제약·강건제어·안전한 입력 구간

비용이 작다는 사실과 안전하다는 사실

위치를 원점으로 옮기면서 입력 에너지를 아끼는 제어기를 생각해 봅시다. 바람을 무시한 예측은 벽 안에 있어도 실제 위치는 벽을 넘을 수 있습니다. 강건제어는 지정한 집합 안의 모든 외란에 대해 제약을 만족하는 결정을 찾습니다. 평균 비용이 작거나 실패 확률이 작다는 조건과는 다릅니다. 외란 집합은 보장의 일부이며 그보다 큰 실제 외란까지 보장한 것은 아닙니다.

이 단원에서는 한 번만 입력을 선택합니다. 앞의 입력 제약 LQR·MPC에서 외란과 다음 상태의 안전 제약을 추가합니다. 실행 가능한 입력이 없을 때도 결과를 명시합니다. 잘라낸 입력을 무조건 안전한 최적해로 표시하지 않습니다.

누가 먼저 결정하는가

제어기는 스칼라 상태 x를 관측하고 입력 u를 고릅니다. 그 뒤 외란 w가 발생합니다.

$$x^+=ax+u+w,\qquad |u|\le U,\quad |w|\le d,\quad |x^+|\le L.$$

한 번 고른 같은 u가 허용된 모든 w에 대해 작동해야 합니다. w를 관측한 뒤 입력을 다시 고르는 것은 더 많은 정보를 가진 다른 문제입니다. 계수 a와 현재 상태 x는 알려져 있고 q는 음수가 아닌 상태 비용 계수입니다. 모든 양은 일관된 무차원 척도로 비교합니다. 외란의 확률 분포는 가정하지 않습니다.

무한히 많은 제약을 구간으로 바꾸기

c=ax라 두면 입력을 고정한 다음 상태 전체는 [c+u-d,c+u+d]입니다. 끝점 중 중심과 같은 방향인 끝점이 삼각부등식 상한을 달성하므로 최대 절댓값은 |c+u|+d입니다. 안전하려면 d<=L이고

$$u\in\mathcal F=[-U,U]\cap[-L+d-c,\ L-d-c]$$

여야 합니다. 교집합의 양 끝을 lo, hi라 할 때 d<=L 및 lo<=hi가 실행 가능성의 필요충분조건입니다. lo=hi이면 해가 하나이며 빈 집합이 아닙니다. d>L이면 중심을 정확히 0으로 맞춰도 외란 구간 자체가 너무 넓습니다. 입력 한계가 작으면 중심을 충분히 이동시킬 수 없어 실패할 수도 있습니다. 외란 집합이 커지면 안전 입력 구간은 좁아집니다. 입력 한계를 키워도 외란 반경이 안전 반경보다 큰 문제는 해결되지 않습니다.

Min-max 비용을 직접 유도하기

입력 노력과 최악의 다음 상태 제곱을 합한 목적함수는

$$F(u)=\max_{|w|\le d}\{u^2+q(c+u+w)^2\} =u^2+q(|c+u|+d)^2.$$

입력 제곱 항 때문에 엄격히 볼록합니다. z=c+u로 좌표를 바꾸고 z가 양수인 구간과 음수인 구간의 이차식을 각각 미분합니다. z=0에서는 보통 미분 대신 부분미분 구간을 사용합니다. 무제약 최적 중심과 입력은

$$z_0=\operatorname{sign}(c)\max\left(\frac{|c|-qd}{1+q},0\right),\qquad u_0=z_0-c.$$

안전 구간이 존재하면 u0를 그 구간에 투영한 min(hi,max(lo,u0))가 최적 입력입니다. 스칼라 볼록 함수가 무제약 최소점까지 감소하고 그 뒤 증가하기 때문에 성립합니다. 임의의 다차원 제약 최적화도 무제약 해를 잘라 해결할 수 있다는 뜻은 아닙니다. 실행 불가능하면 입력·비용·다음 상태를 제공하지 않습니다.

정확한 분수로 계산하기

a=x=q=U=1, d=1/4, L=1/2라 합시다. 안전 구간은 [-1,-3/4]입니다. 무제약 강건 입력 -5/8은 구간 밖이므로 강건 최적 입력은 -3/4입니다. 다음 상태 구간은 [0,1/2]이며 최악 비용은

$$F(-3/4)=9/16+(1/4+1/4)^2=13/16.$$

명목 제어기는 비용과 제약에서 모두 d=0으로 가정합니다. 입력 -1/2를 선택하고 명목 비용은 1/2입니다. 하지만 실제 d=1/4로 평가하면 다음 상태는 [1/4,3/4], 안전 여유는 -1/4, 실제 최악 비용은 13/16입니다. 비용이 우연히 같아도 안전하지 않은 행동이 허용되는 것은 아닙니다. 명목 비용 1/2와 강건 비용 13/16을 바로 비교하는 것도 서로 다른 목적함수를 비교하는 일입니다.

이어서 d=3/4, U=1/2, L=1로 바꾸면 강건 교집합은 [-1/2,-3/4]로 비게 됩니다. 명목 입력은 여전히 존재합니다. 이는 수치 해법 고장이 아니라 불확실성과 부족한 입력 권한 때문에 생긴 실행 불가능성입니다.

세 행의 도식과 비용 곡선 읽기

위 행은 입력 축입니다. 파란 구간은 강건 안전 입력 전체이고 점은 선택한 강건 입력입니다. 주황 테두리는 명목 입력입니다. 아래 두 행은 같은 다음 상태 축을 공유합니다. 각 입력에서 실제 외란이 만들 수 있는 상태 전체를 파랑과 주황 구간으로 표시합니다. 중심 점은 외란 0을 뜻하며 외란의 기댓값을 가정한 것이 아닙니다. 벽 사이의 음영은 [-L,L]입니다. 강건 해가 없으면 다음 상태를 만들어 그리지 않고 메시지를 표시합니다.

아래 파란 곡선은 F(u), 주황 곡선은 명목 목적함수 u²+q(c+u)²입니다. 두 점은 각자의 제약 구간과 목적함수에서 최소점입니다. 입력 한계 전체를 그리므로 곡선의 모든 입력이 안전한 것은 아닙니다. 낮은 비용을 보고 바로 실행하기 전에 도식의 안전 입력 구간과 실제 안전 여유를 함께 확인해야 합니다.

문제와 해설

문제: q=0이면 최적 입력은 항상 0일까요?

해설: 안전 구간 위에서 u²를 최소화합니다. 0이 안전 구간에 있을 때만 0이 최적입니다. L=d이고 c=1이면 안전 제약은 u=-1을 요구하며 입력 한계가 이를 허용해야 합니다. 비용 가중치를 없애도 하드 제약이 사라지는 것은 아닙니다.

문제: c=1, q=4, d=1/2, U=L=2에서 최적 입력과 비용은 무엇일까요?

해설: qd=2가 |c|보다 크므로 최적 중심은 0, 입력은 -1, 최악 비용은 2입니다. 절댓값의 모서리에서 미분값 하나를 대입하지 않고 0을 포함하는 부분미분 구간으로 최적성을 확인합니다.

문제: 다음 상태가 안전하면 그다음 시점에도 안전한 입력이 존재한다고 할 수 있을까요?

해설: 현재 계산은 안전 집합 전체의 불변성을 증명하지 않았습니다. 반복 실행 가능성과 안정성에는 예측 구간, 피드백 정책, 종단 집합 등의 추가 조건이 필요합니다. 한 단계의 보장과 무한 시간의 보장을 구분해야 합니다.

더 큰 제어 문제와 연결하기

Rawlings·Mayne·Diehl의 Model Predictive Control 3장은 강건 불변성과 재귀적 실행 가능성을 구체적인 가정 아래 다룹니다. 이는 후속 읽기이며 여기의 구간과 최소점은 작은 모형에서 직접 유도했습니다. 기대 자원 예산을 제약하는 constrained MDP나 실패 확률을 제한하는 chance constraint는 모든 외란에 대한 이 하드 제약과 의미가 다릅니다.