극좌표의 Hamiltonian과 Legendre 사상

운동량으로 궤적을 설명하는 이유

자유 입자는 일정한 직교 속도로 직선을 따라 움직인다. 극좌표에서는 반지름 속도와 각속도가 모두 변할 수 있다. 앞 단원은 이 변화를 Lagrange 방정식으로 설명했다. 이제 속도 변수를 라그랑지안을 미분하여 얻는 정준 운동량으로 바꾼다.

이 과정에서는 편미분할 때 어느 변수를 고정하는지가 중요하다. 같은 운동에너지도 각속도로 표현할 때와 각운동량으로 표현할 때 반지름 미분이 달라진다. Hamilton 방정식은 정준 운동량을 독립적인 위상공간 좌표로 사용한다.

정규 좌표 영역을 먼저 정하기

평면의 양의 질량 m>0과 중심 위치에너지 U=kr²/2, k≥0을 고려하자. 반지름 r>0이고 각도 θ는 양의 x축 기준인 국소 극좌표를 사용한다.

$$L(r,\theta,\dot r,\dot\theta) =\frac m2(\dot r^2+r^2\dot\theta^2)-\frac k2r^2.$$

반지름은 m, 반지름 속도는 m/s, 각속도는 rad/s 단위다. 좌표를 일대일로 사용하려면 각도의 국소 분기도 정해야 한다. 주각이 분기선을 넘으며 바뀌어도 실제 위치는 매끄럽게 움직일 수 있다. 각도 표현의 반복과 원점에서의 역변환 실패는 다른 문제다.

아래 공식은 양의 반지름에서 적용한다. r=0에 임의의 각도나 작은 양의 반지름을 넣어 극좌표 영역을 확장하지 않는다.

속도 인자에 대해 미분하기

정준 운동량은 L의 속도 편미분이다.

$$p_r=\frac{\partial L}{\partial\dot r}=m\dot r, \qquad p_\theta=\frac{\partial L}{\partial\dot\theta}=mr^2\dot\theta.$$

반지름 운동량의 단위는 kg m/s, 각도 운동량의 단위는 kg m²/s다. 서로 다른 좌표 변화와 일을 이루는 양이므로 어떤 점에서 숫자가 같아도 같은 물리량은 아니다.

이번 자연 중심력 모델에서 pθ는 실제 수직 각운동량 m(x vy−y vx)와 같다. pr은 직교 기계적 운동량을 바깥 반지름 기저에 투영한 값이다. 직교 운동량 벡터가 일정해도 기저가 회전하면 투영값은 변할 수 있다.

속도 사상을 역으로 풀기

r>0을 고정하면

$$\dot r=\frac{p_r}{m},\qquad \dot\theta=\frac{p_\theta}{mr^2}.$$

속도 헤시안은 diag(m,mr²)이고 행렬식은 m²r²이다. 이번 정규 영역에서 양의 정부호이며 역을 구할 수 있다. 대각 성분의 단위는 각각 kg, kg m²이고 행렬식은 kg²m²다. 단위가 다른 성분을 모은 행렬의 고유값을 불변의 물리 크기로 해석하지 않는다.

이 양의 이차식은 정규 위치를 고정한 각 속도 공간에서 유일한 역을 가진다. 일반적인 역학 Legendre 사상은 국소적으로 적절한 비특이성 조건이 필요하며, 여기의 양의 정부호 헤시안은 충분조건이다. 전역적인 각도 유일성은 여전히 별도 좌표 문제다.

Legendre 변환 수행하기

H=pr rdot+pθ thetadot−L를 정의하고 두 속도를 운동량으로 제거하면

$$H(r,\theta,p_r,p_\theta) =\frac{p_r^2}{2m}+\frac{p_\theta^2}{2mr^2}+\frac k2r^2.$$

모든 항은 J 단위다. H의 독립변수는 위치와 정준 운동량이다. 속도를 독립변수로 남겨 둔 다른 표현과 구분한다. 이번 자율적인 자연 라그랑지안에서는 H가 물리적 기계 에너지 K+U와 같다.

Legendre 구성은 함수와 독립변수를 결정한다. 이를 물리적 에너지와 같다고 해석하는 데에는 모델의 성질이 필요하다. 다음 단원에서는 보존되는 기계 에너지와 Hamiltonian이 다른 시간 의존 게이지 표현을 구체적으로 계산한다.

네 일계 방정식 유도하기

Hamilton 방정식 qdot=∂H/∂p, pdot=−∂H/∂q를 적용한다.

$$\dot r=\frac{p_r}{m},\qquad \dot\theta=\frac{p_\theta}{mr^2},$$ $$\dot p_r=\frac{p_\theta^2}{mr^3}-kr,\qquad \dot p_\theta=0.$$

앞의 두 식은 m/s와 rad/s 단위이고 뒤의 두 식은 힘 N과 토크 N m 단위다. 앞에서 얻은 이계 Lagrange 방정식과 같은 물리계를 설명한다.

직접 확인하려면 pr=m rdot를 미분하고 pθ=mr²thetadot를 대입한다. 반지름 식은 rddot=r thetadot²−kr/m이 된다. pθ를 미분하면 r²thetaddot+2r rdot thetadot=0이다. 곱의 미분에서 나온 2는 사라진 것이 아니라 운동량과 속도의 관계 안에 들어 있다.

편미분에서는 정준 운동량을 고정한다

∂H/∂r를 계산할 때 pr과 pθ를 고정한다. 그러면 각운동 에너지 항의 반지름 미분은 −pθ²/(mr³)이고 prdot에는 양의 기여를 준다.

각운동 에너지를 mr²thetadot²/2로 쓰고 각속도를 고정하여 미분하면 부호가 반대다. 독립변수를 달리한 표현의 편미분을 계산했기 때문이다. Hamilton 방정식에는 속도를 먼저 제거해야 한다. 뉴턴 역학과 Hamilton 역학이 충돌하는 것이 아니다.

자유 직교 운동의 계산 예제

m=1,k=0,초기 x=(1,0),v=(1,1)로 두자. 처음에는 r=1,rdot=1,thetadot=1이므로 pr=1 kg m/s,pθ=1 kg m²/s,H=1 J다. Hamilton 방정식은 prdot=1 N,pθdot=0을 준다.

1초 뒤 위치는 (2,1)이고 r=√5,pr=3/√5,thetadot=1/5이다. pθ는 여전히 1이다. 반지름·각운동 에너지는 각각 9/10 J와 1/10 J로 합하면 같은 H=1 J다.

반지름 운동량 변화율이 비영이라고 직교 힘이 비영인 것은 아니다. pr이 사용하는 기저가 회전한다. 앞 단원의 가속도 공식에는 그 기하 보정이 함께 들어가 실제 직교 가속도는 0이다.

원운동의 계산 예제

m=1,Ω=π/2,k=π²/4,반지름 1,초기 반지름 속도 0,초기 각속도 Ω로 두자. pr=0,pθ=π/2이며

$$\frac{p_\theta^2}{mr^3}=kr=\frac{\pi^2}{4}.$$

prdot의 두 항이 상쇄된다. 반지름은 일정하고 각속도는 π/2이며 H=π²/4 J다. 각운동 에너지와 위치에너지는 각각 π²/8 J다. pr과 prdot가 모두 0이어도 실제 구심 가속도는 비영이다.

각속도 부호를 바꾸면 pθ와 진행 방향이 반대가 된다. H는 pθ²에 의존하므로 에너지와 반지름 힘 평형은 같다. 실제 운동 방향에는 운동량의 부호 정보가 필요하다.

각운동 에너지의 하한과 원점 통과

유한한 H에서 pθ≠0이면 다른 에너지 항의 비음수성으로

$$H\geq\frac{p_\theta^2}{2mr^2},\qquad r\geq\frac{|p_\theta|}{\sqrt{2mH}}>0.$$

이는 각운동 기여에서 얻은 하한이며 정확한 전환 반지름과 반드시 같지는 않다. m>0,k≥0,pθ≠0을 가정하며 이때 H>0도 성립한다.

pθ=0인 반지름 운동은 직교 원점을 통과할 수 있다. x=(cos(πt/2),0)은 t=1에서 속도 (−π/2,0), 에너지 π²/8 J로 통과한다. 이때 pθ²/r²를 포함한 극좌표 표현은 정의역 밖이다. 0/0을 0으로 바꾸면 존재하지 않는 정준 좌표 상태를 만들어 낸다.

모델은 물리적 에너지와 직교 각운동량을 유지하면서 극좌표 정준 상태를 미정으로 반환하고 곡선을 분리한다. 출력 샘플 사이의 해석적 통과 시각도 삽입한다. 바깥 반지름 기저가 반대쪽으로 바뀌면 pr의 극한 부호가 뒤집힐 수 있다. 그 틈을 선으로 이으면 직교 운동에 없는 충격을 암시하게 된다.

위상 그림의 단위 읽기

반지름 위상 그림의 한 축은 r의 m, 다른 축은 pr의 kg m/s다. 위치 공간의 궤적과는 다르다. 각운동량과 각속도도 서로 다른 단위로 표시하며 한 노름으로 섞지 않는다.

구현은 독립 검증한 직교 해석해를 재사용하고 새로운 정준량을 계산한다. 별도의 Hamilton ODE 적분기를 실행하지 않는다. 삼각함수·역사상 잔차·Legendre 차이는 소수 계산이다. 최대 샘플 잔차는 표시된 시점의 관측값이며 모든 연속 시각의 보증은 아니다.

초기 조절값은 Ω=πf/4,k=mΩ² 약속을 유지한다. f가 같을 때 질량을 바꾸면 강성도 함께 바뀌어 고유 진동수가 유지된다. 초기 각속도 코드와 조회 시각의 의미도 앞 극좌표 단원과 같다.

해설이 있는 연습 문제

1. 자유 운동 예제의 1초 뒤 운동량은? 해설: pr=m rdot=3/√5 kg m/s이고 pθ=m(x vy−y vx)=1 kg m²/s다. 단위가 다르므로 두 숫자를 같게 두지 않는다.
2. 같은 예제의 초기 ∂H/∂r를 계산하자. 해설: 정준 운동량을 고정하면 −pθ²/(mr³)=−1 N이므로 prdot=1 N이다. 각속도를 고정하면 다른 편미분을 계산하게 된다.
3. 원운동에서 prdot가 0인 이유는? 해설: 각운동 에너지 미분의 π²/4 N과 위치에너지 미분의 −π²/4 N이 상쇄된다. 반지름은 일정하지만 실제 가속도는 구심 방향이다.
4. f와 초기 좌표 데이터를 유지하며 질량을 두 배로 하면? 해설: 실제 궤적은 같고 강성·두 운동량·H는 두 배가 된다. 헤시안 행렬식 m²r²는 네 배다.
5. 반지름 원점 통과에서 pθ²/r²로 H를 정의해도 되는가? 해설: 아니다. 직교 에너지는 유한하지만 그 좌표 표현은 미정이다. 정준 상태를 미정으로 표시하고 곡선 조각을 분리한다.
6. 각운동 에너지 하한이 모든 궤적의 정확한 최근접 거리인가? 해설: 아니다. 비음수인 반지름 운동에너지와 위치에너지를 버린 부등식이다. 비영 각운동량의 진입 제한을 주며 정확한 전환점은 전체 에너지 식으로 구한다.

연구 연결과 참고 자료

속도 관측으로 동역학을 학습할 때 운동량 사상은 선택한 라그랑지안과 좌표에 맞아야 한다. 속도를 독립 인자로 사용하는 함수를 정준 운동량 함수처럼 미분하지 않는다. 역사상·단위·물리적 궤적을 따로 검증한다.

David Tong의 The Hamiltonian Formalism의 Legendre 변환과 Hamilton 방정식 절은 일반적인 틀을 설명한다. 여기의 극좌표 식과 수치 예제는 직접 유도하고 기호적 속도 제거·독립 고정밀 궤적 미분으로 대조했다. Poisson 괄호·심플렉틱 기하·Noether 정리는 후속 주제에서 별도로 전개한다.