에 유효한 하나의 동질 Poisson 횟수 법칙은 없습니다. 이 실습은 임의의 과도 초기값에서 rt를 표시하지 않습니다.

이벤트만 관찰하면 무엇을 알 수 없는가

연속한 상태 이름만 담은 로그에는 모든 양의 전이율 삼중항에서 같은 결정적 시계 방향 순서가 나타납니다. 이 로그로 체류율을 식별할 수 없습니다. 모든 전이율에 같은 상수를 곱해도 시간 점유 비는 그대로지만 물리적 완화와 회전 속도는 달라집니다.

완전히 관찰한 경로에서 전이율을 추정하려면 시간 정보가 필요합니다. Ni가 상태 i의 출발 횟수이고 Ti가 관찰한 총 체류시간이면 전이율에 의존하는 로그 가능도는 다음 항들을 포함합니다. 마지막에 끝나지 않은 체류도 출발 횟수는 늘리지 않지만 노출 시간에는 포함됩니다.

$$\ell(r)=\sum_i\left(N_i\log r_i-r_iT_i\right)+\text{constant},\qquad \widehat r_i=\frac{N_i}{T_i}\quad(T_i>0).$$

로그 식은 양의 전이율에서 쓰며 영 전이율 경계는 극한으로 처리합니다. 출발이 없을 때0 log0의 기여는0으로 둡니다. 이는 경로 관찰에 관한 계산이며 현재 실습에서 구현한 추정기는 아닙니다. Ti=0이면 이 식으로 해당 전이율을 식별할 수 없습니다. Ni=0,Ti>0이면 비음수 전이율 범위의 최대값은0에 있지만, 유한 시간에 점프를 보지 못했다고 참 전이율이 정확히0임을 증명한 것은 아닙니다. 표본 불확실성과 모형 가정이 여전히 중요합니다.

조작과 비교

실제 입력은 세 유리수 이탈률0..5/s, 우세 잠재 시계0..10/s, 물리적 시간0..10s, 합이 양수인 비음수 초기 무게, 절단0..256입니다. 계산량을 제한하는 범위이며 교육 분량이나 수학 이론의 한계가 아닙니다. 부적절한 시계와 잘못된 정수 원문은 마지막 유효 준비를 유지해야 합니다.

비교	고정 또는 조작	읽고 설명할 것
균일 방문과 시간 점유	전이율1,2,4에서 두 초기값 비교	점프 빈도·평균 체류·pi·초기 정상성
하나 또는 둘의 흡수 상태	선택한 이탈률을0으로 설정	정의되지 않은 다음 점프 행·유일 법칙 또는 정상 가족·선택 극한
두 잠재 시계	물리적 생성자와 시간 고정	같은 물리적 법칙·다른 허구 사건 확률과 절단 오차
전체 시간 척도 변경	모든 전이율과 시계를 절반으로 하고 시간을 두 배로	같은 무차원 물리 질문·두 배가 되는 체류와 순환 평균

전이율 고리·방문/시간 점유 막대·실제/잠재 커널 표·성분 인증 구간을 함께 읽으세요. 물리 시간 순회는 앙상블 질문을 바꾸며 평균 체류를 결정적 카운트다운으로 그리지 않습니다.

해설과 함께 확인하기

1. 두 점유 법칙을 계산한다

전이율1,2,4에서 장기 점프 방문 법칙과 물리적 시간 법칙을 구하세요.

해설. 완전한 실제 점프 순환마다 세 상태를 모두 방문하므로(1/3,1/3,1/3)입니다. 평균 체류1,1/2,1/4를 정규화하면(4/7,2/7,1/7)입니다. 각각의 관찰 규칙에 대해 모두 올바른 답입니다. 서로 바꾸면 데이터의 의미가 달라집니다.

2. 자연스러워 보이는 초기값을 검사한다

전이율1,2,4에서 균일 초기 법칙이 정상인가요? 미분을 계산하세요.

해설. (1/3,1/3,1/3)에 Q를 곱하면 초당((4−1)/3,(1−2)/3,(2−4)/3)=(1,−1/3,−2/3)입니다. 미분 합이0이므로 질량은 보존하지만 영벡터가 아닙니다. 같은 초기 무게가 정상 물리적 시간 법칙을 뜻하지 않습니다.

3. 체류시간과 흡수시간을 구별한다

r0=0,r1=2,r2=4이고 상태1에서 출발합니다. 평균 흡수시간은 얼마인가요? 상태0에서 출발하면 어떤가요?

해설. 상태1에서 평균1/2초를 기다리고2로 이동한 뒤 평균1/4초를 기다리고0에 들어가므로3/4초입니다.0에서 출발하면 흡수시간은0입니다. 그 이후의 체류시간은 무한이지만 다른 무작위 변수입니다.

4. 흡수 가족에서 초기값을 유지한다

r0=r2=0,r1=2이고 초기 무게는2,3,5입니다. 선택되는 장기 법칙과 평균 흡수시간을 구하세요.

해설. 초기 질량0.2는0에,0.5는2에 남고1의 질량0.3은2로 갑니다. 극한은(0.2,0,0.8)입니다. 초기 상태1의 질량만 흡수 전에 평균1/2초 기다리므로 앙상블 평균은0.3×0.5=0.15초입니다. 영 이탈률로 나누지 않습니다.

5. 관찰로 전이율 척도를 식별한다

점프 상태 이름이나 정상 시간 지분만으로 전체 전이율 삼중항을 결정할 수 있나요?

해설. 시계 방향 상태 이름은 모든 양의 삼중항에서 같은 점프 순서입니다. 시간 지분은 역전이율의 비를 정하지만 모든 전이율에 c를 곱해도 지분이 같습니다. 공통 배율을 정하려면 시간 길이나 보정된 다른 시간 척도가 필요합니다. 유한 표본에서는 통계적 불확실성도 평가해야 합니다.

6. 평균만으로 횟수 분포를 정하지 않는다

전이율1,2,4의 정상 상태에서1초간 기대 점프 횟수는12/7입니다. 횟수가 Poisson(12/7)이라는 뜻인가요?

해설. 아닙니다. 기대값은 정상 출발률을 적분한 결과입니다. 실제 대기시간은 단일 상수 전이율이 아니라 지수 전이율1,2,4를 번갈아 가집니다. 한 모멘트의 같음으로 분포를 식별할 수 없습니다. 상수 잠재 시계는 여전히 Poisson이지만 자기 사건을 포함하여 다른 대상을 셉니다.

이 master equation 구성들은 Fokker–Planck 방정식과 응답 이론으로 가기 전에 밀도 진화·확률 전류·물리적 관찰의 차이를 준비합니다.