벡터 퍼텐셜의 회전과 게이지

서로 다른 지도가 같은 자기장을 나타낼 수 있다

정전기에서 스칼라 전위는 기울기를 통해 장을 만든다. 자기 벡터 퍼텐셜은 회전을 통해 자기장을 만든다. 유용한 표현이지만 유일하지는 않다. 적절한 방식으로 퍼텐셜을 바꾸면 물리적인 장은 그대로일 수 있다.

변환식을 암기하는 데 그치지 말자. 앞 단원의 전류 원통에 대한 벡터 퍼텐셜을 직접 구성하고 미분한다. 이어 서로 다른 두 퍼텐셜이 어떻게 같은 자기 준비를 나타내는지 비교한다. 퍼텐셜의 닫힌 적분과 Ampere 법칙의 자기 순환도 구분한다.

표현과 단위를 정의하자

다음과 같이 정의한다.

$$\mathbf B=\nabla\times\mathbf A.$$

자기장의 단위가 T이므로 $\mathbf A$의 단위는 T·m다. 세 성분을 가진 장이며 $\mathbf B$를 다른 이름으로 부른 것이 아니다. $\mathbf A$의 한 지점 값만으로 장이 결정되지 않는다. 공간적인 변화가 필요하다.

충분히 매끄러운 퍼텐셜에서 회전의 발산은0이다. 따라서 이런 방식으로 $\mathbf B$를 매개변수화하면 국소 미분 제약 하나를 구조적으로 강제할 수 있다. 역으로 표현을 구성할 때는 정의역과 전역 조건을 확인해야 한다. 국소 조각에서 표현된다는 사실과 지정한 경계를 가진 단일 전역 표현이 있다는 사실은 다르다.

지정한 정상 전류로 돌아가자

반지름 $a$인 무한 원통이 양의 $z$ 방향으로 균일한 총전류 $I$를 운반한다고 하자. 투자율 $\mu$는 일정하다. 앞 단원의 부호 있는 방위각 장은 내부에서 $\mu Ir/(2\pi a^2)$, 외부에서 $\mu I/(2\pi r)$였다.

여전히 지정한 정적 전류원이다. 유한 열린 도선, 전도도 모형이나 역학적 평형 계산이 아니다. 교육용 기본 $\mu=4\pi\times10^{-7}$ T·m/A는 반올림한 근사이며 정확한 현대 SI 상수가 아니다.

축 방향 벡터 퍼텐셜을 선택하자.

$$\mathbf A_{\mathrm{src}}=(0,0,A_z(r)),\qquad r=\sqrt{x^2+y^2}.$$

회전은 성분과 공간 미분을 섞으므로 축 방향 퍼텐셜이 가로 방향 자기장을 만들 수 있다. 퍼텐셜 벡터가 자기장과 나란할 필요는 없다.

유한한 기준으로 연속인 퍼텐셜 만들기

원천 기준을 $A_z(a)=0$으로 잡으면 다음 식을 사용할 수 있다.

$$A_z(r)= \begin{cases} \dfrac{\mu I}{4\pi}\left(1-\dfrac{r^2}{a^2}\right),&0\le r\le a,\\ -\dfrac{\mu I}{2\pi}\log(r/a),&r>a. \end{cases}$$

내부 미분은 선형이고 외부 미분은 $1/r$에 비례한다. 로그의 인자가 길이의 비율이므로 무차원이다. 기준 길이를 지정하지 않은 $\log r$ 표현은 단위 문제를 숨길 수 있다.

무한 전류원의 이 로그 $A_z$는 무한대에서0으로 접근하지 않는다. 국소화된 원천에 적절한 경계 관례를 여기로 그대로 옮겨서는 안 된다. $A_z$에 상수를 더하면 표현 기준은 바뀌지만 장은 그대로다. 이 상수도 $z$에 비례하는 매끄러운 게이지 함수로 생성할 수 있다.

직교좌표에서 회전의 부호 확인하기

축 성분만 있을 때

$$\mathbf B=\left(\frac{\partial A_z}{\partial y}, -\frac{\partial A_z}{\partial x},0\right).$$

내부에서 $c=\mu I/(2\pi a^2)$라 두고 직접 미분하면

$$\nabla A_z=(-cx,-cy,0),\qquad \mathbf B=c(-y,x,0).$$

양의 $x$에서 양의 전류는 양의 $B_y$를 만든다. 오른손 관례와 같다. 축에서는 자기 벡터가0이며 $A_z(0)=\mu I/(4\pi)$는 유한하다. 직교좌표 계산에는 정의되지 않는 방위각 기저로 나누는 단계가 없다.

$r>0$에서는 같은 결과를 $B_\phi=-dA_z/dr$로 요약할 수 있다. 원통좌표 공식을 사용하기 전에 직교좌표 성분으로 마이너스 부호를 확인하자.

경계에서는 미분의 차수가 달라진다

$r=a$에서 두 $A_z$ 식과 첫 반지름 미분은 서로 같다.

$$A_z(a^-)=A_z(a^+)=0,\qquad A_z'(a^-)=A_z'(a^+)=-\frac{\mu I}{2\pi a}.$$

영이 아닌 전류에서는 두 번째 반지름 미분이 다르다.

$$A_z''(a^-)=-\frac{\mu I}{2\pi a^2},\qquad A_z''(a^+)=+\frac{\mu I}{2\pi a^2}.$$

따라서 $A_z$는 경계를 가로질러 C¹이지만 C²는 아니다. 회전인 자기장은 경계에서도 정의되고 연속이다. 반면 자기장 자신의 반지름 미분은 그곳에서 정의되지 않는다. 서로 다른 미분 차수에 대한 양립 가능한 설명이다.

경계 이외에서 원천 퍼텐셜의 Laplacian은 내부에서 $-\mu I/(\pi a^2)$, 외부에서0이다. 축에서는 직교좌표의 두 번째 미분으로 계산하자. 좌표 식의 $A_z'/r$를 $0/0$으로 평가하지 않는다. 영전류에서는 불연속이 사라진다. 구현은 양쪽 두 번째 미분을 보존하며 비영 전류 경계의 고전적 값은 미정으로 남긴다.

구체적인 매끄러운 게이지 함수

정적이고 매끄러운 단일값 스칼라 함수를 선택하자.

$$\chi(\mathbf x)=\frac{\alpha}{2}(x^2+y^2+z^2)+gxyz+c_z z, \qquad \mathbf A'=\mathbf A+\nabla\chi.$$

$\chi$의 단위는 T·m², $\alpha$는 T, $g$는 T/m, $c_z$는 T·m다. 기울기는

$$\nabla\chi=(\alpha x+gyz,\ \alpha y+gxz,\ \alpha z+gxy+c_z).$$

혼합 편미분의 순서를 바꿀 수 있으므로 이 기울기의 회전은0이다. 따라서 $\mathbf A'$는 정확히 같은 $\mathbf B$를 준다. 원래 원천 퍼텐셜은 축 성분뿐이었지만 변환 후에는 x와 y 성분도 생길 수 있다.

이는 표현의 변화다. 균일한 실제 자기 배경장을 더하면 $\mathbf B$가 달라지므로 다른 준비다. 균일 배경장도 벡터 퍼텐셜로 나타낼 수 있지만 기존 퍼텐셜에 매끄러운 기울기만 더해 얻을 수는 없다.

게이지 선택은 표현 안에 남아 있다

원천 퍼텐셜은 $z$에 의존하지 않으며 발산이0이다. 변환 후에는

$$\nabla\cdot\mathbf A'=\nabla\cdot\mathbf A+\nabla^2\chi=3\alpha.$$

$\alpha$가0이 아니면 발산이 달라져도 자기장은 유지된다. $\nabla\cdot\mathbf A=0$ 조건을 Coulomb 게이지라고 한다. 별도로 측정한 자기 법칙이 아니라 대표 표현을 선택하는 조건이다.

이 조건만으로도 항상 유일한 대표가 정해지는 것은 아니다. $\alpha=0$일 때 $gxyz$와 $c_z z$ 항은 여전히 조화함수이므로 그 기울기를 더해도 발산0이 유지된다. 경계와 전역 조건이 중요하다. AI 복원에서 $\mathbf A$ 자체나 그 발산에 벌점을 주면 물리장뿐 아니라 표현도 선택하고 있다는 사실을 명시하자.

실제 단위가 있는 점별 예제

$a=1$ m, $I=1$ A와 교육용 투자율을 사용한다. $(0.5,0,0)$ m에서

물리량	값
원천 $A_z$	0.075 μT·m
원천 $B_y$	0.1 μT
원천 $B_x,B_z$	0 T

$\alpha=0.2$ μT, $g=0$, $c_z=0$으로 두면 이 점의 게이지 기울기는 (0.1,0,0) μT·m다. 변환된 퍼텐셜은 (0.1,0,0.075) μT·m이지만 자기장은 여전히 (0,0.1,0) μT다. 퍼텐셜의 발산은 이제0.6 μT다. 단위는 T이며 자기장 발산의 T/m와 다르다.

$r=2$ m에서 원천 축 퍼텐셜은 약 −0.1386294 μT·m다. 퍼텐셜 성분의 부호만으로 자기장 방향을 정할 수 없다. 미분이 필요하다.

퍼텐셜의 닫힌 적분은 자기선속을 측정한다

방향을 지정한 면과 경계에 Stokes 정리를 적용하면

$$\oint_{\partial S}\mathbf A\cdot d\boldsymbol\ell =\iint_S\mathbf B\cdot\mathbf n\,dS.$$

양쪽 단위는 T·m², 즉 weber다. Ampere 법칙은 $\mathbf B$를 적분하며 단위가 T·m다. 물리적 해석도 다른 두 선적분이다.

$y=0$인 xz 평면의 직사각형을 택하자. 아래쪽에서 왼쪽→오른쪽으로 간 뒤 위로, 위쪽에서 왼쪽으로 간 뒤 아래로 돌아온다. 이 순서의 법선은 음의 y 방향이다. 원천 퍼텐셜은 축 방향뿐이므로 세로 모서리만 기여한다.

$$\oint\mathbf A_{\mathrm{src}}\cdot d\boldsymbol\ell =(z_{\mathrm{top}}-z_{\mathrm{bottom}}) [A_z(x_{\mathrm{right}})-A_z(x_{\mathrm{left}})].$$

왼쪽0.25 m, 오른쪽1.5 m, 높이1 m로 두자. 축 성분은0.09375와 약 −0.08109302 μT·m다. 따라서 순환은 −0.17484302 μWb다. 직사각형 위에서 $B_y$는 양수지만 면의 법선이 음의 y 방향이므로 선속도 음수다.

게이지 기울기를 더하면 각 모서리 적분은 달라질 수 있지만 닫힌 합은0이다. 경로 방향을 뒤집으면 순환과 선속이 함께 반전한다. 너비나 높이가0이면 퇴화한 면적은0이며 나눗셈으로 평균 법선 장을 정의할 수 없다.

이 적분이 기계적 일이 아닌 이유

$\mathbf A$의 닫힌 적분은 자기선속 단위다. 전하를 곱해도 에너지가 아니라 작용의 단위가 된다. 자기 Lorentz 힘은 속도와 수직이므로 그 자체로 순간적인 기계적 일을 하지 않는다. 퍼텐셜의 순환이0이 아니라고 자기장이 한 일로 표시해서는 안 된다.

퍼텐셜은 위상 등을 포함한 양자적 기술에서도 중요하지만 추가 구조가 필요하며 이후에 다룬다. 게이지 중복성이 있다고 퍼텐셜을 버리거나 허용한 변환과 정의역을 무시하며 바꾸어도 된다는 뜻은 아니다.

국소 영회전이 모든 전역 게이지 변환은 아니다

z축을 제외한 정의역에서 $\hat{\boldsymbol\phi}/r$에 비례하는 장은 국소 회전이0이어도 구멍을 감싼 순환은0이 아닐 수 있다. 국소적으로는 각도 표현의 기울기이지만 그 각도는 축 주위에서 전역 단일값 매끄러운 스칼라가 아니다.

우리 게이지 함수는 단일값 다항식이므로 닫힌 기울기 적분이0이다. 허용한 집합을 임의의 국소 영회전 추가항으로 확대하면서 전역 게이지 조건도 같다고 주장하지 말자. 위상·특이점·경계 데이터는 동등성 주장의 일부다.

정적 제한, 수치 검사와 연구 활용

SI에서 일반적인 퍼텐셜 표현은 $\mathbf E=-\nabla V-\partial_t\mathbf A$다. 시간 의존 게이지에서는 $\mathbf A'=\mathbf A+\nabla\chi$와 함께 $V'=V-\partial_t\chi$를 바꾸어야 한다. 이번 수치 함수는 정적이다. Gaussian 단위 강의에 등장하는 $1/c$를 이 SI 식에 복사해서는 안 된다.

구현은 매끄러운 내부 식과 $a$를 기준으로 한 외부 log1p 식을 사용한다. 퍼텐셜·기울기·자기장·두 번째 미분의 계산 가능 상태를 따로 유지한다. 잃어버린 비영 중간항은 실제0이 아니라 산술 한계다. 직사각형의 닫힌 잔차는 끝점 공식을 공유하므로 일관성 진단이다.

독립 기준은 실제 게이지 변환된 퍼텐셜을 수치 미분하고 원천 경계에서 구간을 나누어 자기장 면적분을 계산한다. 해석 항등식과 독립 근거를 구분한다. $\mathbf A$를 학습하는 AI도 임의의 대표 하나와의 일치만 보지 말고 회전 정확도·경계 매끄러움·기준과 게이지 변화·방향 있는 선속으로 평가하자.

해설이 있는 연습문제

연습 1 — 축의 퍼텐셜이0이 아니면

$A_z(0)$가0이 아니면 자기장도 반드시0이 아닌가?

해설. 아니다. 축에서 내부 기울기가0이므로 회전도0이지만 $A_z(0)=\mu I/(4\pi)$는 남는다.

연습 2 — 이차 게이지 더하기

영이 아닌 $\alpha$는 예제의 자기 관측을 바꾸는가?

해설. 퍼텐셜 성분과 발산을 $3\alpha$만큼 바꾸지만 자기장은 유지된다. 선택한 Coulomb 게이지에서는 벗어날 수 있다.

연습 3 — 미분 차수 구분하기

전류 경계에서 $A_z$의 두 번째 미분이 없으면 curl A도 미정인가?

해설. 아니다. 회전은 양쪽이 일치하는 첫 미분을 사용한다. 공통 고전적 값이 없는 것은 두 번째 미분과 자기장 자신의 첫 미분이다.

연습 4 — 직사각형 뒤집기

예제 경로의 방향을 거꾸로 하면 어떻게 되는가?

해설. 퍼텐셜 순환과 자기선속 모두 +0.17484302 μWb가 된다. 물리장이 아니라 측정 방향을 뒤집은 것이다.

연습 5 — 단위로 확인하기

$\oint A\cdot dl$을 Ampere 법칙의 자기 순환에 대신 넣어도 되는가?

해설. 아니다. 단위가 T·m²이고 자기선속과 같다. Ampere의 B 적분은 T·m다. 어느 쪽도 그 자체로 자기장이 한 기계적 일이 아니다.

연습 6 — 남아 있는 게이지 자유도

$\alpha=0$에서 영이 아닌 삼차 게이지가 A의 발산0을 유지할 수 있는가?

해설. 그렇다. $gxyz$는 조화함수다. 발산 조건만으로 대표가 유일해지지 않을 수 있으므로 경계·위상·허용한 게이지 집합을 확인하자.

출처와 재현

MIT §29.5 Potentials는 벡터 퍼텐셜과 게이지 변화를 소개한다. MIT 8.06 L13.4 강의 기록 p.1–2는 게이지 불변성과 퍼텐셜의 중요성을 설명한다. 여기서는 그 단위 관례를 SI와 구분한다.

learning-potentials.ts는 정적인 관측과 방향 있는 직사각형 적분을 제공한다. 독립 생성기는 고정 seed의 직교좌표5점 회전과 SciPy 자기선속 적분을 사용한다. 축·경계·영전류·게이지 변화·방향과 산술 계산 가능 상태를 따로 검사한다.